50 bài tập về Các bài toán về hệ số góc của đường thẳng (có đáp án 2024) - Toán 9

Các bài toán về hệ số góc của đường thẳng và cách giải - Toán lớp 9

I. Lý thuyết

- Cho đường thẳng d có phương trình: y = ax + b$\left(a\ne 0\right)$

Khi đó a là hệ số góc của d.

Với $\alpha$ là góc tạo bởi trục Ox và d. Ta có:

- Nếu $\alpha <90°$thì $a>0$ và $a=\tan \alpha$

- Nếu $\alpha >90°$thì $a<0$và $a=-\tan \left(180°-\alpha \right)$

- Khi $a>0$ thì $\alpha$ là góc nhọn. Hệ số a càng lớn thì góc $\alpha$ càng lớn nhưng luôn nhỏ hơn $90°$

- Khi a < 0 thì $\alpha$ là góc tù. Hệ số a càng lớn thì góc $\alpha$ càng lớn nhưng luôn nhỏ hơn $180°$.

II. Một số dạng toán và phương pháp giải

Dạng 1: Tìm hệ số góc của đường thẳng

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng và hệ số góc của đường thẳng

+ Hai đường thẳng song song

d và d’ song song với nhau khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b\ne b\text{'}\end{array}\right.$

+ Hai đường thẳng vuông góc

$a.a\text{'}=-1$ thì d và d’ là hai đường thẳng vuông góc.

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: y = 2x – 3. Xác định hệ số góc của d.

Lời giải:

Ta có: a = 2 nên hệ số góc của d bằng 2

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: y = ax + b. Xác định hệ số góc của d biết

a) d song song với đường thẳng $d_1$: y = 4x – 1

b) d vuông góc với đường thẳng $d_2$: y = -3x + 1

Lời giải:

a) Vì d // $d_1$$\Rightarrow$a = 4

$\Rightarrow$hệ số góc của d là 4

b) Vì d$\perp d_2$ nên a.( -3) = -1

$\iff$a = (-1) : (-3)

$\iff a=\frac{1}{3}$

Vậy hệ số góc của d là $\frac{1}{3}$.

Ví dụ 3: Tìm hệ số góc của đường thẳng d: y = (m – 5)x – m biết d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.

Lời giải:

Vì d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 nên thay x = 0 và y = 3 vào d ta có:

3 = (m – 5).0 – m

$\iff$m = -3

Với m = -3

$\Rightarrow$a = (-3 – 5) = -8

Vậy hệ số góc của đường thẳng d là -8.

Dạng 2: Xác định góc tạo bởi đường thẳng và tia Ox

Phương pháp giải: Để xác định góc giữa đường thẳng d và tia Ox ta làm như sau:

Cách 1: Vẽ d trên hệ trục tọa độ rồi sử dụng tỉ số lượng giác của tam giác vuông một cách hợp lí

Cách 2: Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi tia Ox và d. Ta có:

- Nếu $\alpha <90°$thì $a>0$ và $a=\tan \alpha$

- Nếu $\alpha >90°$ thì $a<0$ và $a=-\tan \left(180°-\alpha \right)$

Ví dụ 1: Tìm góc tạo bởi đường thẳng d: y = -x + 5 với trục Ox.

Lời giải:

Cách 1: Vẽ d lên hệ trục tọa độ

Cho x = 0 $\Rightarrow$y = 5$\Rightarrow$A(0; 5)

Cho y = 0 $\Rightarrow$x = 5$\Rightarrow$B(5; 0)

Vậy d cắt hai trục Oy; Ox tại hai điểm A và B

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi d và tia Ox,

Gọi $\beta$ là góc kề bù với góc $\alpha$

Ta có: Tam giác AOB vuông tại O

$\tan \beta =\frac{OA}{OB}=\frac{5}{5}=1$

$\Rightarrow \beta =45°$

Mà $\alpha ,\beta$ là hai góc kề bù

$\Rightarrow \alpha +\beta =180°$

$\iff \alpha =180°-45°$= $135°$

Vậy góc giữa d và Ox là $135°$

Cách 2: vì a = -1 < 0 $\Rightarrow$$\alpha >90°$ và $a=-\tan (180°-\alpha )=-1$

$\Rightarrow \tan (180°-\alpha )=\tan 45°$

$\iff 180°-\alpha =45°$

$\iff \alpha =180°-45°$

$\iff \alpha =135°$

Vậy d tạo với Ox một góc bằng $135°$.

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d: y = x + 1 và đường thẳng d’: y = $\sqrt{3}x-3$

a) Vẽ d và d’ trên cùng một hệ trục tọa độ

b) Gọi C là giao điểm của d và d’. Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d và d’ với trục hoành. Tính các góc của tam giác ABC.

