Giải Toán 10 trang 96 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 trang 96 Tập 2

Bài 8 trang 96 Toán 10 Tập 2: 

a) Biểu diễn miền nghiệm D của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau: 

$\left\{\begin{array}{l}x+y\le 6\\ 2x-y\le 2\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$.

b) Từ kết quả câu a, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 2x + 3y trên miền D.

Lời giải

a) Biểu diễn miền nghiệm D của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:  $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 6\\ 2x-y\le 2\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$

- Vẽ đường thẳng x + y = 6 trên mặt phẳng Oxy, lấy điểm O(0; 0) không thuộc đường thẳng x + y = 6, ta thấy 0 + 0 < 6, do đó miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 6 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x + y = 6 chứa điểm O(0; 0) kể cả đường thẳng x + y = 6.

- Vẽ đường thẳng 2x – y = 2 trên mặt phẳng Oxy, lấy điểm O(0; 0) không thuộc đường thẳng 2x – y = 2, ta thấy 2 . 0 – 0 ≤ 2, do đó miền nghiệm của bất phương trình 2x – 2 ≤ 2 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng 2x – y = 2 chứa điểm O(0; 0) kể cả đường thẳng 2x – y = 2.

- Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 chính là nửa mặt phẳng có bờ là trục Oy, chứa điểm (1; 0) kể cả trục Oy.

- Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 chính là nửa mặt phẳng có bờ là trục Ox, chứa điểm (0; 1) kể cả trục Ox.

 

Vậy ta biểu diễn được miền nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 6\\ 2x-y\le 2\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$ là miền tứ giác OABC kể cả các cạnh của tứ giác như hình trên.

b) Theo câu a, ta có miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OABC kể cả các cạnh của tứ giác.

Tọa độ của các đỉnh của tứ giác OABC là: O(0; 0), A(1; 0), $B\left(\frac{8}{3};\frac{10}{3}\right)$, C(0; 6).

Ta có: F(x; y) = 2x + 3y.

Ta tính được:

F(0; 0) = 2 . 0 + 3 . 0 = 0;

F(1; 0) = 2 . 1 + 3 . 0 = 2;

$F\left(\frac{8}{3};\frac{10}{3}\right)=2.\frac{8}{3}+3.\frac{10}{3}=\frac{46}{3}$;

F(0; 6) = 2 . 0 + 3 . 6 = 18.

Vậy giá trị lớn nhất của F(x; y) = 2x + 3y trên miền D là 18 tại (x; y) = (0; 6).

Giá trị nhỏ nhất của F(x; y) = 2x + 3y trên miền D là 0 tại (x; y) = (0; 0).

Bài 9 trang 96 Toán 10 Tập 2: Cho hàm số y = f(x) = ax² + bx + c với đồ thị là parabol (P) có đỉnh $I\left(\frac{5}{2};-\frac{1}{4}\right)$ và đi qua điểm A(1; 2).

a) Biết rằng phương trình của parabol có thể viết dưới dạng y = a(x – h)² + k, trong đó I(h; k) là tọa độ đỉnh của parabol. Hãy xác định phương trình của parabol (P) đã cho và vẽ parabol này.

b) Từ parabol (P) đã vẽ ở câu a, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số y = f(x).

c) Giải bất phương trình f(x) ≥ 0.

Lời giải

a)

• Theo bài ra ta có parabol có đỉnh $I\left(\frac{5}{2};-\frac{1}{4}\right)$ nên h = $\frac{5}{2}$ và k = $-\frac{1}{4}$.

Do đó, phương trình của parabol (P) có dạng: $y=a{\left(x-\frac{5}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}$.

Lại có parabol (P) đi qua điểm A(1; 2) nên thay tọa độ điểm A vào phương trình parabol ta được: $2=a{\left(1-\frac{5}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}$. Suy ra a = 1.

Vậy parabol (P) có phương trình là $y=1.{\left(x-\frac{5}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}$ hay y = x² – 5x + 6.

• Vẽ parabol (P).

- Hệ số a = 1 > 0 nên parabol có bề lõm hướng lên trên.

