Các dạng bài tập Phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn (có đáp án 2024) và cách giải

Với cách giải Phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn môn Toán lớp 9 Đại số gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn. Mời các bạn đón xem:

1 1490 lượt xem
Tải về


Các dạng bài tập Phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn và cách giải bài tập - Toán lớp 9

A. Lí thuyết

- Các phương trình đưa về phương trình bậc hai một ẩn:

+) Phương trình bậc bốn trùng phương và một số dạng phương trình bậc bốn khác

+) Phương trình chứa ẩn ở mẫu

+) Phương trình tích

+) Phương trình chứa căn

+) Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

+) Các phương trình liên quan đến tham số m

B. Các dạng bài tập và ví dụ minh họa

Dạng 1: Phương trình bậc bốn trùng phương

Phương pháp giải:

Dạng tổng quát: ax4+bx2+c=0 (*)

Đặt t=x2 (t0)

Phương trình (*) trở thành:

at2+bt+c=0 (**)

Giải phương trình (**) như phương trình bậc hai một ẩn và tìm ra t thỏa mãn điều kiện và suy ra nghiệm x tương ứng.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình: 4x4+3x21=0

Lời giải:

Xét phương trình 4x4+3x21=0 (*)

Đặt t=x2 (t0), phương trình (*) trở thành:

4t2+3t1=0 (**)

Phương trình (**) có: a = 4, b = 3, c = -1

Dễ thấy: a – b + c = 4 – 3 – 1 = 0

Do đó, phương trình (**) có hai nghiệm t1=1 < 0 (không thỏa mãn điều kiện) và t2=(1)4=14 > 0 (thỏa mãn điều kiện)

Với t=14x2=14x=±12

Vậy tập nghiệm của phương trình (*) là: S=12;12

Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x43x22=0

Lời giải:

Xét phương trình 2x43x22=0 (*)

Đặt t=x2 (t0), phương trình (*) trở thành:

2t23t2=0 (**)

Giải phương trình (**) ta có:

Δ=(3)24.2.(2)=9+16=25 > 0

Do đó, phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt là:

t1=(3)252.2=354=12 < 0 (không thỏa mãn điều kiện)

t2=(3)+252.2=3+54=2 > 0 (thỏa mãn điều kiện)

Với t = 2x2=2x=±2

Vậy tập nghiệm của phương trình (*) là: S=2;2

Dạng 2: Các dạng phương trình bậc bốn khác

Phương pháp giải:

- Dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (1) với a + b = c + d:

+ Biến đổi phương trình về dạng: x2+(a+b)x+abx2+(c+d)x+cd=m (2)

+ Đặt t = x2+(a+b)x+ab điều kiện t(ab)24.

Suy ra x2+(c+d)x+cd=tab+cd. Khi đó, phương trình (2) trở thành phương trình bậc hai của t.

+ Giải phương trình (2) để tìm nghiệm t thỏa mãn điều kiện, từ đó suy ra nghiệm x – Dạng: (x+a)4+(x+b)4=k (3)

+ Đặt t = x+a+b2. Khi đó, phương trình (3) trở thành phương trình bậc bốn trùng phương ẩn t.

+ Đặt u=t2 (u0), khi đó phương trình (3) trở thành phương trình bậc hai ẩn u. Giải phương trình này, ta tìm được nghiệm u thỏa mãn điều kiện, từ đó suy ra nghiệm t và suy ra nghiệm x.

- Dạng: ax4+bx3+cx2±bkx+ak2=0

+ Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Biến đổi phương trình về dạng: ax2+bx+c±kbx+k2ax2=0 ax2+k2x2+bx±kx+c=0 (2)

+ Đặt t=x±kx, thay vào phương trình (2) ta được phương trình bậc hai ẩn t. Giải phương trình bậc 2 để tìm nghiệm t và suy ra nghiệm x.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: (x + 1)(x + 3)(x - 1)(x + 5) = 9

Lời giải:

(x + 1)(x + 3)(x - 1)(x + 5) = 9

(x2+4x+3)(x2+4x5)=9 (*)

