27 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Vectơ trong không gian

. Xác định vị trí các điểm

A B C D . A' B' C' D'

M, N

lần lượt trên

A C

và

D C'

sao cho

M N ∥ B D'

. Tính tỉ số

\frac{M N}{B D'}

bằng?

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. 1

D. $\frac{2}{3}$

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

$\vec{B A} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}, \vec{B B'} = \vec{c}$

Giả sử $\vec{A M} = x \vec{A C}, \vec{D N} = y \vec{D C'}$

Dễ dàng có các biểu diễn $\vec{B M} = (1 - x) \vec{a} + x \vec{b}$

và $\vec{B N} = (1 - y) \vec{a} + \vec{b} + y \vec{c}$ .

Từ đó suy ra

$\vec{M N} = (x - y) \vec{a} + (1 - x) \vec{b} + y \vec{c} (1)$

Để $M N ∥ B D'$ thì

$\vec{M N} = z \vec{B D'} = z (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có:

$(x - y) \vec{a} + (1 - x) \vec{b} + y \vec{c}$

$= z (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

$\Leftrightarrow (x - y - z) \vec{a} + (1 - x - z) \vec{b}$

$+ (y - z) \vec{c} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - y - z = 0 \\ 1 - x - z = 0 \\ y - z = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{2}{3} \\ y = \frac{1}{3} \\ z = \frac{1}{3} \end{cases}$

Vậy các điểm $M, N$ được xác định bởi $\vec{A M} = \frac{2}{3} \vec{A C}, \vec{D N} = \frac{1}{3} \vec{D C'}$

Ta cũng có

$\vec{M N} = z \vec{B D'} = \frac{1}{3} \vec{B D'}$

$\Rightarrow \frac{M N}{B D'} = \frac{1}{3}$

Câu 4:

Trong các mệnh đề cho sau đây, mệnh đề nào sai?

Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho

$\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B}, \vec{B N} = \frac{2}{3} \vec{B C},$

$\vec{A Q} = \frac{1}{2} \vec{A D}, \vec{D P} = k \vec{D C}$ .

Hãy xác định k để M, N, P, Q đồng phẳng.

A. $k = \frac{1}{2}$

B. $k = \frac{1}{3}$

C. $k = \frac{1}{4}$

D. $k = \frac{1}{5}$

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Cách 1.

Ta có $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B}$

$\Rightarrow \vec{B M} - \vec{B A} = - \frac{1}{3} \vec{B A}$

$\Rightarrow \vec{B M} = \frac{2}{3} \vec{B A}$

Lại có $\vec{B N} = \frac{2}{3} \vec{B C}$ do đó $M N ∥ A C$

Vậy Nếu $M, N, P, Q$ đồng phẳng thì

$(M N P Q) \cap (A C D) = P Q ∥ A C$

$\Rightarrow \frac{P C}{P D} = \frac{Q A}{Q D} = 1$ hay $\vec{D P} = \frac{1}{2} \vec{D C}$

$\Rightarrow k = \frac{1}{2}$ .

Cách 2. Đặt $\vec{D A} = \vec{a}, \vec{D B} = \vec{b}, \vec{D C} = \vec{c}$ thì không khó khăn ta có các biểu diễn

$\vec{M N} = - \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ , $\vec{M P} = - \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} + k \vec{c}$ ,

$\vec{M N} = - \frac{1}{6} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$

Các điểm $M, N, P, Q$ đồng phẳng khi và chỉ khi các vec tơ $\vec{M N}, \vec{M P}, \vec{M Q}$ đồng phẳng

$\Leftrightarrow \exists x, y : \vec{M P} = x \vec{M N} + y \vec{M Q}$

$\Leftrightarrow - \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} + k \vec{c}$

$= x (- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{c})$

$+ y (- \frac{1}{6} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b})$

Do các vec tơ $\vec{a}, \vec{b,} \vec{c}$ không đồng phẳng nên điều này tương đương với

$\{\begin{cases} - \frac{2}{3} x - \frac{1}{6} y = - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{3} y = - \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} x = k \end{cases}$

$\Leftrightarrow x = \frac{3}{4}, y = 1, k = \frac{1}{2} .$

Câu 5:

18/07/2024

A. Vì I là trung điểm đoạn AB nên từ O bất kì ta có:

\vec{O I} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})

.