Parabol (P) có

- Đỉnh $I\left(\frac{5}{2};-\frac{1}{4}\right)$;

- Phương trình trục đối xứng $x=\frac{5}{2}$;

- Giao điểm của (P) với trục tung là điểm B(0; 6);

- Phương trình x² – 5x + 6 = 0 có hai nghiệm x = 2 và x = 3. Do đó, giao điểm của (P) với trục hoành là C(2; 0) và D(3; 0).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol (P).

 

b) Từ hình vẽ ở câu a, ta thấy hàm số y = x² – 5x + 6 đồng biến trên khoảng $\left(\frac{5}{2};+\infty \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{5}{2}\right)$.

c) f(x) ≥ 0

⇔ x² – 5x + 6 ≥ 0

Tam thức bậc hai f(x) = x² – 5x + 6 có hệ số a = 1 > 0 và có hai nghiệm phân biệt x₁ = 2 và x₂ = 3, do đó f(x) ≥ 0 ⇔ x ≤ 2 hoặc x ≥ 3.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (– ∞; 2] ∪ [3; + ∞).

Bài 10 trang 96 Toán 10 Tập 2: Giải các phương trình chứa căn thức sau:

a) $\sqrt{2x^2-6x+3}=\sqrt{x^2-3x+1}$;

b) $\sqrt{x^2+18x-9}=2x-3$.

Lời giải

a) Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{2x^2-6x+3}=\sqrt{x^2-3x+1}$ ta được:

2x² – 6x + 3 = x² – 3x + 1 (1)

Giải (1) ta có: (1) ⇔ x² – 3x + 2 = 0

⇔ x² – x – 2x + 2 = 0

⇔ x(x – 1) – 2(x – 1) = 0

⇔ (x – 2)(x – 1) = 0

⇔ x = 2 hoặc x = 1.

Thử lại vào phương trình đã cho ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{x^2+18x-9}=2x-3$, ta được:

x² + 18x – 9 = (2x – 3)²        (2)

Giải (2) ta có: (2) ⇔ x² + 18x – 9 = 4x² – 12x + 9

⇔ 3x² – 30x + 18 = 0

⇔ x² – 10x + 6 = 0

⇔ x = 5 + $\sqrt{19}$ hoặc x = $5-\sqrt{19}$.

Thử lại vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có giá trị x = 5 + $\sqrt{19}$ thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 5 + $\sqrt{19}$.

Bài 11 trang 96 Toán 10 Tập 2: Từ các chữ số 0; 1; 2;.....; 9 có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 1 000, chia hết cho 5 và gồm các chữ số khác nhau?

Lời giải

Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi nó có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.

Do đó, ta có ba trường hợp sau:

+ Trường hợp 1. Số có một chữ số: Chỉ có 0 và 5 thỏa mãn.

Vậy có 2 số có một chữ số thỏa mãn đề bài.

+ Trường hợp 2. Số có hai chữ số khác nhau chia hết cho 5.

Gọi số đó có dạng $\overline{ab}\left(a\ne b\right)$.

- Khi b = 5 ta có a ≠ 0 và a ≠ 5 nên có 8 cách chọn a, tương ứng có 8 số lập được.

- Khi b = 0 ta có a ∈ {1; 2; 3; …; 9} nên có 9 cách chọn a, tương ứng có 9 số lập được.

Vậy có 8 + 9 = 17 số có hai chữ số khác nhau chia hết cho 5.  

+ Trường hợp 3. Số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5.

Gọi số đó có dạng $\overline{abc}\left(a\ne b\ne c\right)$.

- Khi c = 5 ta có a ≠ 0 và a ≠ 5, a có 8 cách chọn; b ∈ {0; 1; 2; 3; …; 9}\{a; b}, b có 8 cách chọn. Do đó có 1 . 8 . 8 = 64 số.

- Khi c = 0 ta có a, b ∈ {1; 2; 3; …; 9}, a ≠ b. Do đó có $A_9^2=72$số.

Vậy có 64 + 72 = 136 số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5.