Đặt t = x2+4x+3 (t(13)24t1)

Khi đó, phương trình (*) trở thành:

t(t8)=9

t28t=9

t28t9=0 (**)

Xét phương trình (**) ta có: a = 1, b = -8, c = - 9

Dễ thấy, a – b + c = 1 – (-8) – 9 = 0

Do đó, phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt là: t1=1 (thỏa mãn điều kiện) và t2=(9)1=9 (thỏa mãn điều kiện)

Với t = -1, ta có:

x2+4x+3=1

x2+4x+3=1

x2+4x+4=0

(x+2)2=0

x=2

Với t = 9, ta có:

x2+4x+3=9

x2+4x6=0 (***)

Giải phương trình (***) ta có:

Δ=424.1.(6)=40 > 0

Do đó, phương trình (***) có hai nghiệm phân biệt là:

x1=4+402.1=2+10

x2=4402.1=210

Vậy tập nghiệm của phương trình (x + 1)(x + 3)(x - 1)(x + 5) = 9 là: S=2;2+10;210

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: (x+1)4+(x+2)4=3

Lời giải:

(x2)4+(x4)4=8

Đặt t = x – 3, khi đó, phương trình trở thành:

(t+1)4+(t1)4 = 8

(t2+2t+1)2+(t22t+1)2=8

t4+4t2+1+4t3+4t+2t2+t4+4t2+14t34t+2t2=8

t4+4t3+6t2+4t+1+t44t3+6t24t+1=8

2t4+12t2+2=8

2t4+12t26=0

t4+6t23=0 (*)

Đặt u=t2  u0, phương trình (*) trở thành:

u2+6u3=0

Giải phương trình u2+6u3=0 ta có:

Δ'=321.(3)=12 > 0

Do đó, phương trình u2+6u3=0 có hai nghiệm phân biệt:

u1=3+121=3+23 (thỏa mãn điều kiện)

u2=3121=323 (không thỏa mãn điều kiện)

Với u=3+23 t2=3+23

x+3=±3+23=±3+233

Vậy tập nghiệm của phương trình là:

S=3+233;3+233

Ví dụ 3: Giải phương trình sau x45x3+10x+4=0

Lời giải:

Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta có:

x45x3+10x+4=0

x25x+10x+4x2=0

x2+4x25x2x=0 (2)

Đặt t=x2xt2=x24+4x2x2+4x2=t2+4

Thay vào (2) ta được:

t25t+4=0 (*)

Giải phương trình (*) ta có: a = 1, b = -5, c = 4 nên a + b + c = 1 – 5 + 4 = 0

Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm t = 1 hoặc t = 41=4

Với t = 1 thì ta có:

x2x=1x22=xx2x2=0 (3)

Giải phương trình (3) ta có: Δ=(1)24.1.(2)=9 > 0

Do đó, phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt là:

x1=(1)+92=2

x2=(1)92=1

Với t = 4, thì ta có:

x2x=4x22=4xx24x2=0 (4)

Giải phương trình (4) ta có: Δ=(4)24.1.(2)=24 > 0

Do đó, phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt là:

x3=(4)+242=2+6

x4=(4)242=26

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S=1;2;2+6;26

Dạng 3: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định của ẩn

- Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu

- Giải phương trình bậc hai nhận được, kiểm tra lại nghiệm với điều kiện xác định và kết luận.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2xx2+4x+4=13x

Lời giải:

2xx2+4x+4=13x

Điều kiện xác định của phương trình là:

x2+4x+403x0(x+2)203x0x2x0

Với điều kiện xác định trên, ta có:

2xx2+4x+4=13x

2xx2+4x+413x=0

2x.3x3xx2+4x+4x2+4x+43xx2+4x+4=0

6x2x24x4=0

5x24x4=0 (*)

Giải phương trình (*) ta có:

Δ=(4)24.5.(4)=96 > 0

Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

x1=(4)+962.5=2+265 (thỏa mãn điều kiện xác định)

x2=(4)962.5=2265 (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S=2+265;2265

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: x26x=2x3

Lời giải:

Điều kiện xác định của phương trình là: x0

Với điều kiện xác định trên, ta có:

x26x=2x3

x26x=2x.xx3.xx

x26x=2x2x3xx

x26=2x23x

2x23xx2+6=0

x23x+6=0 (*)

Giải phương trình (*) ta có:

Δ=(3)24.1.6=924=15<0

Vậy phương trình (*) vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của phương trình x26x=2x3 là S =

Dạng 4: Phương trình tích

Phương pháp giải:

- Chuyển vế và phần tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0.