B. Vì

\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{0}

nên bốn điểm

A, B, C, D

đồng phẳng.

C. Vì

\vec{N M} + \vec{N P} = \vec{0}

nên N là trung điểm đoạn NP.

D. Từ hệ thức

\vec{A B} = 2 \vec{A C} - 8 \vec{A D}

ta suy ra ba vectơ

\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}

đồng phẳng.

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải: :

Do $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{0}$ đúng với mọi điểm $A, B, C, D$ nên câu B sai.

Câu 6:

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Ba véctơ

\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{c}

đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá thuộc một mặt phẳng

B. Ba tia

O x, O y, O z

vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng.

C. Cho hai véctơ không cùng phương

\overset{⇀}{a}

và

\overset{⇀}{b}

. Khi đó ba véctơ

\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{c}

đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m,n sao cho

\overset{⇀}{c} = m \overset{⇀}{a} + n \overset{⇀}{b}

, ngoài ra cặp số m,n là duy nhất.

D. Nếu có

m \overset{⇀}{a} + n \overset{⇀}{b} + p \overset{⇀}{c} = \overset{⇀}{0}

và một trong ba số m,n,p khác 0 thì ba véctơ

\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{c}

đồng phẳng.

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải: :

Ba véctơ $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá song song hoặc thuộc một mặt phẳng. Câu A sai

Câu 7:

Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:

\vec{I A} + (2 k - 1) \vec{I B} + k \vec{I C} + \vec{I D} = \vec{0}

A. $k = 2$

B. $k = 4$

C. $k = 1$

D. $k = 0$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta chứng minh được $\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I D} = \vec{0}$ nên $k = 1$

Câu 8:

Cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

không đồng phẳng thì từ

m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} = \vec{0}

ta suy ra

m = n = p = 0

B. Nếu có

m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} = \vec{0}

, trong đó

m^{2} + n^{2} + p^{2} > 0

thì

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

đồng phẳng.

C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn

m + n + p \neq 0

ta có

m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} = \vec{0}

thì

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

đồng phẳng.

D. Nếu giá của

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

đồng qui thì

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

đồng phẳng.

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải: :

Câu D sai. Ví dụ phản chứng 3 cạnh của hình chóp tam giác đồng qui tại 1 đỉnh nhưng chúng không đồng phẳng.

Câu 9:

, M là trung điểm của. Đặt

Cho hình lăng trụ

A B C A^{'} B^{'} C^{'}

\vec{C A} = \vec{a}

,

\vec{C B} = \vec{b}

,

\vec{A A'} = \vec{c}

. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

\vec{A M} = \vec{a} + \vec{c} - \frac{1}{2} \vec{b}

B. $\vec{A M} = \vec{b} + \vec{c} - \frac{1}{2} \vec{a}$

C. $\vec{A M} = \vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c}$

D. $\vec{A M} = \vec{a} - \vec{c} + \frac{1}{2} \vec{b}$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có $\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M}$

$= \vec{C B} - \vec{C A} + \frac{1}{2} \vec{B B^{'}}$

$= \vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c}$

Câu 10:

Cho hình lăng trụ tam giác

A B C A^{'} B^{'} C^{'}

. Đặt

\vec{A A^{'}} = \vec{a}, \vec{A B} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c},

\vec{B C} = \vec{d}

. Trong các biểu thức véctơ sau đây, biểu thức nào đúng.

A. $\vec{a} = \vec{b} + \vec{c}$

B. $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}$

C. $\vec{b} - \vec{c} + \vec{d} = 0$

B.

D. $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{d}$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\vec{b} - \vec{c} + \vec{d}$

$= \vec{A B} - \vec{A C} + \vec{B C}$

$= \vec{C B} + \vec{B C} = \vec{0}$

Câu 11:

Cho tứ diện ABCD và I là trọng tâm tam giác ABC. Đẳng thức đúng là.

A.

