Giải Toán 11 trang 56 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Với giải bài tập Toán 11 trang 56 trong Bài 2: Cấp số cộng sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 56.

1 417 28/06/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 56 Tập 1

Bài 1 trang 56 Toán 11 Tập 1: Chứng minh dãy số hữu hạn sau là cấp số cộng: 1; – 3; – 7; – 11; – 15.

Lời giải:

Dãy số 1; – 3; – 7; – 11; – 15 có số hạng đầu là u₁ = 1, từ số hạng thứ hai trở đi ta thấy số hạng sau hơn số hạng trước – 4 đơn vị nên đây là một cấp số cộng có công sai d = – 4.

Bài 2 trang 56 Toán 11 Tập 1: Cho (u_n) là cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 4 và công sai d = – 10. Viết công thức số hạng tổng quát u_n.

Lời giải:

Công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n) có số hạng đầu u₁ = 4 và công sai d = – 10 là:

u_n = 4 + (n – 1).10 = 10n – 6.

Bài 3 trang 56 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = – 3 và công sai d = 2.

a) Tìm u₁₂;

b) Số 195 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó?

Lời giải:

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) với số hạng đầu u₁ = – 3 và công sai d = 2 là:

u_n = – 3 + (n – 1).2 = 2n – 5.

a) Ta có u₁₂ = 2.12 – 5 = 19.

b) Xét u_n = 195

⇔ 2n – 5 = 195

⇔ n = 100

Vậy số 195 là số hạng thứ 100 của cấp số cộng.

Bài 4 trang 56 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.

a) u_n = 3 – 4n;

b) u_n = $\frac{n}{2} - 4$ ;

c) u_n = 5ⁿ;

d) u_n = $\frac{9 - 5 n}{3}$ .

Lời giải:

a) Ta có:

u₁ = 3 – 4.1 = – 1;

u_n+1 = 3 – 4(n + 1) = 3 – 4n – 4 = u_n – 4, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy (u_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu là – 1 và công sai d = – 4.

b) Ta có:

u₁ = $\frac{1}{2} - 4 = \frac{- 7}{2}$ ;

u_n+1 = $\frac{n + 1}{2} - 4 = \frac{n}{2} - 4 + \frac{1}{2} = u_{n} + \frac{1}{2}, \forall n \in ℕ^{*}$ .

Vậy (u_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu là $- \frac{7}{2}$ và công sai $d = \frac{1}{2}$ .

c) Dãy số (u_n) không phải cấp số cộng vì:

u₁ = 5¹ = 5; u₂ = 5² = 25; u₂ = 5³ = 125 và $u_{2} \neq \frac{1}{2} (u_{1} + u_{3})$ .

d) Ta có:

u₁ = $\frac{9 - 5.1}{3} = \frac{4}{3}$

u_n+1 = $\frac{9 - 5 (n + 1)}{3} = \frac{9 - 5 n - 5}{3} = \frac{9 - 5 n}{3} - \frac{5}{3} = u_{n} - \frac{5}{3}, \forall n \in ℕ^{*}$ .

Vậy (u_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu là $\frac{4}{3}$ và công sai $d = - \frac{5}{3}$ .

Bài 5 trang 56 Toán 11 Tập 1: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (u_n), biết:

a) ;

b) ;

c) .

Lời giải:

a) Bài 5 trang 56 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11 .

Vậy cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 10.

b) Bài 5 trang 56 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Bài 5 trang 56 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Vậy cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = – 60 và công sai d = 40.

c) Bài 5 trang 56 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

$\Leftrightarrow$ Bài 5 trang 56 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11 .

Vậy cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = 1 và công sai d = 1 hoặc số hạng đầu u₁ = – 10 và công sai d = 1.

Bài 6 trang 56 Toán 11 Tập 1: Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là 45 cm, 43 cm, 41 cm, ..., 31 cm.

a) Cái thang đó có bao nhiêu bậc?

b) Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều dài các mối nối (phần gỗ bị cắt thành mùn cưa) là không đáng kể.

Lời giải:

a) Dãy số 45; 43; 41; ...; 31 là một cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 45 và công sai d = 2. Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng trên là:

u_n = 45 + (n – 1)(– 2) = 47 – 2n, ∀n ∈ ℕ^*.

Thanh cuối cùng có độ dài là 31 cm nên để tìm thang có bao nhiêu bậc tương ứng với tìm thanh ngang cuối cùng là số hạng thứ bao nhiêu trong cấp số cộng trên.

Ta có u_n= 47 – 2n = 31

⇔ n = 8

Vậy cái thang có 8 bậc.

b) Chiều dài thanh gỗ cần mua là tổng của 8 số hạng đầu tiên của cấp số cộng và bằng $S_{8} = \frac{8 (45 + 31)}{2} = 304 (c m)$ .