Từ ba trường hợp trên, vậy các số tự nhiên nhỏ hơn 1 000 thỏa mãn yêu cầu của đề bài là

2 + 17 + 136 = 155 (số).

Vậy có 155 số tự nhiên nhỏ hơn 1 000, chia hết cho 5 và gồm các chữ số khác nhau.

Bài 12 trang 96 Toán 10 Tập 2: Viết khai triển nhị thức Newton của (2x – 1)ⁿ, biết n là số tự nhiên thỏa mãn $A_n^2+24C_n^1=140$.

Lời giải

Ta có: $A_n^2+24C_n^1=140$ (với điều kiện n ≥ 2)

$\iff \frac{n!}{\left(n-2\right)!}+24.\frac{n!}{1!\left(n-1\right)!}=140$

$\iff n\left(n-1\right)+24.n=140$

⇔ n² + 23n – 140 = 0

⇒ n = 5 hoặc n = – 28.

Ta có: n = 5 thỏa mãn điều kiện.

Khi đó ta có khai triển nhị thức Newton:

(2x – 1)⁵ 

= [2x + (– 1)]⁵

$=C_5^0.{\left(2x\right)}^5+C_5^1.{\left(2x\right)}^4.\left(-1\right)+C_5^2.{\left(2x\right)}^3.{\left(-1\right)}^2$$+C_5^3.{\left(2x\right)}^2.{\left(-1\right)}^3+C_5^4.\left(2x\right).{\left(-1\right)}^4$$+C_5^5.{\left(-1\right)}^5$

= 32x⁵ – 80x⁴ + 80x³ – 40x² + 10x – 1.

Bài 13 trang 96 Toán 10 Tập 2: Từ các công thức tính diện tích tam giác đã được học, hãy chứng minh rằng, trong tam giác ABC, ta có

$r=\frac{\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}{2\sqrt{a+b+c}}$.

Lời giải

Gọi S, p lần lượt là diện tích, nửa chu vi của tam giác ABC.

Theo các công thức về diện tích tam giác, ta có

$S=p.r=\sqrt{p.\left(p-a\right).\left(p-b\right).\left(p-c\right)}$.

Suy ra:

$r=\frac{S}{p}=\frac{\sqrt{p.\left(p-a\right).\left(p-b\right).\left(p-c\right)}}{p}$

$=\sqrt{\frac{p.\left(p-a\right).\left(p-b\right).\left(p-c\right)}{p^2}}$

$=\sqrt{\frac{\left(p-a\right).\left(p-b\right).\left(p-c\right)}{p}}$

$=\sqrt{\frac{\left(\frac{a+b+c}{2}-a\right).\left(\frac{a+b+c}{2}-b\right).\left(\frac{a+b+c}{2}-c\right)}{\frac{a+b+c}{2}}}$

$=\sqrt{\frac{\frac{b+c-a}{2}.\frac{a+c-b}{2}.\frac{a+b-c}{2}}{\frac{a+b+c}{2}}}$

$=\sqrt{\frac{\left(b+c-a\right).\left(a+c-b\right).\left(a+b-c\right)}{4\left(a+b+c\right)}}$

$=\frac{\sqrt{\left(b+c-a\right).\left(c+a-b\right).\left(a+b-c\right)}}{2\sqrt{a+b+c}}$.

Vậy r $=\frac{\sqrt{\left(b+c-a\right).\left(c+a-b\right).\left(a+b-c\right)}}{2\sqrt{a+b+c}}$ (điều cần phải chứng minh).

Bài 14 trang 96 Toán 10 Tập 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, BC.

a) Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{DM},\overrightarrow{AN}$ theo các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$.

b) Tính $\overrightarrow{DM}.\overrightarrow{AN}$ và tìm góc giữa hai đường thẳng DM và AN.

Lời giải

 

a) M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Áp dụng quy tắc 3 điểm ta có: $\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$.

N là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.

Vì ABCD là hình vuông nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$.

Khi đó ta có: $\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$.

Theo quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$.

b) Vì ABCD là hình vuông nên AB = AD, AB ⊥ AD, suy ra $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}=0$.

