Giải Toán 11 trang 86 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Với giải bài tập Toán 11 trang 86 trong Bài tập cuối chương 3 sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 86.

1 393 30/06/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 86 Tập 1

Bài 6 trang 86 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{3 n - 1}{n}$ ;

b) $\lim \frac{\sqrt{n^{2} + 2}}{n}$ ;

c) $\lim \frac{2}{3 n + 1}$ ;

d) $\lim \frac{(n + 1) (2 n + 2)}{n^{2}}$ .

Lời giải:

a) $\lim \frac{3 n - 1}{n} = \lim \frac{3 - \frac{1}{n}}{1} = 3$ .

b) $\lim \frac{\sqrt{n^{2} + 2}}{n} = \lim \frac{\sqrt{1 + \frac{2}{n^{2}}}}{1} = 1$ .

c) $\lim \frac{2}{3 n + 1} = \lim \frac{\frac{2}{n}}{3 + \frac{1}{n}} = 0$ .

d) $\lim \frac{(n + 1) (2 n + 2)}{n^{2}} = \lim \frac{2 n^{2} + 4 n + 2}{n^{2}} = \lim \frac{2 + \frac{4}{n} + \frac{2}{n^{2}}}{1} = 2$ .

Bài 7 trang 86 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác đều có cạnh bằng a, gọi là tam giác H₁. Nỗi các trung điểm của H₁ để tạo thành tam giác H₂. Tiếp theo, nối các trung điểm của H₂ để tạo thành tam giác H₃ (Hình 1). Cứ tiếp tục như vậy, nhận được dãy tam giác H₁, H₂, H₃, ...

Tỉnh tổng chu vi và tổng diện tích của các tam giác của dãy.

Lời giải:

Ta có:

Diện tích tam giác H₁ = S và chu vi tam giác H₁ = 3a;

Diện tích tam giác H₂ = $\frac{1}{4}$ S và chu vi tam giác H₂ = $\frac{1}{2}$ 3a;

Diện tích tam giác H₂ = ${(\frac{1}{4})}^{2}$ S và chu vi tam giác H₃ = ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 3a;

...

Diện tích tam giác H_n = ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ S và chu vi tam giác H₂ = ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ 3a;

Khi đó:

Diện tích của dãy các tam giác H₁; H₂; H₃; ...; H₄ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu tiên u₁ = S và công bội q = $\frac{1}{4}$ có tổng bằng $S + \frac{1}{4} S + {(\frac{1}{4})}^{2} S + ... + {(\frac{1}{4})}^{n - 1} S + ... = \frac{S}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3} S$ .

Diện tích của dãy các tam giác H₁; H₂; H₃; ...; H₄ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu tiên u₁ = 3a và công bội q = $\frac{1}{2}$ có tổng bằng

$3 a + \frac{1}{2} .3 a + {(\frac{1}{2})}^{2} .3 a + {(\frac{1}{2})}^{3} .3 a + ... + {(\frac{1}{2})}^{n - 1} 3 a + ... = \frac{3 a}{1 - \frac{1}{2}} = 6 a$ .

Bài 8 trang 86 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to - 1} (3 x^{2} - x + 2)$ ;

b) $\lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 16}{x - 4}$ ;

c) $\lim_{x \to 2} \frac{3 - \sqrt{x + 7}}{x - 2}$ .

Lời giải:

a) $\lim_{x \to - 1} (3 x^{2} - x + 2) = 6$ .

b) $\lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 16}{x - 4} = \lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) (x + 4)}{x - 4} = \lim_{x \to 4} (x + 4) = 8$ .

c) $\lim_{x \to 2} \frac{3 - \sqrt{x + 7}}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(2 - x) (3 + \sqrt{x + 7})}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (- 3 - \sqrt{x + 7}) = - 6$ .