6 \vec{S I} = \vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C}

B. $\vec{S I} = \vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C}$

C. $\vec{S I} = 3 (\vec{S A} - \vec{S B} + \vec{S C})$

D. $\vec{S I} = \frac{1}{3} \vec{S A} + \frac{1}{3} \vec{S B} + \frac{1}{3} \vec{S C}$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên

$\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} = 3 \vec{S I}$

$\Leftrightarrow \vec{S I} = \frac{1}{3} \vec{S A} + \frac{1}{3} \vec{S B} + \frac{1}{3} \vec{S C}$

Câu 12:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng.

A. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ cùng nằm trong một mặt phẳng.

B. Ba véctơ

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

đồng phẳng thì có

\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}

với m,n là các số duy nhất.

C. Ba véctơ không đồng phẳng khi có

\vec{d} = m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c}

với

\vec{d}

là véctơ bất kì.

D. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với một mặt phẳng.

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Câu A sai vì ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với cùng một mặt phẳng.

Câu B sai vì thiếu điều kiện 2 véctơ $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương.

Câu C sai vì $\vec{d} = m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c}$ với $\vec{d}$ là véctơ bất kì không phải là điều kiện để 3 véctơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng.

Câu 13:

. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

\vec{A C} + \vec{B A^{'}} + k (\vec{D B} + \vec{C' D}) = \vec{0}

.

B. $k = 1$

D. $k = 2$

C. $k = 4$

D. $k = 2$

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Với $k = 1$ ta có:

$\vec{A C} + \vec{B A'} + 1. (\vec{D B} + \vec{C' D})$

$= \vec{A C} + \vec{B A'} + \vec{C' B}$

$= \vec{A C} + \vec{C' A'}$

$= \vec{A C} + \vec{C A} = \vec{0}$

Câu 14:

là các số thay đổi. Tìm mối liên hệ giữa

Cho hình chóp

S . A B C

. Lấy các điểm

A^{'}, B^{'}, C^{'}

lần lượt thuộc các tia

S A, S B, S C

sao cho

S A = a . S A^{'}, S B = b . S B^{'},

S C = c . S C^{'}

, trong đó

a, b, c

a, b, c

để mặt phẳng

(A^{'} B^{'} C^{'})

đi qua trọng tâm của tam giác ABC.

A.

a + b + c = 3

B. $a + b + c = 4$

C. $a + b + c = 2$

D. $a + b + c = 1$

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Nếu $a = b = c = 1$ thì $S A = S A^{'}, S B = S B^{'}, S C = S C^{'}$ nên $(A B C) \equiv (A^{'} B^{'} C^{'})$ .

Suy ra $(A^{'} B^{'} C^{'})$ đi qua trọng tâm của tam giấc ABC

=> $a + b + c = 3$ là đáp án đúng.

Câu 15:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt

\vec{S A} = \vec{a}, \vec{S B} = \vec{b}, \vec{S C} = \vec{c},

\vec{S D} = \vec{d}

. Khẳng định nào sau đây đúng.

A.

\vec{a} + \vec{c} = \vec{d} + \vec{b}

B. $\vec{a} + \vec{c} + \vec{d} + \vec{b} = \vec{0}$

C. $\vec{a} + \vec{d} = \vec{b} + \vec{c}$

D. $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c} + \vec{d}$

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Ta có:

$\{\begin{cases} \vec{a} + \vec{c} = \vec{S A} + \vec{S C} = 2 \vec{S O} \\ \vec{b} + \vec{d} = \vec{S B} + \vec{S D} = 2 \vec{S O} \end{cases}$

=> $\vec{a} + \vec{c} = \vec{d} + \vec{b}$

Câu 16:

. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

A. $\vec{A C_{1}} + \vec{A_{1} C} = 2 \vec{A C}$

B. $\vec{A C_{1}} + \vec{C A_{1}} + 2 \vec{C_{1} C} = \vec{0}$

C. $\vec{A C_{1}} + \vec{A_{1} C} = \vec{A A_{1}}$

D. $\vec{C A_{1}} + \vec{A C} = \vec{C C_{1}}$

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

+ Gọi O là tâm của hình hộp $A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ .

+ Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra.

Câu 17:

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

A. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu

\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{O}

.

B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu

\vec{A B} = \vec{C D}

.

