Bài 11 trang 106 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 11 trang 106 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA $\perp$ (ABC), SA = a$\sqrt{2}$. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng

A. $\frac{6a}{11}$ .

B. $\frac{a\sqrt{66}}{11}$ .

C. $\frac{a\sqrt{6}}{11}$ .

D. $\frac{a\sqrt{11}}{11}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Kẻ AD $\perp$ BC tại D.

Vì SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ BC mà AD ^ BC nên BC $\perp$ (SAD), suy ra (SBC) $\perp$ (SAD).

Kẻ AF $\perp$ SD tại F.

Vì (SBC) $\perp$ (SAD), (SBC) $\cap$ (SAD) = SD, AF $\perp$ SD nên AF $\perp$ (SBC).

Suy ra d(A, (SBC)) = AF.

Vì tam giác ABC đều cạnh a, AD là đường cao nên AD = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Vì SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ AD hay tam giác SAD vuông tại A.

Xét tam giác SAD vuông tại A, AF là đường cao nên ta có

$=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{D}^2}=\frac{1}{2a^2}+\frac{4}{3a^2}\frac{1}{A{F}^2}$$\Rightarrow AF=\frac{\sqrt{66}a}{11}$ .

Vậy d(A, (SBC)) = $\frac{\sqrt{66}a}{11}$ .