- Xét từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: (x2+2x5)2(x2x+6)2=0

Lời giải:

(x2+2x5)2(x2x+6)2=0

(x2+2x5x2+x6)(x2+2x5+x2x+6)=0

(3x11)(2x2+x+1)=0

3x11=02x2+x+1=0  (1)

x=1132x2+x+1=0  (1)

Giải phương trình (1) ta có:

Δ=124.2.1=7 < 0

Do đó, phương trình (1) vô nghiệm

Vậy phương trình (x2+2x5)2(x2x+6)2=0 có tập nghiệm là: S=113

Ví dụ 2: Giải phương trìnhx35x2+4x=x2+5x+4

Lời giải:

x35x2+4x=x25x+4

x35x2+4xx25x+4=0

xx2+5x+4x25x+4=0

x1x25x+4=0

x1=0x25x+4=0

x=1x25x+4=0(*) (**)

Giải phương trình (*) ta có: a = 1, b = -5, c = 4

Dễ thấy, a + b + c = 0. Do đó phương trình (*) có hai nghiệm, một nghiệm là x1=1 là một nghiệm là x2=ca=41=4

(**) x=1x=4

Vậy tập nghiệm của phương trình x35x2+4x=x25x+4 là S = {1; 4}

Dạng 5: Phương trình chứa căn

Phương pháp giải:

- Đặt điều kiện xác định cho phương trình

- Làm mất dấu căn bằng cách đặt ẩn phụ hoặc lũy thừa hai vế.

Chú ý: A=BB0A=B2

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình: x+1=3x

Lời giải:

Điều kiện xác định của phương trình là: x+10x1

Với điều kiện xác định trên, ta có:

x+1=3x

3x0x+1=(3-x)2

x3x+1=96x+x2

x3x27x+8=0  (1) (*)

Giải phương trình (1) ta có:

Δ=(7)24.1.8=4932=17 > 0

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

x1=(7)+172.1=7+172 (thỏa mãn điều kiện xác định)

x2=(7)172.1=7172 (thỏa mãn điều kiện xác định)

Do đó, ta có:

(*) x3x=7+172x=7172

x=7172

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S=7172

Ví dụ 2: Giải phương trình: x2+1=2x

Lời giải:

Điều kiện xác định của phương trình là: x2+102x0x0

Với điều kiện xác định trên, ta có:

x2+1=2x

x2+1=2x

x22x+1=0 (*)

Giải phương trình (*) ta có:

Δ'=(1)21.1=0

Vậy phương trình (*) có nghiệm kép x=(1)1=1 (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy tập nghiệm của phương trình x2+1=2x là S = {1}

Dạng 6: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp giải:

|f(x)|=|g(x)|f2(x)=g2(x)

|f(x)|=|g(x)|f(x)=g(x)f(x)=g(x)

|f(x)|=g(x)f(x)=g(x)f(x)0f(x)=g(x)f(x)<0

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: |3x2|=x2+2x+3

Lời giải:

|3x2|=x2+2x+3

TH1: 3x – 2 > 0 x>23

Khi đó, ta có:

|3x2|=x2+2x+3

3x2=x2+2x+3

x2x+5=0 (1)

Giải phương trình (1) ta có:

Δ=(1)24.1.5=19 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

TH2: 3x – 2 < 0 x<23

Khi đó, ta có:

|3x2|=x2+2x+3

3x+2=x2+2x+3

x2+5x+1=0 (2)

Giải phương trình (2) ta có:

