Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến hay, chi tiết hay nhất - Toán lớp 9

Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến hay, chi tiết - Toán lớp 9

I. Lý thuyết

1. Khái niệm về tính đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc $ℝ$ .  

- Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị y = f(x) tương ứng cũng tăng thì hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến trên $ℝ$ .

- Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị của y = f(x) tương ứng giảm thì hàm số y = f(x) là hàm số nghịch biến trên $ℝ$ .

2. Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến

Cách 1: Dựa vào khái nệm

Với x1, x2 bất kì thuộc :

- Nếu $x_1<x_2$ và $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$  thì hàm số y = f(x) đồng biến trên $ℝ$ .

- Nếu $x_1<x_2$ và $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$  thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên $ℝ$ .

Cách 2: Xét dấu của giá trị T

Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x), ta xét dấu của T, với $T=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$  và $x_1,x_2\in ℝ$

Nếu T < 0 thì hàm số nghịch biến trên $ℝ$ .

Nếu T > 0 thì hàm số đồng biến trên $ℝ$ .

3. Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc nhất

a) Khái niệm về hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b, trong đó a, b là hai số đã cho và $a\ne 0$ .

b) Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc nhất

Ngoài hai cách ta đã nêu ở mục hai đối với hàm số bậc nhất ta còn cách xét hệ số a.

- Hàm số bậc nhất xác định bởi mọi x $\in ℝ$ .

- Hàm số bậc nhất đồng biến trên $ℝ$  khi a > 0.

- Hàm số bậc nhất nghịch biến trên $ℝ$  khi a < 0.

II. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến nghịch biến của các hàm số sau:

a) y = 3x + 3

b) y = -2x – 3

Lời giải:

a) Cách 1:

Hàm số xác định với mọi giá trị x thuộc $ℝ$

Ta có: y = f(x) = 3x + 3

Với $x_1,x_2\in ℝ$ ta có:

Xét $T=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$ $=\frac{\left(3x_2+3\right)-\left(3x_1+3\right)}{x_2-x_1}$ 

$=\frac{3x_2+3-3x_1-3}{x_2-x_1} =\frac{3x_2-3x_1}{x_2-x_1}$

$=\frac{3\left(x_2-x_1\right)}{x_2-x_1}=3>0$

hàm số đồng biến trên $ℝ$ .

Cách 2:

Ta có hàm số y = 3x + 3 là hàm số bậc nhất có a = 3 > 0 nên hàm số đã cho đồng biến trên $ℝ$ .

b) Cách 1:

Hàm số xác định với mọi giá trị x thuộc $ℝ$

Với $x_1,x_2\in ℝ$ ta có:

$f\left(x_1\right)=-2x_1-3$

$f\left(x_2\right)=-2x_2-3$

Xét $T=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1} =\frac{\left(-2x_2-3\right)-\left(-2x_1-3\right)}{x_2-x_1}$

$=\frac{-2x_2-3+2x_1+3}{x_2-x_1} =\frac{-2x_2+2x_1}{x_2-x_1}$

$=\frac{-2\left(x_2-x_1\right)}{x_2-x_1}=-2<0$

Vậy hàm số đã xét nghịch biến trên $ℝ$ .

Cách 2:

Hàm số y = -2x – 3 là hàm số bậc nhất có a = -2 < 0 nên hàm số đã cho nghịch biến trên $ℝ$ .

Ví dụ 2: Tìm m để

a) y = (2m + 1)x + 3 đồng biến trên $ℝ$ .

b) y = (-3m – 2) x + 5 nghịch biến trên $ℝ$

Lời giải:

a) Hàm số y = (2m + 1)x + 3 là hàm số bậc nhất có a = 2m + 1 và b = 3

Để hàm số đồng biến trên $ℝ$ thì a > 0.

$\Rightarrow$2m + 1 > 0

$\iff 2m>-1$

$\iff m>\frac{-1}{2}$

Vậy $m>\frac{-1}{2}$ thì hàm số đồng biến trên $ℝ$ .

b) Hàm số y = (-3m – 2) x + 5 là hàm số bậc nhất có a = -3m – 2; b = -2

Để hàm số nghịch biến trên $ℝ$ thì a < 0

$\Rightarrow$-3m – 2 < 0

$\iff -3m<2$

$\iff m>\frac{-2}{3}$

Vậy $m>\frac{-2}{3}$ thì hàm số nghịch biến trên $ℝ$ .

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức vẽ đồ thị hàm số bậc nhất hay, chi tiết

Công thức về hệ số góc của đường thẳng hay, chi tiết

Công thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng hay, chi tiết

Công thức tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng hay, chi tiết