Giải Toán 10 trang 97 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 trang 97 Tập 2

Bài 17 trang 97 Toán 10 Tập 2: Trong đêm, một âm thanh cầu cứu phát ra từ một vị trí trong rừng và đã được hai trạm ghi tín hiệu ở các vị trí A, B nhận được. Khoảng cách giữa hai trạm là 16 km và trạm ở vị trí A nhận được tín hiệu sớm hơn 6 giây so với trạm ở vị trí B. Giả sử vận tốc âm thanh là 1 236 km/h. Hãy xác định phạm vi tìm kiếm vị trí phát ra âm thanh đó.

Lời giải

Gọi R là vị trí phát ra âm thanh cầu cứu trong rừng. Gọi t_A, t_B lần lượt là thời gian truyền từ R đến các trạm phát thanh A, B.

Ta có t_B – t_A = 6 (giây) ⇔ t_A – t_B = – 6 (giây).

Đổi 1 236 km/h = $\frac{103}{300}$ km/s.

Vậy vận tốc âm thanh là $v=\frac{103}{300}$ km/s.

Từ đó suy ra:

RA – RB = v . t_A – v . t_B = v.(t_A – t_B) = $\frac{103}{300}.\left(-6\right)=-\mathrm{2,06}$.

Gọi (H) là hypebol ở dạng chính tắc nhận A, B làm hai tiêu điểm và đi qua R (đây là phương trình xác định phạm vi tìm kiếm của vị trí phát ra âm thanh).

Khi đó ta có

$\left\{\begin{array}{l}2c=AB=16\\ 2a=\left|RA-RB\right|=\left|-\mathrm{2,06}\right|=\mathrm{2,06}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}c=8\\ a=\mathrm{1,03}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=\mathrm{1,03}\\ b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{8^2-{\left(\mathrm{1,03}\right)}^2}=\sqrt{\mathrm{62,9391}}\end{array}\right.$.

Vậy phương trình chính tắc của (H) là

$\frac{x^2}{{\left(\mathrm{1,03}\right)}^2}-\frac{y^2}{{\left(\sqrt{\mathrm{62,9391}}\right)}^2}=1$ hay $\frac{x^2}{\mathrm{1,0609}}-\frac{y^2}{\mathrm{62,9391}}=1$.

Lưu ý rằng RA < RB, do đó vị trí của điểm R thuộc nhánh của (H) gần với trạm A hơn.

Bài 18 trang 97 Toán 10 Tập 2: Các nhà toán học cổ đại Trung Quốc đã dùng phân số $\frac{22}{7}$ để xấp xỉ cho π.

a) Cho biết đâu là số đúng, đâu là số gần đúng.

b) Đánh giá sai số tuyệt đối, sai số tương đối của giá trị gần đúng này, biết

3,1415 < π < 3,1416.

Lời giải

a) Số π là số đúng, $\frac{22}{7}$ là số gần đúng.

b) 3,1415 < π < 3,1416

⇔ – 3,1416 < – π < – 3,1415

⇔ $\frac{22}{7}-\mathrm{3,1416}<\frac{22}{7}-\pi <\frac{22}{7}-\mathrm{3,1415}$

Do đó, $\left|\frac{22}{7}-\pi \right|<\frac{22}{7}-\mathrm{3,1415}=\mathrm{0,001357142...}<\mathrm{0,0014}$.

Vậy sai tuyệt đối không vượt quá 0,0014 và sai số tương đối nhỏ hơn $\frac{\mathrm{0,0014}}{\frac{22}{7}}<\mathrm{0,05}\%$.  

Bài 19 trang 97 Toán 10 Tập 2: Tỉ lệ hộ nghèo (%) của 10 tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong năm 2010 và năm 2016 được cho trong bảng sau:

Tỉnh/ thành phố	Năm 2010	Năm 2016
Hà Nội	5,3	1,3
Vĩnh Phúc	10,4	2,9
Bắc Ninh	7,0	1,6
Hải Dương	10,8	2,3
Hải Phòng	6,5	2,1
Hưng Yên	11,1	2,6
Thái Bình	10,7	3,7
Hà Nam	12,0	4,4
Nam Định	10,0	3,0
Ninh Bình	12,2	4,3

(Theo Tổng cục Thống kê)

a) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của tỉ lệ hộ nghèo các tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong các năm 2010, 2016.

b) Dựa trên kết quả nhận được, em có nhận xét gì về số trung bình và độ phân tán của tỉ lệ hộ nghèo các tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong các năm 2010 và 2016.

Lời giải

a) Tỉ lệ hộ nghèo trung bình năm 2010 là

$\overline{x_1}=\frac{\mathrm{5,3}+\mathrm{10,4}+\mathrm{7,0}+\mathrm{10,8}+\mathrm{6,5}+\mathrm{11,1}+\mathrm{10,7}+\mathrm{12,0}+\mathrm{10,0}+\mathrm{12,2}}{10}=\mathrm{9,6}$.

Phương sai của mẫu số liệu của năm 2010 là:

$s_1^2=\frac{1}{10}$[(5,3 – 9,6)² + (10,4 – 9,6)² + (7,0 – 9,6)² + (10,8 – 9,6)² + (6,5 – 9,6)² + (11,1 – 9,6)² + (10,7 – 9,6)² + (12,0 – 9,6)² + (10,0 – 9,6)² + (12,2 – 9,6)²] = 5,308.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu của năm 2010 là $s_1=\sqrt{s_1^2}=\sqrt{\mathrm{5,308}}\approx \mathrm{2,304}$.

Tỉ lệ hộ nghèo trung bình năm 2016 là

$\overline{x_2}=\frac{\mathrm{1,3}+\mathrm{2,9}+\mathrm{1,6}+\mathrm{2,3}+\mathrm{2,1}+\mathrm{2,6}+\mathrm{3,7}+\mathrm{4,4}+\mathrm{3,0}+\mathrm{4,3}}{10}=\mathrm{2,82}$.

Phương sai của mẫu số liệu của năm 2016 là:

$s_2^2=\frac{1}{10}$[(1,3 – 2,82)² + (2,9 – 2,82)² + (1,6 – 2,82)² + (2,3 – 2,82)² + (2,1 – 2,82)² + (2,6 – 2,82)² + (3,7 – 2,82)² + (4,4 – 2,82)² + (3,0 – 2,82)² + (4,3 – 2,82)²] = 1,0136.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu của năm 2016 là s₂ = $\sqrt{s_2^2}=\sqrt{\mathrm{1,0136}}\approx \mathrm{1,007}$.

b)

Về số trung bình, tỉ lệ hộ nghèo của các tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng của năm 2016 giảm so với năm 2010.

Độ lệch chuẩn của tỉ lệ hộ nghèo năm 2016 cũng giảm so với năm 2010, điều đó có nghĩa là mức độ phân tán hay chênh lệch về tỉ lệ hộ nghèo giữa các tỉnh của năm 2016 thấp hơn so với năm 2010.

Bài 20 trang 97 Toán 10 Tập 2: Chọn ngẫu nhiên ba số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Tìm xác suất để tổng ba số chọn được là một số chẵn.

Lời giải

Không gian mẫu Ω là các tập {a; b; c} (với {a; b; c} là tập con của tập các số tự nhiên của đoạn [1; 23]).

Chọn ngẫu nhiên ba số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên, mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 3 của 23.

Vậy n(Ω) = $C_{23}^3=1771$.

Gọi E là biến cố: “Tổng ba số được chọn là một số chẵn”. E ⊂ Ω là các tập {a; b; c} mà a + b + c chẵn.

Ta có a + b + c chẵn khi và chỉ khi cả 3 số cùng chẵn hoặc có 2 số lẻ và 1 số chẵn.

• Trường hợp 1. Cả ba số được chọn cùng chẵn.

Tập các số chẵn thuộc đoạn [1; 23] là {2; 4; … ; 22}. Có 11 số chẵn.

Chọn 3 số chẵn trong 11 số chẵn có $C_{11}^3=165$ cách chọn.

Vậy có 165 bộ ba số {a; b; c} mà cả ba số đều là số chẵn.

• Trường hợp 2. Hai số lẻ và một số chẵn.

Tập các số lẻ thuộc đoạn [1; 23] là {1; 3; …; 23}. Có 12 số lẻ.

Chọn 2 số lẻ trong 12 số lẻ có $C_{12}^2=66$ cách chọn.

Chọn 1 số chẵn trong 11 số chẵn có 11 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, do đó số tập {a; b; c} với 2 số lẻ và 1 số chẵn là 66 . 11 = 726.

Vậy có 726 bộ ba số {a; b; c} gồm 2 số lẻ và 1 số chẵn.

Vì hai trường hợp là rời nhau nên n(E) = 165 + 726 = 891.

Vậy xác suất của biến cố E là $P\left(E\right)=\frac{n\left(E\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{891}{1771}=\frac{81}{161}\approx \mathrm{0,5031}$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải Toán 10 trang 95 Tập 2

Giải Toán 10 trang 96 Tập 2

Giải Toán 10 trang 97 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Bài 1: Mệnh đề

Bài 2: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp - Kết nối tri thức

Bài tập cuối chương 1

Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn