Giải Toán 10 trang 12 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 trang 12 Tập 2

Câu hỏi trang 12 Toán 10 Tập 2: Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai?

A. y = x⁴ + 3x² + 2.

B. $y=\frac{1}{x^2}$.

C. y = – 3x² + 1.

D. $y=3{\left(\frac{1}{x}\right)}^2+3\frac{1}{x}-1$.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức y = ax² + bx + x với a, b, c là các hằng số và a ≠ 0.

Vậy trong các hàm số đã cho thì hàm số C. y = – 3x² + 1 là hàm số bậc hai với các hệ số a = – 3, b = 0 và c = 1.

Hàm số ở đáp án A không phải là hàm số bậc hai vì có bậc của x là 4.

Hàm số ở đáp án B không phải là hàm số bậc hai vì chứa ẩn ở dưới mẫu nên nó là phân thức.

Hàm số ở đáp án D không phải là hàm số bậc hai vì chứa ẩn ở dưới mẫu, nếu ta đặt $\frac{1}{x}=t$ thì khi đó ta sẽ có được hàm số bậc hai theo t.

Luyện tập 1 trang 12 Toán 10 Tập 2: Cho hàm số y = (x – 1)(2 – 3x).

a) Hàm số đã cho có phải là hàm số bậc hai không? Nếu có, hãy xác định các hệ số a, b, c của nó.

b) Thay dấu “?” bằng các số thích hợp để hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số đã cho.

x	– 2	– 1	0	1
y	?	?	?	?

 

Lời giải

a) Ta có: (x – 1)(2 – 3x) = 2x – 3x² – 2 + 3x = – 3x² + 5x – 2.

Hay y = = – 3x² + 5x – 2.

Đây là hàm số bậc hai với các hệ số a = – 3, b = 5, c = – 2.

Vậy hàm số đã cho là hàm số bậc hai.

b) Thay lần lượt các giá trị của x vào hàm số để tính giá trị của y tương ứng.

Với x = – 2 thì y = – 3 . (– 2)² + 5 . (– 2) – 2 = – 24.

Với x = – 1 thì y = – 3 . (– 1)² + 5 . (– 1) – 2 = – 10.

Với x = 0 thì y = – 3 . 0² + 5 . 0 – 2 = – 2.

Với x = 1 thì y = – 3 . 1² + 5 . 1 – 2 = 0.

Vậy ta điền vào bảng như sau:

x	– 2	– 1	0	1
y	– 24	– 10	– 2	0

 

Vận dụng 1 trang 12 Toán 10 Tập 2: Một viên bi rơi tự do từ độ cao 19,6 m xuống mặt đất. Độ cao h (mét) so với mặt đất của viên bi trong khi rơi phụ thuộc vào thời gian t (giây) theo công thức: h = 19,6 – 4,9t²; h, t ≥ 0.

a) Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi rơi thì viên bi chạm đất?

b) Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số h.

Lời giải

a) Viên bi rơi chạm đất khi h = 0.

Hay 19,6 – 4,9t² = 0 ⇔ 4,9t² = 19,6 ⇔ t² = 4 ⇔ t = 2 hoặc t = – 2.

Vì t ≥ 0 nên t = 2 thỏa mãn.

Vậy sau 2 giây kể từ khi rơi thì viên bi chạm đất.

b) h = 19,6 – 4,9t²

Đây là hàm số bậc hai với biến t, mà t ≥ 0.

Do đó, tập xác định của hàm số h là D = [0; + ∞).

 t²≥ 0 với mọi t

⇔ – 4,9t² ≤ 0 với mọi t

⇔ – 4,9t² + 19,6 ≤ 0 + 19,6 với mọi t

⇔ 19,6 – 4,9t² ≤ 19,6 với mọi t.

Do đó h ≤ 19,6 với mọi t.

Lại có h ≥ 0 (theo đề bài).

Nên 0 ≤ h ≤ 19,6 với mọi t.

