Giải Toán 10 trang 50 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán 10 trang 50 Tập 1

Vận dụng trang 50 Toán 10 Tập 1: Hai ca nô A và B chạy trên sông với các vận tốc riêng có cùng độ lớn là 15 km/h. Tuy vậy, ca nô A chạy xuôi dòng còn ca nô B chạy ngược dòng. Vận tốc của dòng nước trên sông là 3 km/h.

a) Hãy thể hiện trên hình vẽ, vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}$ của dòng nước và các vectơ vận tốc thực tế $\overrightarrow{v_a},\overrightarrow{v_b}$ của ca nô A, B.

b) Trong các vectơ $\overrightarrow{v},\overrightarrow{v_a},\overrightarrow{v_b}$, những cặp vectơ nào cùng phương và những cặp vectơ nào ngược hướng?

Lời giải

a) Ta có vận tốc của dòng nước trên sông là 3 km/h nên độ lớn của vectơ $\overrightarrow{v}$ là 3 km/h.

Do ca nô A chạy xuôi dòng nên vận tốc thực tế của ca nô A bằng 15 + 3 = 18 km/h hay độ lớn của vectơ $\overrightarrow{v_a}$ là 18 km/h.

Do ca nô B chạy ngược dòng nên vận tốc thực tế của ca nô B bằng 15 – 3 = 12 km/h hay độ lớn của vectơ $\overrightarrow{v_b}$ là 12 km/h.

Khi đó, ta có tỉ lệ độ dài giữa các vectơ là $\left|\overrightarrow{v}\right|:\left|\overrightarrow{v_a}\right|:\left|\overrightarrow{v_b}\right|$ = 3 : 18 : 12 = 1 : 6 : 4.

Giả sử dòng nước chảy theo chiều từ trái qua phải, khi đó ca nô A chạy xuôi dòng từ trái qua phải và ca nô B chạy ngược dòng từ phải qua trái. Ta có sơ đồ như sau:

b) Do ca nô A chạy xuôi dòng nên các vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{v_a}$ cùng phương và cùng hướng, do ca nô B chạy ngược dòng nên các vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{v_b}$ cùng phương và ngược hướng.

Vậy trong các vectơ $\overrightarrow{v},\overrightarrow{v_a},\overrightarrow{v_b}$ có:

- Các cặp vectơ cùng phương là: $\overrightarrow{v_a}$ và $\overrightarrow{v_b}$; $\overrightarrow{v_a}$ và $\overrightarrow{v}$; $\overrightarrow{v_b}$ và $\overrightarrow{v}$.

- Các cặp vectơ ngược hướng là: $\overrightarrow{v_a}$ và $\overrightarrow{v_b}$; $\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{v_b}$.

Bài tập

Bài 4.1 trang 50 Toán 10 Tập 1: Cho ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đều cùng hướng với $\overrightarrow{0}$;

b) Nếu $\overrightarrow{b}$ không cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ thì $\overrightarrow{b}$ ngược hướng với $\overrightarrow{a}$;

c) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều cùng phương với $\overrightarrow{c}$thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương;

d) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều cùng hướng với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

Lời giải

+ Do vectơ – không cùng hướng với mọi vectơ nên khẳng định a) là đúng.

+ Do $\overrightarrow{b}$ không cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ nên có thể có hai trường hợp xảy ra đó là: hoặc $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{a}$ ngược hướng hoặc $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{a}$ không cùng phương. Do đó khẳng định b) sai.

+ Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều cùng phương với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có giá song song hoặc trùng với giá của vevtơ $\overrightarrow{c}$. Suy ra $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có giá song song hoặc trùng nhau nên $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương. Do đó khẳng định c) đúng.

+ Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều cùng hướng với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng với nhau. Do đó khẳng định d) là đúng.

Bài 4.2 trang 50 Toán 10 Tập 1: Trong Hình 4.12, hãy chỉ ra các vectơ cùng phương, các cặp vectơ ngược hướng và các cặp vectơ bằng nhau.

Lời giải

+ Quan sát hình vẽ, ta thấy các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ có giá song song với nhau nên các vectơ cùng phương với nhau là: $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$.

+ Các cặp vectơ ngược hướng: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$; $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$.

+ Độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ là: $\sqrt{{\left(-2\right)}^2+4^2}=2\sqrt{5}$;

Độ dài của vectơ $\overrightarrow{b}$ là $\sqrt{{\left(-1\right)}^2+2^2}=\sqrt{5}$;

Độ dài của vectơ $\overrightarrow{c}$ là $\sqrt{2^2+{\left(-4\right)}^2}=2\sqrt{5}$;

Độ dài của vectơ $\overrightarrow{d}$ là $\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$.

Do đó các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d}$ có cùng độ dài (cạnh huyền của các tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 2 và 4).

Suy ra $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ cùng hướng và có cùng độ dài nên bằng nhau.

Vậy cặp vectơ bằng nhau là $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{c}$.

Bài 4.3 trang 50 Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$

Lời giải

+ Giả sử tứ giác ABCD là hình bình hành

⇒ AD // BC (tính chất hình bình hành)

$\Rightarrow \overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng phương

$\Rightarrow \overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng.

Mà AD = BC (tính chất hình bình hành)

$\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ 

+ Giả sử tứ giác ABCD có $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ suy ra $\overrightarrow{BC}$và $\overrightarrow{AD}$ cùng phương, cùng hướng và cùng độ dài.

Þ BC = AD (1) và AD, BC song song hoặc trùng nhau.

Nếu hai đường thẳng AD, BC trùng nhau thì bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường thẳng, điều này không xảy ra vì ABCD là tứ giác. Vậy AD // BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Vậy tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$.

Bài 4.4 trang 50 Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Hãy chỉ ra tập S gồm tất cả các vectơ khác $\overrightarrow{0}$, có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp {A; B; C; D; O}. Hãy chia tập S thành các nhóm sao cho hai vectơ thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi chúng bằng nhau.

Lời giải

Các vectơ khác $\overrightarrow{0}$, có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp {A; B; C; D; O} là: 

$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},$$\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AO},$$\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD},$$\overrightarrow{BO},$$\overrightarrow{CA},$$\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD},$$\overrightarrow{CO},$$\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC},$$\overrightarrow{DO},$$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD}$.

Khi đó: S = {$\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};$ $\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AO};$$\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BD};$$\overrightarrow{BO};$$\overrightarrow{CA};$$\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD};$$\overrightarrow{CO};$$\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DB};\overrightarrow{DC};$$\overrightarrow{DO};$$\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OC};\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OD}$}.

Hai vectơ bằng nhau trong tập hợp S là:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC};$$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD};$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC};$$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB};$$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CO};$$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO};$ $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AO};$$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{\text{}BO}.$ 

Khi đó tập S được chia thành các nhóm là:

Nhóm 1: $\left\{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC}\right\};$

Nhóm 2: $\left\{\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC}\right\};$

Nhóm 3: $\left\{\overrightarrow{BA};\overrightarrow{CD}\right\};$

Nhóm 4: $\left\{\overrightarrow{DA};\overrightarrow{CB}\right\};$

Nhóm 5: $\left\{\overrightarrow{OA};\overrightarrow{CO}\right\};$ 

Nhóm 6: $\left\{\overrightarrow{OB};\overrightarrow{DO}\right\};$

Nhóm 7: $\left\{\overrightarrow{OC};\overrightarrow{AO}\right\};$ 

Nhóm 8: $\left\{\overrightarrow{OD};\overrightarrow{BO}\right\}.$

Bài 4.5 trang 50 Toán 10 Tập 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy vẽ các vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{MN}$ với A(1;2), M(0;‒1), N(3;5)

a) Chỉ ra mối quan hệ giữa hai vectơ trên.

b) Một vật thể khởi hành từ M và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vectơ $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OA}$. Hỏi vật thể đó có đi qua N hay không? Nếu có thì sau bao lâu vật sẽ tới N?

Lời giải

a) Dựng các điểm B(0; 2) và K(0; 5).

Khi đó OB = 2, BA = 1, MK = 6, KN = 3.

Suy ra hai tam giác OAB và MNK là các tam giác vuông đồng dạng.

Do đó $\widehat{BOA}=\widehat{KMN}$.

Suy ra OA // MN và $\frac{MN}{OA}=\frac{KN}{BA}=\frac{MK}{OB}=3$.

Như vậy, hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{MN}$ là hai vectơ cùng hướng và vectơ $\overrightarrow{MN}$ có độ dài gấp 3 lần độ dài của vectơ $\overrightarrow{OA}$.

b) Vì $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{MN}$ là hai vectơ cùng hướng nên khi vật thể khởi hành từ M và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OA}$ thì vật thể đó sẽ đi qua điểm N.

Hơn nữa, sau mỗi giờ vật đó đi được quãng đường bằng $\left|\overrightarrow{OA}\right|$ và $\left|\overrightarrow{MN}\right|=3\left|\overrightarrow{OA}\right|$.

Vậy nếu coi độ lớn của OA là một đơn vị giờ thì sau khi khởi hành 3 giờ vật sẽ tới N.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 47 Tập 1

Giải Toán 10 trang 48 Tập 1

Giải Toán 10 trang 49 Tập 1