Giải Toán 11 trang 124 Kết nối tri thức

Với giải bài tập Toán 11 trang 124 trong Bài tập cuối chương 5 sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 124.

1 233 04/06/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 124

Bài 5.25 trang 124 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) có tính chất . Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này?

Lời giải:

Vì Colorkey

Do đó, $\lim_{n \to + \infty} (u_{n} - 1) = 0$ . Từ đó suy ra $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 1$ .

Bài 5.26 trang 124 Toán 11 Tập 1: Tìm giới hạn của các dãy số sau:

a) $u_{n} = \frac{n^{2}}{3 n^{2} + 7 n - 2}$ ;

b) $v_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{3^{k} + 5^{k}}{6^{k}}$ ;

c) $w_{n} = \frac{\sin n}{4 n}$ .

Lời giải:

a) $u_{n} = \frac{n^{2}}{3 n^{2} + 7 n - 2}$

Ta có:

$\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2}}{3 n^{2} + 7 n - 2}$ $= \lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2}}{n^{2} (3 + \frac{7}{n} - \frac{2}{n^{2}})}$ $= \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{3 + \frac{7}{n} - \frac{2}{n^{2}}} = \frac{1}{3}$

Toán 11 (Kết nối tri thức): Bài tập cuối chương 5 (ảnh 1)

Bài 5.26 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Vì ${(\frac{1}{2})}^{1} + {(\frac{1}{2})}^{2} + ... + {(\frac{1}{2})}^{n}$ là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu là ${(\frac{1}{2})}^{1} = \frac{1}{2}$ và công bội là $\frac{1}{2}$ nên

${(\frac{1}{2})}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{1} + {(\frac{1}{2})}^{2} + ... + {(\frac{1}{2})}^{n} = {(\frac{1}{2})}^{0} + \frac{\frac{1}{2} (1 - {(\frac{1}{2})}^{n})}{1 - \frac{1}{2}}$ $= 1 + (1 - {(\frac{1}{2})}^{n}) = 2 - {(\frac{1}{2})}^{n}$ .

Tương tự, ta tính được:

${(\frac{5}{6})}^{0} + {(\frac{5}{6})}^{1} + {(\frac{5}{6})}^{2} + ... + {(\frac{5}{6})}^{n} = {(\frac{5}{6})}^{0} + \frac{\frac{5}{6} (1 - {(\frac{5}{6})}^{n})}{1 - \frac{5}{6}}$ $= 1 + 5 (1 - {(\frac{5}{6})}^{n}) = 6 - 5 \cdot {(\frac{5}{6})}^{n}$ .

Do đó, Bài 5.26 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Vậy Bài 5.26 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

c) $w_{n} = \frac{\sin n}{4 n}$

Ta có: Bài 5.26 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Do đó, $\lim_{n \to + \infty} w_{n} = \lim_{n \to + \infty} \frac{\sin n}{4 n} = 0$ .

Bài 5.27 trang 124 Toán 11 Tập 1: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số.

a) 1,(01);

b) 5,(132).

Lời giải:

a) Ta có: 1,(01) = 1,010101... = 1 + 0,01 + 0,0001 + 0,000001 + ...

= 10⁰ + 10^-2 + 10^-4 + 10^-6 + ...

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 10⁰ = 1 và q = 10^-2 nên

1,(01) = $\frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{1}{1 - 10^{- 2}} = \frac{100}{99}$ .

b) Ta có: 5,(132) = 5,132132132... = 5 + 0,132 + 0,000132 + 0,000000132 + ...

= 5 + 0,132 + 0,132 . 10^-3 + 0,132 . 10^-6 + ...

Vì 0,132 + 0,132 . 10^-3 + 0,132 . 10^-6 + ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 0,132 và q = 10^-3 nên

0,132 + 0,132 . 10^-3 + 0,132 . 10^-6 + ... = $\frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{0, 132}{1 - 10^{- 3}} = \frac{44}{333}$ .

Do đó 5,(132) = 5 + $\frac{44}{333}$ = $\frac{1709}{333}$ .