Lời giải:

a)

- Xét d: y = x + 1

Cho y = 0 $\Rightarrow$x = -1$\Rightarrow$A(-1; 0)

Cho x = 0 $\Rightarrow$y = 1$\Rightarrow$A’(0; 1)

$\Rightarrow$d cắt trục hoành và trục tung tại hai điểm A, A’

- Xét d’: y = $\sqrt{3}x-3$

Cho y = 0 $\Rightarrow$x = $\sqrt{3}$$\Rightarrow$B($\sqrt{3}$; 0)

Cho x = 0 $\Rightarrow$y = -3 $\Rightarrow$B’(0; -3)

$\Rightarrow$d’ cắt trục hoành và trục trung tại hai điểm B, B’

Có đồ thị như hình vẽ

b)

- Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi d và Ox

Xét đường thẳng d ta có

a = 1 > 0 $\Rightarrow \alpha <90°$( với $\alpha$ là góc tạo bởi d với Ox)

$\Rightarrow \tan \alpha =a=1$

$\iff \alpha =45°$ $\Rightarrow \widehat{CAB}=45°$

- Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi d’ và Ox

Xét đường thẳng d’ ta có:

a’ = $\sqrt{3}$ > 0 $\Rightarrow \beta <90°$(với $\beta$ là góc hợp bởi d’ với Ox)

$\Rightarrow \tan \beta =a\text{'}=\sqrt{3}$

$\iff \beta =60°$

Mà $\widehat{ABC}$ kề bù với $\beta$ nên ta có $\widehat{ABC}$= $180°-60°$= $120°$

$\widehat{ABC}=120°$

Xét tam giác ABC có:

$\widehat{CAB}+\widehat{ABC}+\widehat{BCA}=180°$

$\iff 45°+120°+\widehat{BCA}=180°$

$\iff \widehat{BCA}=180°-45°-120°$

$\iff \widehat{BC}A=15°$.

Dạng 3: Xác định đường thẳng khi biết hệ số góc

Phương pháp giải: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là d: y = ax + b. Ta xác định a, b dựa vào kiến thức góc và hệ số góc.

Gọi đường thẳng cần tìm là y = ax + b (a$\ne$0)

Khi đó hệ số góc của đường thẳng là a

b được xác định sử dụng điều kiện còn lại của đề bài két hợp với a đã tìm được.

Ví dụ 1: Xác định đường thẳng d biết d đi qua A(1; 2) và có hệ số góc là 2.

Lời giải:

Gọi đường thẳng cần tìm là d: y = ax + b (a ≠ 0)

Vì d có hệ số góc là 2 $\Rightarrow$a = 2

Vì d đi qua A(1; 2) nên ta thay x = 1; y = 2 và a = 2 vào d ta được

2 = 2.1 + b

$\iff 2=2+b$

$\iff b=0$.

Vậy đường thẳng cần tìm là y = 2x.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua B(5; 4) và tạo với trục Ox một góc bằng $45°$.

Lời giải:

Gọi đường thẳng cần tìm là d: y = ax + b (a ≠ 0)

Vì $45°<90°$nên a = $\tan 45°$ = 1

Vì d đi qua B(5; 4) nên ta thay x = 5; y = 4; a = 1 vào d ta được:

4 = 1.5 + b

$\iff 4=5+b$

$\iff b=-1$

Vậy đường thẳng cần tìm là d: y = x – 1.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho đường thẳng d: y = ax + 3. Tìm hệ số góc của d biết

a) d song song với đường thẳng y = 2x - 1

b) d vuông góc với đường thẳng y = $\frac{\sqrt{2}}{2}$x – 1.

Bài 2: Cho đường thẳng d: y = ax + $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Tìm hệ số góc của d biết

a) d đi qua $A\left(\frac{-\sqrt{2}}{2};1\right)$

b) d song song với đường thẳng y = 3x – 1.

Bài 3: Xác định đường thẳng d biết:

a) d đi qua $A\left(\frac{\sqrt{3}}{2};2\right)$ và có hệ số góc là -2.

b) Đường thẳng d song song với đường thẳng y = 2x + 1 và đi qua B(-2; 3).

Bài 4: Tìm góc tạo bởi trục Ox với đường thẳng d biết

a) d: y = $\frac{1}{\sqrt{3}}$x – 2

b) d đi qua 2 điểm A(0;1) và $B\left(\sqrt{3};0\right)$.

Bài 5: Xác định đường thẳng d biết d đi qua A(2;-3) và tạo với Ox một góc $135°$.

Bài 6: Cho hai đường thẳng d: y = 2x + 4 và d’: y = $\frac{-1}{2}$x – 1.

a) Vẽ hai đường thẳng trên cùng một hệ trục tọa độ

b) Gọi giao điểm của d và d’ với trục tung là B và C. Chứng minh tam giác ABC vuông với A là giao điểm của d và d’

c) Tính các góc tam giác ABC.

Bài 7: Tìm hệ số góc của đường thẳng $△$biết

a) $△$ đi qua $A\left(\sqrt{2};1\right)$ và $B\left(0;1+3\sqrt{2}\right)$

b) $△$ đi qua $C\left(\frac{1}{2};\frac{-1}{4}\right)$ và giao điểm của hai đường thẳng y = 2x – 1 và y = 3x + 2.

Bài 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua $A\left(\frac{1}{3};\frac{-1}{2}\right)$ và có hệ số góc là tung độ của giao điểm hai đường thẳng y = 2x – 5 và y = -x – 1.

Bài 9: Cho đường thẳng d tạo với trục hoành một góc $150°$ và đi qua A(-3;-2).

Tìm tọa độ giao điểm của d với đường thẳng y = 2x + 3.

Bài 10: Cho đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$x + 4 và d’: y = -x + 4. Gọi A, B là giao điểm của d và d’ với trục Ox, C là giao điểm của d và d’.

a) Tìm tọa độ A, B, C.

b) Xác định góc giữa d và d’ tạo với Ox.

c) Tính các góc của tam giác ABC.

d) Tính chu vi tam giác ABC.

e) Tính diện tích tam giác ABC.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Đường thẳng song song, đường thẳng cắt nhau và cách giải bài tập

Phương trình bậc nhất hai ẩn và tập nghiệm và cách giải bài tập

Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hay, chi tiết

Hệ phương trình có chứa tham số và cách giải bài tập

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay, chi tiết