Giải Toán 10 trang 56 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán 10 trang 56 Tập 1

HĐ 2 trang 56 Toán 10 Tập 1: Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu diễn các số $0;1;\sqrt{2};-\sqrt{2}.$Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vecto $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$với vecto $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$. Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vecto $\overrightarrow{OM}$và $\overrightarrow{OA}$.

Lời giải

Trên trục số Hình 4.22 ta thấy:

- Về hướng:

Điểm M và điểm A nằm cùng phía đối với điểm O trên trục số nên $\overrightarrow{OM}$ cùng hướng với $\overrightarrow{OA}$;

Điểm N và điểm A nằm khác phía đối với điểm O trên trục số nên $\overrightarrow{ON}$ ngược hướng với $\overrightarrow{OA}$.

- Về độ dài:

+ Điểm A biểu diễn cho số 1 nên OA = 1 do đó $\left|\overrightarrow{OA}\right|=OA=1$ 

+ Điểm M biểu diễn cho số $\sqrt{2}$ nên $OM=\sqrt{2}$ do đó $\left|\overrightarrow{OM}\right|=OM=\sqrt{2}$

Suy ra $\left|\overrightarrow{OM}\right|=\sqrt{2}\left|\overrightarrow{OA}\right|=\sqrt{2}\left|\overrightarrow{a}\right|$

+ Điểm N biểu diễn cho số $-\sqrt{2}$ nên ON = $\left|-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}$ do đó $\left|\overrightarrow{ON}\right|=ON=\sqrt{2}$ 

Suy ra $\left|\overrightarrow{ON}\right|=\sqrt{2}\left|\overrightarrow{OA}\right|=\sqrt{2}\left|\overrightarrow{a}\right|$

Vậy $\overrightarrow{OM}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$ và $\left|\overrightarrow{OM}\right|=\sqrt{2}\left|\overrightarrow{a}\right|$

$\overrightarrow{ON}$ ngược hướng với $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$ và $\left|\overrightarrow{ON}\right|=\sqrt{2}\left|\overrightarrow{a}\right|$

Đẳng thức biểu thị mối quan hệ giữa hai vecto $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{OA}$ là $\overrightarrow{OM}=\sqrt{2}\overrightarrow{OA}.$

Câu hỏi trang 56 Toán 10 Tập 1: $-\overrightarrow{a}$ và $(-1)\overrightarrow{ a}$ có mối quan hệ gì?

Lời giải

+ Vectơ $-\overrightarrow{a}$ là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{a}$ nên $-\overrightarrow{a}$ ngược hướng với $\overrightarrow{a}$ và có độ dài $\left|\overrightarrow{a}\right|.$ 

+ Vectơ $\left(-1\right)\overrightarrow{a}$ là tích của vectơ $\overrightarrow{a}$ với số thực k = ‒1 < 0 nên $\left(-1\right)\overrightarrow{a}$ ngược hướng với $\overrightarrow{a}$ và có độ dài $-\left(-1\right)\left|\overrightarrow{a}\right|=1.\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|.$

Do đó vectơ $\left(-1\right)\overrightarrow{a}$ cùng hướng với $-\overrightarrow{a}$ và cùng có độ dài bằng độ dài của $\overrightarrow{a}$.

Vậy $\left(-1\right)\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}.$

Luyện tập 1 trang 56 Toán 10 Tập 1: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B (H.4.25). Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi tồn tại số t để $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$.

b) Với điểm M bất kì, ta luôn có: $\overrightarrow{AM}=\frac{AM}{AB}.\overrightarrow{AB}.$

c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB khi và chỉ khi tồn tại số t ≤ 0 để $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}.$

Lời giải

a)

+ Nếu điểm M thuộc đường thẳng d thì ba điểm A, B, M thẳng hàng nên $\overrightarrow{AM}$ cùng phương $\overrightarrow{AB}$

Do đó ta có tồn tại một số thực t thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}.$

+ Nếu tồn tại số t thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$ thì $\overrightarrow{AM}$ cùng phương $\overrightarrow{AB}$ 

Hay đường thẳng AM song song hoặc trùng với đường thẳng AB.

Mà cả hai đường thẳng này đều đi qua A nên đường thẳng AM trùng với đường thẳng AB.

Do đó A, M, B thẳng hàng hay M thuộc đường thẳng d.

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Nếu M không thuộc đường thẳng d thì $\overrightarrow{AM}$ không cùng phương với $\overrightarrow{AB}$.

Do đó ta không thể viết dưới dạng $\overrightarrow{AM}=\frac{AM}{AB}\overrightarrow{AB}.$

Vậy khẳng định b) sai.

c)

Nếu điểm M thuộc tia đối của tia AB thì hai vectơ $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng

Khi đó tồn tại số thực t ≤ 0 thoả mãn $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}.$ 

Ngược lại, nếu tồn tại số t ≤ 0 để $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$ thì hoặc hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AM}$ ngược hướng (với t < 0) hoặc M ≡ A (với t = 0).

Do đó khẳng định c) đúng.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 55 Tập 1

Giải Toán 10 trang 57 Tập 1

Giải Toán 10 trang 58 Tập 1

Giải Toán 10 trang 59 Tập 1