Bài 5.28 trang 124 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x + 2} - 3}{x - 7}$ ;

b) $\lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$ ;

c) $\lim_{x \to 1} \frac{2 - x}{{(1 - x)}^{2}}$ ;

d) $\lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2}{\sqrt{4 x^{2} + 1}}$ .

Lời giải:

a) $\lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x + 2} - 3}{x - 7}$ $= \lim_{x \to 7} \frac{{(\sqrt{x + 2})}^{2} - 3^{2}}{(x - 7) (\sqrt{x + 2} + 3)}$

$= \lim_{x \to 7} \frac{x - 7}{(x - 7) (\sqrt{x + 2} + 3)}$ $= \lim_{x \to 7} \frac{1}{\sqrt{x + 2} + 3}$ $= \frac{1}{\sqrt{7 + 2} + 3} = \frac{1}{6}$ .

b) $\lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$ $= \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x + 1)}$ $= \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} = \frac{1^{2} + 1 + 1}{1 + 1} = \frac{3}{2}$ .

c) $\lim_{x \to 1} \frac{2 - x}{{(1 - x)}^{2}}$

Ta có: $\lim_{x \to 1} (2 - x) = 2 - 1 = 1 > 0$ ;

$\lim_{x \to 1} {(1 - x)}^{2} = 0$ và (1 – x)² > 0 với mọi x ≠ 1.

Do vậy, $\lim_{x \to 1} \frac{2 - x}{{(1 - x)}^{2}} = + \infty$ .

d) $\lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2}{\sqrt{4 x^{2} + 1}}$ $= \lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} (4 + \frac{1}{x^{2}})}}$

$= \lim_{x \to - \infty} \frac{x (1 + \frac{2}{x})}{- x \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}}$ $= \lim_{x \to - \infty} \frac{- (1 + \frac{2}{x})}{\sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}}$ $= - \frac{1}{2}$ .

Bài 5.29 trang 124 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn một bên:

b) $\lim_{x \to 1^{-}} \frac{x}{\sqrt{1 - x}}$ .

Lời giải:

a) Bài 5.29 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Với mọi x > 3, ta có x – 3 > 0 nên |x – 3| = x – 3.

Do đó, Bài 5.29 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

b) $\lim_{x \to 1^{-}} \frac{x}{\sqrt{1 - x}}$

Ta có: $\lim_{x \to 1^{-}} x = 1 > 0$ ; $\lim_{x \to 1^{-}} \sqrt{1 - x} = 0$

Và với mọi x < 1, ta có 1 – x > 0, suy ra $\sqrt{1 - x} > 0$ .

Vậy $\lim_{x \to 1^{-}} \frac{x}{\sqrt{1 - x}} = + \infty$ .

Bài 5.30 trang 124 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng giới hạn không tồn tại.

Lời giải:

+) Với x > 0, ta có: |x| = x.

Khi đó, Bài 5.30 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11 (1)

+) Với x < 0, ta có: |x| = – x.

Khi đó, Bài 5.30 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11 (2)

Từ (1) và (2) suy ra Bài 5.30 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11 nên không tồn tại giới hạn

Bài 5.31 trang 124 Toán 11 Tập 1: Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho.

Lời giải:

a) Với x ≠ 0, thì $f (x) = \frac{1}{x}$ , ta có: $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = - \infty$ và $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = + \infty$ .

Suy ra $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} \neq \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}$ nên không tồn tại $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ .

Vậy hàm số đã cho gián đoạn tại x = 0.

b) Ta có: $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (2 - x) = 2 - 1 = 1$ ;

$\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (1 + x) = 1 + 1 = 2$ .

Suy ra nên không tồn tại $\lim_{x \to 1} f (x)$ .

Vậy hàm số đã cho gian đoạn tại x = 1.

Bài 5.32 trang 124 Toán 11 Tập 1: Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm Trái Đất là

trong đó M và R lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Xét tính liên tục của hàm số F(r).