Vậy tập giá trị của hàm số h là [0; 19,6].

Hoạt động 2 trang 12 Toán 10 Tập 2: Xét hàm số y = S(x) = – 2x² + 20x (0 < x < 10).

a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn tọa độ các điểm trong bảng giá trị của hàm số lập được ở Ví dụ 1. Nối các điểm đã vẽ lại ta được dạng đồ thị hàm số y = – 2x² + 20x trên khoảng (0; 10) như trong Hình 6.10. Dạng đồ thị của hàm số y = – 2x² + 20x có giống với đồ thị của hàm só y = – 2x² hay không?

 

b) Quan sát dạng đồ thị của hàm số y = – 2x² + 20x trong Hình 6.10, tìm tọa độ điểm cao nhất của đồ thị.

c) Thực hiện phép biến đổi

y = – 2x² + 20x = – 2(x² – 10x) = – 2(x² – 2 . 5 . x + 25) + 50 = – 2(x – 5)² + 50.

Hãy cho biết giá trị lớn nhất của diện tích mảnh đất được rào chắn. Từ đó suy ra lời giải của bài toán ở phần mở đầu.

Lời giải

a) Biểu diễn các điểm có tọa độ (0; 0), (2; 32), (4; 48), (5; 50), (6; 48), (8; 32), (10; 0) lên mặt phẳng tọa độ và nối lại được của đồ thị hàm số y = – 2x² + 20x trên khoảng (0; 10).

 

Quan sát hình ta thấy, dạng của đồ thị hàm số y = – 2x² + 20x giống với dạng của đồ thị hàm số y = – 2x².

b) Tọa độ điểm cao nhất của đồ thị hàm số y = – 2x² + 20x là (5; 50).

c) Vì (x – 5)² ≥ 0 với mọi số thực x

Nên – 2(x – 5)² ≤ 0 với mọi số thực x

Do đó: – 2(x – 5)² + 50 ≤ 0 + 50 = 50 với mọi số thực x.

Vậy y ≤ 50.

Vậy giá trị lớn nhất của y là 50 hay diện tích lớn nhất của mảnh đất được rào chắn là 50 m².

Từ đó ta có lời giải bài toán mở đầu:

Gọi x (mét, x > 0) là khoảng cách từ điểm cọc P và Q đến bờ tường.

Tấm lưới dài 20 m và được rào chắn như Hình 6.8 nên x + x + PQ = 20.

Suy ra: PQ = 20 – x – x = 20 – 2x (m).

Vì PQ > 0 nên 20 – 2x > 0 ⇔ 2x < 20 ⇔ x < 10.

Vậy ta có điều kiện của x là 0 < x < 10.

Mảnh đất được rào chắn có dạng hình chữ nhật với hai kích thước là x (m) và 20 – 2x (m) với 0 < x < 10.

Diện tích của mảnh đất là S(x) = x . (20 – 2x) = – 2x² + 20x.

Theo yêu cầu bài toán, ta cần tìm giá trị của x để S(x) lớn nhất.

S(x) = – 2(x² – 10x) = – 2(x² – 2 . 5 . x + 25) + 50 = – 2(x – 5)² + 50 ≤ 50 với mọi số thực x.

Dấu “=” xảy ra khi x – 5 = 0 ⇔ x = 5 (thỏa mãn điều kiện 0 < x < 10).

Do đó giá trị lớn nhất của S(x) là 50 tại x = 5.

Vậy hai cột góc hàng rào cần phải cắm cách bờ tường 5 m để mảnh đất được rào chắn của bác Việt có diện tích lớn nhất.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải Toán 10 trang 11 Tập 2

Giải Toán 10 trang 12 Tập 2

Giải Toán 10 trang 13 Tập 2

Giải Toán 10 trang 15 Tập 2

Giải Toán 10 trang 16 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài tập cuối chương 6

Bài 19: Phương trình đường thẳng

Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách.