Công thức về hệ số góc của đường thẳng hay, chi tiết hay nhất - Toán lớp 9

Công thức về hệ số góc của đường thẳng hay, chi tiết - Toán lớp 9

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa hệ số góc của đường thẳng

Cho đường thẳng d có phương trình: y = ax + b $\left(a\ne 0\right)$

Khi đó a là hệ số góc của d.

2. Các công thức

Với $\alpha$ là góc tạo bởi trục Ox và d. Ta có:

- Nếu $\alpha <90°$ thì $a>0$ và $a=\tan \alpha$

- Nếu $\alpha >90°$ thì $a<0$ và $a=-\tan \left(180°-\alpha \right)$

- Khi $a>0$ thì là $\alpha$ góc nhọn. Hệ số a càng lớn thì góc $\alpha$ càng lớn nhưng luôn nhỏ hơn $90°$ .

- Khi a < 0 thì là $\alpha$ góc tù. Hệ số a càng lớn thì góc $\alpha$ càng lớn nhưng luôn nhỏ hơn $180°$ .

II. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Tìm hệ số góc của các đường thẳng sau d: y = ax + b trong các trường hợp sau

a) d song song với đường thẳng : y = 2x + 1.

b) d vuông góc với đường thẳng : y = -3x +6.

c) d đi qua hai điểm A(1; 3) và B(2; 4).

Lời giải:

a) Vì d // $d_1$ nên $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}=2\\ b\ne 1\end{array}\right.$

Vì a = 2 nên hệ số góc của đường thẳng d là 2.

b) Vì d$\perp d_2$ nên a.a’ = -1

$\iff a.(-3)=-1$

$\iff a=\frac{1}{3}$

Vì $a=\frac{1}{3}$ nên hệ số góc của đường thẳng d là $\frac{1}{3}$ .

c) Vì d đi qua A(1; 3) ta thay x = 1; y = 3 vào d ta được:

3 = a.1 + b

$\Rightarrow a+b=3$ (1)

Vì d đi qua B(2; 4) ta thay x = 2; y = 4 vào d ta được:

4 = 2.a + b

$\Rightarrow 2a+b=4$ (2)

Từ (1) ta có: b = 3 – a thay vào (2) ta được:

$\iff$2a + (3 – a) = 4

$\iff$2a + 3 – a = 4

$\iff$a = 4 – 3

$\iff$a = 1 $\Rightarrow$ b = 2

Vì a = 1 nên hệ số góc của đường thẳng d là 1.

Ví dụ 2: Tìm góc tạo bởi đường thẳng d: y  = -x + 5 với trục Ox.

Lời giải:

Cho x = 0 $\Rightarrow$ y = 5 $\Rightarrow$ A(0; 5)

Cho y = 0 $\Rightarrow$ x = 5 $\Rightarrow$ B(5; 0)

Đồ thị hàm số y = -x + 5 có dạng như hình vẽ cắt hai trục Ox; Oy tại hai điểm B và A.

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng d và trục Ox

Gọi $\beta$ là góc kề bù với góc $\alpha$

Xét tam giác AOB vuông tại O ta có:

$\tan \beta =\frac{OA}{OB}=\frac{5}{5}=1$

$\Rightarrow \beta =45°$

Mà $\alpha$ ; $\beta$là hai góc kề bù

$\Rightarrow \alpha +\beta =180°$

$\iff \alpha =180°-\beta$

$\iff \alpha =180°-45°$

$\Rightarrow \alpha =135°$

Vậy góc tạo bởi đường thẳng d và trục Ox là góc $135°$ .

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến hay, chi tiết

Công thức vẽ đồ thị hàm số bậc nhất hay, chi tiết

Công thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng hay, chi tiết

Công thức tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng hay, chi tiết