Δ=524.1.1=21 > 0

Do đó, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là:

x1=5+212 (thỏa mãn điều kiện)

x2=5212 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình |3x2|=x2+2x+3S=5+212;5212

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: |2x21|=|x23x+2|

Lời giải:

|2x21|=|x23x+2|

2x21=x23x+22x21=x2+3x2

x2+3x3=0   (1)3x23x+1=0   (2)

Giải phương trình (1) có:

Δ=324.1.(3)=21 > 0

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là:

x1=3+212; x2=3212

Giải phương trình (2) ta có:

Δ=(3)24.3.1=3 < 0

Do đó, phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình |2x21|=|x23x+2| là:

S=3+212;3212

Dạng 7: Các phương trình liên quan đến tham số m

Phương pháp giải:

Sử dụng các kiến thức về phương trình bậc hai để biện luận, phân tích đề bài và tìm điều kiện của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Áp dụng các kiến thức:

- Dạng tổng quát: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Tính biệt thức: Δ=b2- 4ac hoặc Δ'=b'2- ac (với b = 2b’)

+) Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1=x2=b2a

+) Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1=b+Δ2a;   x2=bΔ2a

Hoặc

+) Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1=x2=b'a

+) Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1=b'Δ'a;   x2=b'Δ'a

Hệ thức Vi – ét: Cho phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) . Nếu x1,x2 là nghiệm của phương trình thì ta có:

S=x1+x2=baP=x1.x2=ca

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x2+2(m1)x+4m=0 có nghiệm kép.

Lời giải:

Xét phương trình x2+2(m1)x+4m=0 (*) có:

Δ'=(m1)21.4m=m22m+14m=m26m+1

Để phương trình (*) có nghiệm kép khi và chỉ khi

Δ'=0

m26m+1=0 (**)

Giải phương trình (**) ta có:

Δ'=(3)21.1=8 > 0

Do đó phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt là:

m1=(3)+81=3+22

m2=(3)81=322

Vậy khi m = 3+22 hoặc m = 322 thì phương trình x2+2(m1)x+4m=0 có nghiệm kép.

Ví dụ 2: Cho phương trình x2+2x+m1=0, với m là tham số. Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1x2 thỏa mãn 6x1x2=4(mm2)

Lời giải:

Xét phương trình: x2+2x+m1=0

Có: Δ=224(m1)=44m+4=84m

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

84m>0m<2

Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1x2, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

x1+x2=2x1x2=m1

Mặt khác, ta có:

6x1x2=4(mm2)

6(m1)=4(mm2)

6m6=4m4m2

4m2+2m6=0

2m2+1m3=0 (**)

Xét phương trình (**) có a = 2, b = 1, c = -3 nên a + b + c = 2 + 1 – 3 = 0

Do đó, phương trình (**) có một nghiệm là m = 1 (thỏa mãn điều kiện) và một nghiệm m = 32 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy khi m = 1 hoăc m = 32 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1x2 thỏa mãn 6x1x2=4(mm2)

C. Bài tập tự luyện

Bài 1: Giải phương trình 3x4+10x2+5=0

Bài 2: Giải phương trình 5x4+2x216=10x2

Bài 3: Giải phương trình (x+2)4+(x+6)4=32

Bài 4: Giải phương trình x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 8

Bài 5: Giải phương trình 2xx25x3=5x25x+6

Bài 6: Giải phương trình (x1)3(x+2)3=0

Bài 7: Giải phương trình x23x+4=14x6

Bài 8: Giải phương trình |4x2+5x|=|2x23|

Bài 9: Cho phương trình x2+2x+m1=0, với m là tham số. Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1x2 thỏa mãnx13+x236x1x2=4(mm2)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Các dạng bài tập Hàm số y = a.x^2 và cách giải bài tập

Các dạng bài tập Đồ thị hàm số y = a.x^2 và cách giải bài tập

Phương trình bậc hai một ẩn và cách giải bài tập

Hệ thức Vi-ét và ứng dụng và cách giải bài tập

Giải bài toán bằng cách lập phương trình và cách giải bài tập

1 1490 lượt xem
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: