Các dạng bài tập về hàm số và cách giải (2024) chi tiết nhất

Các dạng bài tập về hàm số và cách giải - Toán lớp 9

I. Lý thuyết

1. Khái niệm hàm số

- Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị của y thì y được gọi là hàm số của x, x là biến số. Ta viết:

y = f(x); y = g(x)…

Ví dụ: y = 2x + 4; y = -3x + 5 là hàm số của y theo x.

Chú ý: Khi x thay đổi mà y không thay đổi thì hàm số y = f(x) là hàm hằng.

2. Điều kiện xác định của hàm số

Điều kiện xác định của hàm số y = f(x) là tất cả các giá trị của x sao cho f(x) có nghĩa.

3. Giá trị của hàm số

Giá trị của hàm số f(x) tại điểm $x_0$ là $y_0=f\left(x_0\right)$ .

4. Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm M(x; y) trong mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho x, y thỏa mãn y = f(x).

5. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là $ℝ$ .

- Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị y = f(x) tương ứng cũng tăng thì hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến trên $ℝ$ .

- Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị của y = f(x) tương ứng giảm thì hàm số y = f(x) là hàm số nghịch biến trên $ℝ$ .

- Nếu $x_1<x_2$ và $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$ thì hàm số y = f(x) đồng biến trên $ℝ$ .

- Nếu $x_1<x_2$ và $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$ thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên $ℝ$ .

Để xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số ta xét dấu của T, với $T=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$ và $x_1,x_2\in ℝ$

Nếu T < 0 thì hàm số nghịch biến trên $ℝ$ .

Nếu T > 0 thì hàm số đồng biến trên $ℝ$ .

II. Các dạng bài và phương pháp giải

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của hàm số

Phương pháp giải: Chú ý đến một số biểu thức có điều kiện đặc biệt như căn, phân thức.

Hàm số dạng căn thức $y=\sqrt{P\left(x\right)}$ có nghĩa khi $P\left(x\right)\ge 0$

Hàm số dạng phân thức $y=\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}$ có nghĩa khi $B\left(x\right)\ne 0$

Hàm số dạng phân thức $y=\frac{A\left(x\right)}{\sqrt{B\left(x\right)}}$ có nghĩa khi $B\left(x\right)>0$ .

Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của các hàm số sau

a) $y=\frac{2x-1}{3x-5}$

b) $y=\sqrt{2x+1}+\frac{1}{x+2}$

c) $y=\frac{1+\sqrt{3-x}}{x+3}$

Lời giải:

a) Hàm số $y=\frac{2x-1}{3x-5}$ xác định khi và chỉ khi

$3x-5\ne 0$

$\iff 3x\ne 5$

$\iff x\ne 5:3$

$\iff x\ne \frac{5}{3}$

Vậy điều kiện xác định của hàm số là $x\ne \frac{5}{3}$ .

b) Hàm số $y=\sqrt{2x+1}+\frac{1}{x+2}$ xác định khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}2x+1\ge 0\\ x+2\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x\ge -1\\ x\ne -2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge -1:2\\ x\ne -2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{-1}{2}\\ x\ne -2\end{array}\right.$

$\Rightarrow x\ge \frac{-1}{2}$

Vậy điều kiện xác định của hàm số là $x\ge \frac{-1}{2}$ .

c) Hàm số $y=\frac{1+\sqrt{3-x}}{x+3}$ xác định khi và chỉ khi:

$\left\{\begin{array}{l}3-x\ge 0\\ x+3\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}-x\ge -3\\ x\ne -3\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\le 3\\ x\ne -3\end{array}\right.$

Vậy điều kiện xác định của hàm số là $x\le 3$ và $x\ne -3$

Dạng 2: Tính giá trị hàm số tại một điểm

Phương pháp giải: Để tính giá trị hàm số y = f(x) tại điểm $x_0$ ta thay x = $x_0$ vào y = f(x) được $y_0$ = $f\left(x_0\right)$

Ví dụ 1: Tính giá trị hàm số

a) y = f(x) = $x^3+3x-2$ tại $x_0$ =1.

b) y = f(x) = $\sqrt{3x+1}$ tại $x_0$=2 .

Lời giải:

a) y = f(x) =$x^3+3x-2$

Thay x = $x_0$ = 1 vào hàm số ta được:

$f\left(1\right)=1^3+3.1-2$= 1 + 3 – 2 = 2

Vậy với $x_0$ = 1 thì giá trị hàm số là 2.

b) y = f(x) =$\sqrt{3x+1}$

Thay x = $x_0=2$ vào hàm số ta được:

$f\left(2\right)=\sqrt{3.2+1}=\sqrt{7}$

Vậy với $x_0=2$ thì giá trị hàm số là $\sqrt{7}$ .

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = f(x) =$3\sqrt{x+1}+m{x}^2-2x+3$ có f(3) = f(-1) với m là tham số.

Lời giải:

Thay x = 3 ta có:

$f\left(3\right)=3\sqrt{3+1}+m{.3}^2-2.3+3$

$f\left(3\right)=6+9m-6+3$

$f\left(3\right)=9m+3$

Thay x = -1 ta có:

$f\left(-1\right)=3\sqrt{-1+1}+m.{\left(-1\right)}^2-2.\left(-1\right)+3$

$\iff f\left(-1\right)=0+m+2+3$

$\iff f\left(-1\right)=m+5$

Vì f(3) = f(-1) nên ta có:

9m + 3 = m + 5

$\iff$9m – m = 5 – 3

$\iff$8m = 2

$\iff$m = 2 : 8

$\iff$m =$\frac{1}{4}$

Vậy m = $\frac{1}{4}$ thì f(3) = f(-1).

Dạng 3: Biểu diễn tọa độ một điểm trên hệ trục tọa độ Oxy

Phương pháp giải: Biểu diễn điểm $M\left(x_0;y_0\right)$

Bước 1: Xác định $x_0$ sau đó vẽ một đường thẳng song song với Oy đi qua $x_0$

Bước 2: Xác định $y_0$ sau đó vẽ một đường thẳng song song với Ox đi qua $y_0$

Bước 3: Tọa độ điểm M chính là giao của hai đường thẳng trên.

Ví dụ 1: Biểu diễn các điểm sau trên hệ trục tọa độ:

$A\left(2;3\right)$; $B\left(\frac{1}{2};-2\right)$ ;$C\left(-3;2\right)$

Lời giải:

Ví dụ 2: Trong các điểm M(1; -1); N(2; 0), P(-2; 2) điểm nào thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2$

Lời giải:

- Xét điểm M(1; -1) có x = 1 và y = -1

Thay x = 1 vào hàm số ta được $y=\frac{1}{2}{.1}^2$$=\frac{1}{2}$$\ne -1$

Vậy M không thuộc đồ thị hàm số

- Xét điểm N(2; 0) có x = 2; y = 0

Thay x = 2 vào hàm số ta được

Vậy điểm N không thuộc đồ thị hàm số

- Xét điểm P(-2; 2) có x = -2; y = 2

Thay x = -2 vào hàm số ta được $y=\frac{1}{2}.{\left(-2\right)}^2=\frac{1}{2}.4=2$

Vậy điểm P thuộc đồ thị hàm số.

Dạng 4: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Phương pháp giải: Để xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số ta xét dấu của T, với $T=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$ và $x_1,x_2\in ℝ$

Nếu T < 0 thì hàm số nghịch biến trên $ℝ$ .

Nếu T > 0 thì hàm số đồng biến trên $\mathit{ℝ}$ .

Ví dụ : Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số sau

a) y = f(x) = 3x + 1

b) y = f(x) = -6x – 3.