Lời giải:

Vì M và R lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn, do đó M, R, G đều khác 0, r là khoảng cách nên r > 0.

Ta có: Bài 5.32 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11 Tập xác định của hàm số F(r) là (0; +∞).

+) Với r < R thì F(r) = $\frac{G M r}{R^{3}}$ hay F(r) = $\frac{G M}{R^{3}} . r$ là hàm đa thức nên nó liên tục trên (0; R).

+) Với r > R thì F(r) = $\frac{G M}{r^{2}}$ là hàm phân thức nên nó liên tục trên (R; +∞).

+) Tại r = R, ta có F(R) = $\frac{G M}{R^{2}}$ .

$\lim_{r \to R^{+}} F (r) = \lim_{r \to R^{+}} \frac{G M}{r^{2}} = \frac{G M}{R^{2}}$ ; $\lim_{r \to R^{-}} f (R) = \lim_{r \to R^{-}} \frac{G M r}{R^{3}} = \frac{G M R}{R^{3}} = \frac{G M}{R^{2}}$ .

Do đó, $\lim_{r \to R^{+}} F (r) = \lim_{r \to R^{-}} F (r) = \frac{G M}{R^{2}}$ nên $\lim_{r \to R} F (r) = \frac{G M}{R^{2}} = F (R)$ .

Suy ra hàm số F(r) liên tục tại r = R.

Vậy hàm số F(r) liên tục trên (0; +∞).

Bài 5.33 trang 124 Toán 11 Tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau và giải thích tại sao các hàm này liên tục trên các khoảng xác định của chúng.

a) $f (x) = \frac{\cos x}{x^{2} + 5 x + 6}$ ;

b) $g (x) = \frac{x - 2}{\sin x}$ .

Lời giải:

a) Biểu thức có nghĩa khi x² + 5x + 6 ≠ 0 ⇔ (x + 2)(x + 3) ≠ 0 Bài 5.33 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là ℝ \ {– 3; – 2} = (–∞; – 3) ∪ (– 3; – 2) ∪ (– 2; +∞).

Suy ra hàm số f(x) xác định trên các khoảng (–∞; – 3), (– 3; – 2) và (– 2; +∞). Trên các khoảng này, tử thức (hàm lượng giác) và mẫu thức (hàm đa thức) là các hàm số liên tục. Vậy hàm số $f (x) = \frac{\cos x}{x^{2} + 5 x + 6}$ liên tục trên các khoảng xác định của chúng.

b) Biểu thức $\frac{x - 2}{\sin x}$ có nghĩa khi sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈ ℤ.

Do đó, tập xác định của hàm số g(x) là ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

Trên các khoảng xác định của hàm số g(x), tử thức x – 2 (hàm đa thức) và mẫu thức sin x (hàm lượng giác) là các hàm số liên tục.

Vậy hàm số $g (x) = \frac{x - 2}{\sin x}$ liên tục trên các khoảng xác định của chúng.

Bài 5.34 trang 124 Toán 11 Tập 1: Tìm các giá trị của a để hàm số liên tục trên ℝ.

Lời giải:

Ta có: Bài 5.34 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11 Tập xác định của hàm số f(x) là ℝ.

+) Với x < a thì f(x) = x + 1 là hàm đa thức nên nó liên tục trên (–∞; a).

+) Với x > a thì f(x) = x² là hàm đa thức nên nó liên tục trên (a; +∞).

+) Tại x = a, ta có f(a) = a + 1.

$\lim_{x \to a^{-}} f (x) = \lim_{x \to a^{-}} (x + 1) = a + 1$ ; $\lim_{x \to a^{+}} f (x) = \lim_{x \to a^{+}} x^{2} = a^{2}$ .

Để hàm số f(x) đã cho liên tục trên ℝ thì f(x) phải liên tục tại x = a, điều này xảy ra khi và chỉ khi $\lim_{x \to a^{+}} f (x) = \lim_{x \to a^{-}} f (x) = f (a)$ ⇔ a + 1 = a² ⇔ a² – a – 1 = 0