50 bài tập về Vị trí tương đối của hai đường tròn đầy đủ (có đáp án 2024) - Toán 9

Vị trí tương đối của hai đường tròn đầy đủ, chi tiết - Toán lớp 9

I. Lý thuyết

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) với R > r

1. Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau

+ Hai đường tròn cắt nhau thì R – r < d < R + r và hai đường tròn (O) và (O’) có 2 điểm chung

+ Điểm chung của (O) và (O’) là A và B.

+ Đường nối hai tâm là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai giao điểm.

2. Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau

+ Tiếp xúc trong: d = R – r

Điểm chung của O và O’ là A và O’ nằm giữa O và A

+ Tiếp xúc ngoài: d = R + r

(O) và (O’) có một điểm chung là A và A nằm giữa O và O’.

3. Hai đường tròn (O) và (O’) không giao nhau

+ (O) và (O’) nằm ngoài nhau: d > R + r

+ (O) đựng (O’): d < R – r

+ (O) và (O’) đồng tâm: d = 0

II. Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho hai đường tròn (O; 4cm) và (O’; 11cm). Biết OO’ = 2a + 3 cm. Tìm a để (O) và (O’) tiếp xúc nhau.

Lời giải:

Trường hợp 1: (O) và (O’) tiếp xúc ngoài:

Ta có:

OO’ = r + r’ ( với r là bán kính đường tròn (O) và r’ là bán kính đường tròn (O’)).

$\iff 2a+3=4+11$

$\iff 2a+3=15$

$\iff 2a=15-3$

$\iff 2a=12$

$\iff a=6cm$

Trường hợp 2: (O) và (O’) tiếp xúc trong

OO’ = r’ – r

$\iff 2a+3=11-4$

$\iff 2a+3=7$

$\iff 2a=7-3$

$\iff 2a=4$

$\iff a=2cm$

Vậy a = 2cm hoặc a = 6cm thì (O) và (O’) tiếp xúc.

Ví dụ 2: Cho hai đường tròn (O; 4cm) và (O’; 3cm) có OO’ = 5cm. Hai đường tròn này cắt nhau tại A và B. Tính AB.

Lời giải:

Vì A là giao của (O) và (O’) nên OA = 4cm và O’A = 3cm.

Xét tam giác OAO’ có:

$O{A}^2=4^2=16$

$O\text{'}{A}^2=3^2=9$

$O\text{}O{\text{'}}^2=5^2=25$

Vì $O\text{}O{\text{'}}^2=O{A}^2+O\text{'}{A}^2\left(25=16+9\right)$

Do đó tam giác OAO’ vuông tại A (định lý Py – ta – go đảo)

Vì OO’ cắt nhau tại A và B nên OO’ vuông góc với AB (tính chất).

Gọi giao điểm của OO’ và AB là H

Ta có OO’ là đường trung trực của AB (tính chất đường nối tâm)

Nên H là trung điểm của AB và $AB\perp O{O}^{\text{'}}$ tại H

Xét tam giác OAO’ vuông tại A đường cao AH có:

OA.O’A = AH.OO’ ( hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\iff$4.3 = AH.5

$\iff$5AH = 12

$\iff$AH = 12:5

$\iff$AH = 2,4cm

Vì H là trung điểm của AB nên AB = 2AH = 2.2,4 = 4,8cm.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức liên hệ đường kính và dây cung hay, chi tiết

Công thức liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây hay, chi tiết

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn đầy đủ, chi tiết

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau đầy đủ, chi tiết