Bài 29 trang 108 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 29 trang 108 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=3x^2-2\sqrt{x}$;

b) $y=\sqrt{1+2x-x^2}$;

c) $y=\tan \frac{x}{2}-\cot \frac{x}{2}$;

d) y = e^2x + lnx².

Lời giải:

a) Ta có: $y^{\text{'}}={\left(3x^2-2\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}$$=6x-\frac{1}{\sqrt{x}}$ . Vậy y' = 6x - $\frac{1}{\sqrt{x}}$.

b) Ta có: $y^{\text{'}}={\left(\sqrt{1+2x-x^2}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(1+2x-x^2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1+2x-x^2}}$

$=\frac{2-2x}{2\sqrt{1+2x-x^2}}$$=\frac{1-x}{\sqrt{1+2x-x^2}}$.

Vậy $y^{\text{'}}=\frac{1-x}{\sqrt{1+2x-x^2}}$ .

c) Ta có: $y^{\text{'}}={\left(\tan \frac{x}{2}-\cot \frac{x}{2}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\text{'}}}{co{s}^2\frac{x}{2}}+\frac{{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\text{'}}}{{\sin }^2\frac{x}{2}}$

$=\frac{\frac{1}{2}}{co{s}^2\frac{x}{2}}+\frac{\frac{1}{2}}{{\sin }^2\frac{x}{2}}$$=\frac{1}{2}\cdot \frac{{\sin }^2\frac{x}{2}+co{s}^2\frac{x}{2}}{{\sin }^2\frac{x}{2}co{s}^2\frac{x}{2}}$

$=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{{\sin }^2\frac{x}{2}co{s}^2\frac{x}{2}}$$=\frac{2}{4{\sin }^2\frac{x}{2}co{s}^2\frac{x}{2}}$$=\frac{2}{{\sin }^{2}x}$.

Vậy $y^{\text{'}}=\frac{2}{{\sin }^{2}x}$ .

d) Ta có: y' = (e^2x + lnx²)' = ${\left(\text{2x}\right)}^{\text{'}}\cdot e^{2x}+\frac{{\left(x^2\right)}^{\text{'}}}{x^2}$$=2\cdot e^{2x}+\frac{2}{x}$$=2\left(e^{2x}+\frac{1}{x}\right)$ .

Vậy $y^{\text{'}}=2\left(e^{2x}+\frac{1}{x}\right)$ .