Giải Toán 10 trang 95 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 trang 95 Tập 2

Bài 1 trang 95 Toán 10 Tập 2: Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{\begin{array}{l}x+y>2\\ x-y\le 1\end{array}\right.$. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?

A. (1; 1).

B. (2; 0).

C. (3; 2).

D. (3; – 2).

Lời giải

Đáp án đúng là: C.

Một cặp số là nghiệm của hệ bất phương trình khi nó là nghiệm của tất cả cá bất phương trình trong hệ.

Thay tọa độ của các điểm ở phần đáp án vào hệ bất phương trình đã cho và xét xem tọa độ điểm nào thỏa mãn.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}x+y>2\left(1\right)\\ x-y\le 1\left(2\right)\end{array}\right.$

- Đáp án A: Ta có 1 + 1 > 2 (vô lí) nên điểm (1; 1) không thỏa mãn bất phương trình (1), vậy điểm (1; 1) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

- Đáp án B: Ta có 2 + 0 > 2 (vô lí) nên điểm (2; 0) không thỏa mãn bất phương trình (1), vậy điểm (2; 0) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

- Đáp án C: Ta có 3 + 2 > 2 (luôn đúng) và 3 – 2 ≤ 1 (luôn đúng) nên tọa độ điểm (3; 2) thỏa mãn của hai bất phương trình (1) và (2), vậy điểm (3; 2) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

- Đáp án D: Ta có 3 + (– 2) > 2 (vô lý) nên điểm (3; – 2) không thỏa mãn bất phương trình (1), vậy điểm (3; – 2) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Bài 2 trang 95 Toán 10 Tập 2: Cho tam giác ABC. Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=3$?

A. Vô số.           

B. 1.                 

C. 2.                      

D. 3.

Lời giải

Đáp án đúng là: A.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Theo tính chất trọng tâm của tam giác, ta có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Theo bài ra: $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=3$

$\iff \left|\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)\right|=3$ (áp dụng quy tắc ba điểm).

$\iff \left|3\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\right|=3$

$\iff \left|3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{0}\right|=3$

$\iff \left|3\overrightarrow{MG}\right|=3$

$\iff 3\left|\overrightarrow{MG}\right|=3$

$\iff MG=1$.

Do đó, tập hợp các điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn tâm G bán kính 1.

Vậy có vô số điểm M thỏa mãn.

Bài 3 trang 95 Toán 10 Tập 2: Biết rằng parabol y = x² + bx + c có đỉnh là I(1; 4). Khi đó giá trị của b + c là

A. 1.                   

B. 2.                   

C. 3.                     

D. 4.

Lời giải

Đáp án đúng là: C.

Parabol y = x² + bx + c  có đỉnh là I(1; 4) nên $\frac{-b}{2a}=\frac{-b}{2.1}=1\Rightarrow b=-2$.

Tọa độ đỉnh I(1; 4) thỏa mãn phương trình y = x² + bx + c nên ta có:

4 = 1² + (– 2) . 1 + c ⇔ c = 5.

Vậy b + c = – 2 + 5 = 3.

Bài 4 trang 95 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ: x + 2y – 5 = 0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Vectơ $\overrightarrow{n}=\left(1;2\right)$ là một vectơ pháp tuyến của Δ.

B.  Vectơ $\overrightarrow{u}=\left(2;-1\right)$ là một vectơ chỉ phương của Δ.

C. Đường thẳng Δ song song với đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=1+t\end{array}\right.$.

D. Đường thẳng Δ có hệ số góc k = 2.

Lời giải

Đáp án đúng là: D.

+) Phương trình đường thẳng Δ: x + 2y – 5 = 0.

Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{n}=\left(1;2\right)$.

Từ đó suy ra một vectơ chỉ phương của ∆ là $\overrightarrow{u}=\left(2;-1\right)$.

Vậy đáp án A và đáp án B đúng.

+) Đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=1+t\end{array}\right.$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_d}=\left(-2;1\right)$ và đi qua điểm A(1; 1).

Mà 1 + 2 . 1 – 5 = – 2 ≠ 0 nên điểm A(1; 1) không thuộc đường thẳng ∆.

Khi đó hai đường thẳng ∆ và d có cùng vectơ chỉ phương, có điểm A thuộc d nhưng không thuộc ∆, vậy d // ∆.

Vậy đáp án C đúng.

+) Ta có: x + 2y – 5 = 0 ⇔ y = $-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$.

Do đó hệ số góc của ∆ là k = $-\frac{1}{2}\ne 2$.

Vậy đáp án D sai.

Bài 5 trang 95 Toán 10 Tập 2: Trong khai triển nhị thức Newton của (2 + 3x)⁴, hệ số của x² là:

A. 9.                   

B. $C_4^2$.                 

C. $9C_4^2$.                      

D. $36C_4^2$.

Lời giải

Đáp án đúng là: D.

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

(2 + 3x)⁴ 

= $C_4^0$ . 2⁴ + $C_4^1$ . 2³ . 3x + $C_4^2$ . 2² . (3x)² + $C_4^3$ . 2 . (3x)³ + $C_4^4$ . (3x)⁴

= 16 + 24$C_4^1$x + 36$C_4^2$x² + 54$C_4^3$x³ + 81x⁴ .
Vậy hệ số của x² trong khai triển nhị thức Newton của (2 + 3x)⁴ là 36$C_4^2$.

Bài 6 trang 95 Toán 10 Tập 2: Một tổ gồm 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên hai người. Xác suất để trong hai người được chọn có ít nhất một nữ là:

A. $\frac{7}{15}$.

B. $\frac{8}{15}$.

C. $\frac{1}{15}$.

D. $\frac{2}{15}$.

Lời giải

Đáp án đúng là: B.

Số bạn của tổ là: 7 + 3 = 10 (bạn).

Chọn ngẫu nhiên 2 người trong 10 người, mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 2 của 10, do đó có $C_{10}^2=45$ cách chọn.

Vậy n(Ω) = 45.

Gọi biến cố A: “Chọn được 2 người, trong đó có ít nhất 1 nữ”.

Để chọn được hai người, trong đó có ít nhất 1 nữ, ta xét hai trường hợp sau:

- Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 1 nam.

Chọn 1 nữ trong 3 nữ có $C_3^1=3$ cách chọn.

Chọn 1 nam trong 7 nam có $C_7^1=7$ cách chọn.

Theo quy tắc nhân, có 3 . 7 = 21 cách chọn 2 người gồm 1 nữ, 1 nam.

- Trường hợp 2: chọn 2 nữ.

Chọn 2 nữ trong 3 nữ có $C_3^2=3$ cách chọn.

Vì hai trường hợp là rời nhau.

Vậy theo quy tắc cộng, có 21 + 3 = 24 cách chọn để chọn được 2 người có ít nhất một nữ.

Do đó, n(A) = 24.

Vậy xác suất để chọn được 2 người trong đó có ít nhất một nữ là

P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{24}{45}=\frac{8}{15}$.

B – Tự luận

Bài 7 trang 95 Toán 10 Tập 2: Cho các mệnh đề:

P: “Tam giác ABC là tam giác vuông tại A”;

Q: “Tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB² + AC² = BC²”.

a) Hãy phát biểu các mệnh đề: P ⇒ Q, Q ⇒ P, P ⇔ Q, $\overline{P}$ ⇒ $\overline{Q}$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề này.

b) Dùng các khái niệm “điều kiện cần” và “điều kiện đủ” để diễn tả mệnh đề P ⇒ Q.

c) Gọi X là tập hợp các tam giác ABC vuông tại A, Y là tập hợp các tam giác ABC có trung tuyến AM = $\frac{1}{2}$BC. Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp X và Y.

Lời giải

a)

• P ⇒ Q: “Nếu tam giác ABC là tam giác vuông tại A thì tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB² + AC² = BC²”.

Theo định lý Pythagore, mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề đúng.

• Q ⇒ P: “Nếu tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB² + AC² = BC² thì tam giác ABC là tam giác vuông tại A”.

Theo định lý Pythagore đảo, mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề đúng.

• P ⇔ Q: “Tam giác ABC là tam giác vuông tại A nếu và chỉ nếu tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB² + AC² = BC²”.

Vì P ⇒ Q và Q ⇒ P đúng nên mệnh đề P ⇔ Q là mệnh đề đúng.

• Ta có: $\overline{P}$ (phủ định của P): “Tam giác ABC không là tam giác vuông tại A”.

$\overline{Q}$ (phủ định của Q): “tam giác ABC có các cạnh không thỏa mãn AB² + AC² = BC²”.

Do đó, $\overline{P}$ ⇒ $\overline{Q}$: “Nếu tam giác ABC không là tam giác vuông tại A thì tam giác ABC có các cạnh không thỏa mãn AB² + AC² = BC²”.

Mệnh đề $\overline{P}$ ⇒ $\overline{Q}$ là mệnh đề đúng.

b) Ta có:

• Tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB² + AC² = BC² là điều kiện cần để tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

• Tam giác ABC là tam giác vuông tại A là điều kiện đủ để tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB² + AC² = BC².

c) Ta biết rằng một tam giác là vuông khi và chỉ khi đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền (được chứng minh ở bậc THCS).

Vậy nếu tam giác ABC có trung tuyến AM = $\frac{1}{2}$BC thì tam giác ABC vuông tại A.

Vậy mối quan hệ giữa hai tập hợp X và Y là X = Y.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải Toán 10 trang 95 Tập 2

Giải Toán 10 trang 96 Tập 2

Giải Toán 10 trang 97 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Bài 1: Mệnh đề

Bài 2: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp - Kết nối tri thức

Bài tập cuối chương 1

Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn