Bài 5.26 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 5

Bài 5.26 trang 124 Toán 11 Tập 1: Tìm giới hạn của các dãy số sau:

a) $u_n=\frac{n^2}{3n^2+7n-2}$;

b) $v_n=\sum _{k=0}^n\frac{3^k+5^k}{6^k}$;

c) ${\text{w}}_n=\frac{\sin n}{4n}$.

Lời giải:

a) $u_n=\frac{n^2}{3n^2+7n-2}$

Ta có:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2}{3n^2+7n-2}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2}{n^2\left(3+\frac{7}{n}-\frac{2}{n^2}\right)}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{3+\frac{7}{n}-\frac{2}{n^2}}=\frac{1}{3}$

Vì ${\left(\frac{1}{2}\right)}^1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu là ${\left(\frac{1}{2}\right)}^1=\frac{1}{2}$ và công bội là $\frac{1}{2}$ nên

${\left(\frac{1}{2}\right)}^0+{\left(\frac{1}{2}\right)}^1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^n={\left(\frac{1}{2}\right)}^0+\frac{\frac{1}{2}\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)}{1-\frac{1}{2}}$$=1+\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)=2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$.

Tương tự, ta tính được:

${\left(\frac{5}{6}\right)}^0+{\left(\frac{5}{6}\right)}^1+{\left(\frac{5}{6}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(\frac{5}{6}\right)}^n={\left(\frac{5}{6}\right)}^0+\frac{\frac{5}{6}\left(1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^n\right)}{1-\frac{5}{6}}$$=1+5\left(1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^n\right)=6-5\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^n$.

Do đó, 

Vậy 

c) ${\text{w}}_n=\frac{\sin n}{4n}$

Ta có: 

Do đó, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\text{w}}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sin n}{4n}=0$.