Bài 27 trang 108 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 27 trang 108 Toán 11 Tập 2: Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) $3^{\frac{1}{x}}$= 4;

b) $2^{x^2-3x}$= 4;

c) log₄ (x + 1) + log₄ (x – 3) = 3;

d) ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{x^2-2x}\ge \frac{1}{125}$ ;

e) ${\left(2-\sqrt{3}\right)}^x\le {\left(2+\sqrt{3}\right)}^{x+2}$ ;

f) log (3x² + 1) > log (4x).

Lời giải:

a) Điều kiện: x ≠ 0.

Ta có $3^{\frac{1}{x}}=4$$\iff \frac{1}{x}={\log }_{3}4$$\iff x=\frac{1}{{\log }_{3}4}={\log }_{4}3$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là x = log₄3.

b) $2^{x^2-3x}=4$$\iff 2^{x^2-3x}=2^2$$\iff x^2-3x=2$

$\iff x^2-3x-2=0$$\iff x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$ hoặc $x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$ .

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .

c) Điều kiện .

Ta có log₄ (x + 1) + log₄ (x – 3) = 3

$\iff$ log₄ [(x + 1)(x – 3)] = 3

$\iff$ (x + 1)(x – 3) = 4³

$\iff$ x² – 2x – 67 = 0

$\iff$ x = 1 - 2$\sqrt{17}$ (loại) hoặc x = 1 + 2$\sqrt{17}$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 + 2$\sqrt{17}$ .

d) Ta có ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{x^2-2x}\ge \frac{1}{125}$$\iff {\left(\frac{1}{5}\right)}^{x^2-2x}\ge {\left(\frac{1}{5}\right)}^3$

$\iff x^2-2x\le 3$$\iff x^2-2x-3\le 0$$\iff -1\le x\le 3$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [−1; 3].

e) ${\left(2-\sqrt{3}\right)}^x\le {\left(2+\sqrt{3}\right)}^{x+2}$

$\iff$$\le {\left(2+\sqrt{3}\right)}^{x+2}$

$\iff {\left(\frac{1}{2+\sqrt{3}}\right)}^x\le {\left(2+\sqrt{3}\right)}^{x+2}$

$\iff {\left(2+\sqrt{3}\right)}^{-x}\le {\left(2+\sqrt{3}\right)}^{x+2}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [−1; +$\infty$).

f) Điều kiện: 4x > 0 $\iff$ x > 0.

Ta có log (3x² + 1) > log (4x) $\iff$ 3x² + 1 > 4x $\iff$ 3x² – 4x + 1 > 0 $\iff$ .

Kết hợp với điều kiện, ta có .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(0;\frac{1}{3}\right)\cup \left(1;+\infty \right)$ .