C. Cho hình chóp S.ABCD. Nếu có

\vec{S B} + \vec{S D} = \vec{S A} + \vec{S C}

thì tứ giác ABCD là hình bình hành.

D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu

\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A D}

.

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

$\vec{S B} + \vec{S D} = \vec{S A} + \vec{S C}$

$\Leftrightarrow \vec{S A} + \vec{A B} + \vec{S A} + \vec{A D}$

$= \vec{S A} + \vec{S A} + \vec{A C} .$

$\Leftrightarrow \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C} .$

$\Leftrightarrow A B C D$ là hình bình hành

Câu 18:

Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A,B,C,D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A,B,C,D tạo thành hình bình hành là:

Cho hình lập phương

A B C D . E F G H

có cạnh bằng a. Ta có

\vec{A B} . \vec{E G}

bằng?

A. $a^{2} \sqrt{2}$

B. $a^{2}$

C. $a^{2} \sqrt{3}$

D. $\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

$\vec{A B} . \vec{E G} = \vec{A B} . (\vec{E F} + \vec{E H})$

$= \vec{A B} . \vec{E F} + \vec{A B} \vec{. E H}$

$= {\vec{A B}}^{2} + \vec{A B} . \vec{A D} (\vec{E H} = \vec{A D})$

$= a^{2}$ (Vì $\vec{A B} ⊥ \vec{A D}$ ).

Câu 19:

18/07/2024

A.

\vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} = \vec{O C} + \frac{1}{2} \vec{O D}

B. $\vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O C} = \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O D}$

C. $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{O B} + \vec{O D}$

D. $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

$\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{O B} + \vec{O D}$

$\Leftrightarrow \vec{O A} + \vec{O A} + \vec{A C}$

$= \vec{O A} + \vec{A B} + \vec{O A} + \vec{B C}$

$\Leftrightarrow \vec{A C} = \vec{A B} + \vec{B C}$

Câu 20:

19/07/2024

. Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

A B B ’ A ’

và

B C C^{'} B^{'}

. Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng

B. $\vec{I K} = \frac{1}{2} \vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A^{'} C^{'}}$

C. Ba vectơ

\vec{B D}; \vec{I K}; \vec{B^{'} C^{'}}

không đồng phẳng.

D. $\vec{B D} + 2 \vec{I K} = 2 \vec{B C}$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

A. Đúng vì $\vec{I K}, \vec{A C}$ cùng thuộc $(B^{'} A C)$

B. Đúng vì

$\vec{I K} = \vec{I B^{'}} + \vec{B' K}$

$= \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) + \frac{1}{2} (- \vec{a} + \vec{c})$

$= \frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{2} \vec{A C}$

$= \frac{1}{2} \vec{A^{'} C^{'}} .$

C. Sai vì

$\vec{I K} = \vec{I B^{'}} + \vec{B' K}$

$= \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) + \frac{1}{2} (- \vec{a} + \vec{c})$

$= \frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c}) .$

$\Rightarrow \vec{B D} + 2 \vec{I K} = - \vec{b} + \vec{c} + \vec{b} + \vec{c}$

$= 2 \vec{c} = 2 \vec{B^{'} C^{'}}$

$\Rightarrow$ ba véctơ đồng phẳng.

D. Đúng vì theo câu C

$\Rightarrow \vec{B D} + 2 \vec{I K} = - \vec{b} + \vec{c} + \vec{b} + \vec{c}$

$= 2 \vec{c} = 2 \vec{B^{'} C^{'}} = 2 \vec{B C} .$

Câu 21:

18/07/2024

Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M,N sao cho

A M = 3 M D

,

B N = 3 N C

. Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Các vectơ

\vec{B D}, \vec{A C}, \vec{M N}

đồng phẳng.

B. Các vectơ

\vec{M N}, \vec{D C}, \vec{P Q}

đồng phẳng.

C. Các vectơ

\vec{A B}, \vec{D C}, \vec{P Q}

đồng phẳng.

D. Các vectơ

\vec{A B}, \vec{D C}, \vec{M N}

đồng phẳng.

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

A. Sai vì

$\{\begin{cases} \vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A C} + \vec{C N} \\ \vec{M N} = \vec{M D} + \vec{D B} + \vec{B N} \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} \vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A C} + \vec{C N} \\ \vec{3 M N} = \vec{3 M D} + 3 \vec{D B} + 3 \vec{B N} \end{cases}$

$\Rightarrow 4 \vec{M N} = \vec{A C} - 3 \vec{B D} + \frac{1}{2} \vec{B C}$

$\Rightarrow \vec{B D}, \vec{A C}, \vec{M N}$ không đồng phẳng.

B. Đúng vì

$\{\begin{cases} \vec{M N} = \vec{M P} + \vec{P Q} + \vec{Q N} \\ \vec{M N} = \vec{M D} + \vec{D C} + \vec{C N} \end{cases}$

$\Rightarrow 2 \vec{M N} = \vec{P Q} + \vec{D C}$

$\Rightarrow \vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{P Q} + \vec{D C})$

$\Rightarrow \vec{M N}, \vec{D C}, \vec{P Q}$ : đồng phẳng.

C. Đúng. Bằng cách biểu diễn $\vec{P Q}$ tương tự như trên ta có $\vec{P Q} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{D C}) .$

D. Đúng. Biểu diễn giống đáp án A ta có $\vec{M N} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{D C}$ .

Câu 22:

12/10/2024

Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Hãy chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:

A.

\vec{A D} + \vec{C B} + \vec{B C} + \vec{D A} = \vec{0}

B. $\vec{A B} . \vec{B C} = - \frac{a^{2}}{2}$

C. $\vec{A C} . \vec{A D} = \vec{A C} . \vec{C D} .$

D. $A B ⊥ C D$ hay

\vec{A B} . \vec{C D} = 0

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

* Phương pháp giải:

Sử dụng định ngĩa vectơ, phép cộng và phép trừ vec tơ trong không gian, điều kiện đồng phẳng của ba vectơ để tìm mệnh đề sai.

* Lời giải:

Vì ABCD là tứ diện đều nên các tam giác ABC, BCD, CDA, ABD là các tam giác đều.

A. Đúng vì $\vec{A D} + \vec{C B} + \vec{B C} + \vec{D A}$ $= \vec{D A} + \vec{A D} + \vec{B C} + \vec{C B} = \vec{0}$

B. Đúng vì $\vec{A B} . \vec{B C} = - \vec{B A} . \vec{B C}$ $= - a . a . \cos 60^{0} = \frac{- a^{2}}{2} .$

C. Sai vì $\vec{A C} . \vec{A D} = a . a . \cos 60^{0} = \frac{a^{2}}{2}$ $\vec{A C} . \vec{C D} = - \vec{C A} . \vec{C D}$ $= - a . a . \cos 60^{0} = - \frac{a^{2}}{2}$

D. Đúng vì $\vec{A B} ⊥ \vec{C D} \Rightarrow \vec{A B} . \vec{C D} = 0.$

* Một số dạng bài tập liên quan:

Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian.
+ Dạng 1. Chứng minh một đẳng thức vectơ.
+ Dạng 2. Phân tích một vectơ theo các vectơ thành phần.
+ Dạng 3. Góc giữa hai vectơ. Tích vô hướng giữa hai vectơ.
+ Dạng 4. Một số bài toán ứng dụng vectơ giải toán thực tiễn.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 Bài tập Vectơ trong không gian Toán 11 mới nhất

Trắc nghiệm Vectơ trong không gian có đáp án (Thông hiểu)

100 câu trắc nghiệm Vecto trong không gian nâng cao (phần 1)

Câu 23:

gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

Cho tứ diện ABCD. Đặt

\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}, \vec{A D} = \vec{c},

A. $\vec{A G} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

B. $\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

C. $\vec{A G} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

D. $\vec{A G} = \frac{1}{4} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi M là trung điểm BC.

$\vec{A G} = \vec{A B} + \vec{B G} = \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{B M}$

$= \vec{a} + \frac{2}{3} . \frac{1}{2} (\vec{B C} + \vec{B D})$

$= \vec{a} + \frac{1}{3} (\vec{A C} - \vec{A B} + \vec{A D} - \vec{A B})$

$= \vec{a} + \frac{1}{3} (- 2 \vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

$= \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) .$

Câu 24:

. Gọi M là trung điểm AD. Chọn đẳng thức đúng.

