Bài 5.19 trang 123 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 5

Bài 5.19 trang 123 Toán 11 Tập 1: Cho $u_n=\frac{2+2^2+\mathrm{...}+2^n}{2^n}$. Giới hạn của dãy số (u_n) bằng

A. 1.

B. 2.

C. – 1.

D. 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: 2 + 2² + ... + 2ⁿ, đây là tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu là u₁ = 2 và công bội q = 2. Do đó, 2 + 2² + ... + 2ⁿ = $\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{2\left(1-2^n\right)}{1-2}=-2\left(1-2^n\right)$.

Khi đó, $u_n=\frac{2+2^2+\mathrm{...}+2^n}{2^n}$$=\frac{-2\left(1-2^n\right)}{2^n}$$=\frac{2^n-1}{2^{n-1}}=2-\frac{1}{2^{n-1}}$.

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2-\frac{1}{2^{n-1}}\right)=2$.