Do đó: $\overrightarrow{DM}.\overrightarrow{AN}=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right).\left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\right)$

$=\frac{1}{2}{\left(\overrightarrow{AB}\right)}^2+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}{\left(\overrightarrow{AD}\right)}^2$

$=\frac{1}{2}A{B}^2+\frac{1}{4}.0-0-\frac{1}{2}A{D}^2$

$=\frac{1}{2}\left(A{B}^2-A{D}^2\right)=0$.

Suy ra $\overrightarrow{DM}.\overrightarrow{AN}=0\iff DM\perp AN$.

Vậy góc giữa hai đường thẳng DM và AN bằng 90°.

Bài 15 trang 96 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có ba đỉnh A(– 1; 3), B(1; 2), C(4; – 2).

a) Viết phương trình đường thẳng BC.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

c) Viết phương trình đường tròn có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng BC.

Lời giải

a) $\overrightarrow{BC}=\left(4-1;\left(-2\right)-2\right)$. Suy ra $\overrightarrow{BC}=\left(3;-4\right)$.

Đường thẳng BC có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{BC}}=\overrightarrow{BC}=\left(3;-4\right)$.

Suy ra đường thẳng BC có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{BC}}=\left(4;3\right)$.

Phương trình đường thẳng BC là 4.(x – 1) + 3(y – 2) = 0 hay 4x + 3y – 10 = 0.

b) $BC=\sqrt{3^2+{\left(-4\right)}^2}=5$.

Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC là d(A, BC) = $\frac{\left|4.\left(-1\right)+3.3-10\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=1$.

Vậy diện tích tam giác ABC là S_ABC = $\frac{1}{2}d\left(A,BC\right).BC=\frac{1}{2}\mathrm{.1.5}=\frac{5}{2}$.

c) Đường tròn tâm A(– 1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng BC có bán kính bằng khoảng cách từ A đến đường thẳng BC hay R = d(A, BC) = 1.

Vậy phương trình đường tròn cần lập là (x + 1)² + (y – 3)² = 1.

Bài 16 trang 96 Toán 10 Tập 2: Trên mặt phẳng tọa độ, hai vật thể khởi hành cùng lúc tại hai điểm A(1; 1) và B(– 1; 21) với các vectơ vận tốc tương ứng là $\overrightarrow{v_A}=\left(1;2\right),$$\overrightarrow{v_B}=\left(1;-4\right)$. Hỏi hai vật thể đó có gặp nhau hay không?

Lời giải

Vật A khởi hành từ điểm A(1; 1) với vectơ vận tốc là $\overrightarrow{v_A}=\left(1;2\right)$ nên phương trình chuyển động của vật A là $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+2t\end{array}\right.$ (t là tham số).

Vật B khởi hành từ điểm B(– 1; 21) với vectơ vận tốc là $\overrightarrow{v_B}=\left(1;-4\right)$ nên phương trình chuyển động của vật B là $\left\{\begin{array}{l}x=-1+t^{\text{'}}\\ y=21-4t^{\text{'}}\end{array}\right.$ (t' là tham số).

Giả sử 2 vật có thể gặp nhau, nghĩa là tồn tại thời điểm t (t > 0) để hai vật ở cùng một vị trí.

Vị trí của vật khởi hành từ điểm A tại thời điểm t là $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+2t\end{array}\right.$.

Vị trí của vật khởi hành từ điểm B tại thời điểm t là $\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=21-4t\end{array}\right.$.

Vì hai vật có cùng vị trí tại thời điểm t nên ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}1+t=-1+t\\ 1+2t=21-4t\end{array}\right.$.

Phương trình thứ nhất của hệ vô nghiệm, do đó hệ vô nghiệm.  

Vậy hai vật không thể gặp nhau.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải Toán 10 trang 95 Tập 2

Giải Toán 10 trang 96 Tập 2

Giải Toán 10 trang 97 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Bài 1: Mệnh đề

Bài 2: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp - Kết nối tri thức

Bài tập cuối chương 1

Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn