50 bài tập về Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau đầy đủ (có đáp án 2024) - Toán 9

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau đầy đủ, chi tiết - Toán lớp 9

I. Lý thuyết

• Nếu hai tuyến tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì

- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai tiếp điểm.

Cho đường tròn (O;R) có AB; AC là hai tiếp tuyến của đường tròn; B, C là hai tiếp điểm

Khi đó ta có:

+ AB = AC.

+ AO là tia phân giác $\widehat{BAC}$ hay $\widehat{CAO}=\widehat{BAO}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}$ .

+ OA là tia phân giác $\widehat{BOC}$ hay $\widehat{BOA}=\widehat{COA}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}$ .

II. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là tiếp điểm).

a) Chứng minh AO vuông góc với MN.

b) Vẽ đường kính NOC. Chứng minh MC // AO.

c) Tính độ dài các cạnh tam giác AMN biết: OM = 3cm, OA = 5cm.

Lời giải:

a) Gọi H là giao điểm của AO và MN.

Vì AM và AN là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A nên OA là tia phân giác $\widehat{MON}$

$\Rightarrow \widehat{MOA}=\widehat{NOA}$ (tính chất)

Xét tam giác OMH và tam giác ONH có:

OM = ON = R

OH chung

$\widehat{MOA}=\widehat{NOA}$ (chứng minh trên)

Do đó: $\Delta OMH=\Delta ONH$ (c – g – c)

$\Rightarrow \widehat{OHM}=\widehat{OHN}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{OHM}+\widehat{OHN}=180°$ (hai góc kề bù)

Do đó: $\widehat{OHM}=\widehat{OHN}=90°$ hay $OH\perp MN$

$\Rightarrow OA\perp MN$ (do H nằm trên OA)

b) Xét tam giác MNC có ba đỉnh M, N, C cùng nằm trên đường tròn (O)

Lại có NC là đường kính

Do đó tam giác MNC vuông tại M.

$\Rightarrow MC\perp MN$

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}MC\perp MN\\ OA\perp MN\end{array}\right.\Rightarrow MC//OA$ (quan hệ từ vuông góc đến song song)

c) Xét tam giác OMA vuông tại M (do AM là tiếp tuyến của (O) với M là tiếp điểm) ta có:

$O{M}^2+M{A}^2=O{A}^2$ (định lý Py – ta – go)

$\iff 3^2+M{A}^2=5^2$

$\iff M{A}^2=25-9$

$\iff M{A}^2=16$

$\iff MA=4cm$

Mà MA và NA là hai tiếp tuyến cắt nhau

$\Rightarrow MA=NA=4cm$ (tính chất)

Tam giác OAM vuông tại M, đường cao MH ta có:

MA.MO = MH.OA

$\iff 4.3=MH.5$

$\iff 5MH=12$

$\iff MH=12:5$

$\iff MH=2,4cm$

Tam giác OMN có:

OM = ON

Do đó tam giác OMN cân tại O.

$\Rightarrow$Khi đó OH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

Suy ra H là trung điểm của MN

MN = 2MH = 2,4.2 = 4,8cm

Vậy tam giác AMN có AM = AN = 4 cm, MN = 4,8 cm.

Ví dụ 2: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là hai tiếp điểm). Kẻ BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (E thuộc AC, F thuộc AB), BE và CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác OBHC là hình thoi.

b) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng.

Lời giải:

a) Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B nên OB$\perp$ AB

Lại có CF $\perp$ AB (giải thuyết)

Do đó: OB // CF hay OB // CH (1)

Vì AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C nên OC $\perp$ AC

Lại có: BE $\perp$ AC (giả thuyết)

Do đó: OC // BE hay OC // BH (2)

Xét tứ giác OBHC có:

OB // CH (theo (1))

OC // BH (theo (2))

Do đó tứ giác OBHC là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Lại có: OB = OC nên hình bình hành OBHC là hình thoi (dấu hiệu nhận biết).

b) Vì OBHC là hình thoi nên OH là đường phân giác góc $\widehat{BOC}$ (tính chất) (3)

Do AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) và chúng cắt nhau tại A

Nên OA là đường phân giác góc (tính chất) $\widehat{BOC}$ (4)

Từ (3) và (4)$\Rightarrow OA\equiv OH$ hay O, A, H thẳng hàng.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức liên hệ đường kính và dây cung hay, chi tiết

Công thức liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây hay, chi tiết

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn đầy đủ, chi tiết

Vị trí tương đối của hai đường tròn đầy đủ, chi tiết