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là $ℝ$

Với $x_1,x_2\in ℝ$ ta có:

$f\left(x_1\right)=3x_1+1$

$f\left(x_2\right)=3x_2+1$

Xét $T=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$$=\frac{\left(3x_2+1\right)-\left(3x_1+1\right)}{x_2-x_1}$

$=\frac{3x_2+1-3x_1-1}{x_2-x_1}$$=\frac{3x_2-3x_1}{x_2-x_1}$

$=\frac{3\left(x_2-x_1\right)}{x_2-x_1}=3>0$

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên $ℝ$ .

b) Tập xác định của hàm số là $ℝ$

Với $x_1,x_2\in ℝ$ ta có:

$f\left(x_1\right)=-6x_1-3$

$f\left(x_2\right)=-6x_2-3$

Xét $T=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$$=\frac{\left(-6x_2-3\right)-\left(-6x_1-3\right)}{x_2-x_1}$

$=\frac{-6x_2-3+6x_1+3}{x_2-x_1}$$=\frac{-6x_2+6x_1}{x_2-x_1}$

$=\frac{-6\left(x_2-x_1\right)}{x_2-x_1}=-6<0$

Vậy hàm số đã xét nghịch biến trên $ℝ$ .

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm điều kiện xác định của các hàm số sau:

a) $y=3x+1$

b) $y=\frac{3x-2}{\sqrt{x-1}}$

c) $y=\frac{x+2}{3x-3}$

d)$y=\sqrt{4x+1}-2x+\frac{1}{x}$ .

Bài 2: Tính giá trị hàm số

a) $y=\frac{3x+2}{\sqrt{2x+1}}$ tại x = 5

b) $y=\sqrt{4x+1}-6x+\frac{1}{x+3}$ tại x = 0

c) $y=\frac{x^2+2x-1}{3x+3}$ tại x = 5

d) $y=3x^3+2x-5$ tại x = 2.

Bài 3: Tìm m để hàm số sau xác định với mọi x

a) $y=\sqrt{m+1}x+3$

b) $y=\frac{x^2-3x-1}{mx+5}$ .

Bài 4: Cho các điểm M(-1; 2); N(0; -3); P(4; 2)

a) Biểu diễn các điểm trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Trong các điểm đã cho, điểm nào thuộc hàm số $y=2x^2+\frac{1}{2}x-3$ .

Bài 5: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ cho ta giác ABC, biết A(2; 5); B(-1; 1); C(3; 1).

a) Vẽ tam giác ABC trên hệ trục tọa độ.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 6: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau

a) $y=5x-1$

b) $y=\frac{-1}{2}x+3$

c) $y=\frac{2}{3}x+3a$ với a là tham số.

Bài 7: Chứng minh

a) $y=2x-5$ luôn đồng biến trên $ℝ$ .

b) $y=\frac{2x+1}{-3}$ luôn nghịch biến trên $\mathit{ℝ}$.

c) $y=\sqrt{a^2+1}.x+3-a$ luôn đồng biến trên $ℝ$ .

Bài 8: Tìm m để hàm số $y=f\left(x\right)=\sqrt{x-1}+mx+2$ (với m là tham số) thỏa mãn $f\left(5-2\sqrt{3}\right)=f\left(2\right)$ .

Bài 9: Cho tứ giác ABCD có A(-1; 2); B(-3; 0); C(2; 0); D(2; 2)

a) Vẽ tứ giác ABCD trên hệ trục tọa độ

b) Coi độ dài mỗi đơn vị trên các trục Ox; Oy là 1cm. Tính diện tích tứ giác ABCD.

Bài 10: Tìm m để hàm số $y=f\left(x\right)=\left(\sqrt{m^2+4}-m\right)x^2-2mx+5$ (với m là tham số) thỏa mãn f(0) = f(1).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Bài tập về hàm số bậc nhất và cách giải

Hàm số bậc nhất và cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

Đường thẳng song song, đường thẳng cắt nhau và cách giải bài tập

Các bài toán về hệ số góc của đường thẳng và cách giải

Phương trình bậc nhất hai ẩn và tập nghiệm và cách giải bài tập