A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

A. $\vec{B_{1} M} = \vec{B_{1} B} + \vec{B_{1} A_{1}} + \vec{B_{1} C_{1}}$

B. $\vec{C_{1} M} = \vec{C_{1} C} + \vec{C_{1} D_{1}} + \frac{1}{2} \vec{C_{1} B_{1}}$

C. $\vec{C_{1} M} = \vec{C_{1} C} + \frac{1}{2} \vec{C_{1} D_{1}} + \frac{1}{2} \vec{C_{1} B_{1}}$

D. $\vec{B B_{1}} + \vec{B_{1} A_{1}} + \vec{B_{1} C_{1}} = 2 \vec{B_{1} D}$

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

A. Sai vì

$\vec{B_{1} M} = \vec{B_{1} B} + \vec{B M}$

$= \vec{B B_{1}} + \frac{1}{2} (\vec{B A} + \vec{B D})$

$= \vec{B B_{1}} + \frac{1}{2} (\vec{B_{1} A_{1}} + \vec{B_{1} D_{1}})$

$= \vec{B B_{1}} + \frac{1}{2} (\vec{B_{1} A_{1}} + \vec{B_{1} A_{1}} + \vec{B_{1} C_{1}})$

$= \vec{B B_{1}} + \vec{B_{1} A_{1}} + \frac{1}{2} \vec{B_{1} C_{1}} .$

B. Đúng vì

$\vec{C_{1} M} = \vec{C_{1} C} + \vec{C M}$

$= \vec{C_{1} C} + \frac{1}{2} (\vec{C A} + \vec{C D})$

$= \vec{C_{1} C} + \frac{1}{2} (\vec{C_{1} A_{1}} + \vec{C_{1} D_{1}})$

$= \vec{C_{1} C} + \frac{1}{2} (\vec{C_{1} B_{1}} + \vec{C_{1} D_{1}} + \vec{C_{1} D_{1}})$

$= \vec{C_{1} C} + \vec{C_{1} D_{1}} + \frac{1}{2} \vec{C_{1} B_{1}} .$

C. Sai. theo câu B suy ra

D. Đúng vì

$\vec{B B_{1}} + \vec{B_{1} A_{1}} + \vec{B_{1} C_{1}}$

$= \vec{B A_{1}} + \vec{B C} = \vec{B D_{1}}$

Câu 25:

Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn

\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}

(G là trọng tâm của tứ diện). Gọi

G_{0}

là giao điểm của GA và mp

(B C D)

. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A.

\vec{G A} = - 2 \vec{G_{0} G}

B. $\vec{G A} = 4 \vec{G_{0} G}$

C. $\vec{G A} = 3 \vec{G_{0} G}$

D. $\vec{G A} = 2 \vec{G_{0} G}$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Theo đề: $G_{0}$ là giao điểm của GA và mp $(B C D)$

$\Rightarrow G_{0}$ là trọng tâm tam giác BCD.

$\Rightarrow \vec{G_{0} A} + \vec{G_{0} B} + \vec{G_{0} C} = \vec{0}$

Ta có: $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{G A} = - (\vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D})$

$= - (3 \vec{G G_{0}} + \vec{G_{0} A} + \vec{G_{0} B} + \vec{G_{0} C})$

$= - 3 \vec{G G_{0}} = 3 \vec{G_{0} G}$

Câu 26:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Các vectơ

\vec{A B}, \vec{D C}, \vec{M N}

đồng phẳng.

B. Các vectơ

\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{M N}

không đồng phẳng.

C. Các vectơ

\vec{A N}, \vec{C M}, \vec{M N}

đồng phẳng.

D. Các vectơ

\vec{B D}, \vec{A C}, \vec{M N}

đồng phẳng.

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

A. Đúng vì $\vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{D C}) .$

B. Đúng vì từ N ta dựng véctơ bằng véctơ $\vec{M N}$ thì $\vec{M N}$ không nằm trong mặt phẳng $(A B C)$ .

C. Sai. Tương tự đáp án B thì $\vec{A N}$ không nằm trong mặt phẳng $(C M N)$ .

D. Đúng vì $\vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{B D}) .$

Câu 27: