Giải Toán 10 trang 30 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán 10 trang 30 Tập 1

Vận dụng trang 30 Toán 10 Tập 1: Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính A và B, giá mỗi chiếc lần lượt là 10 triệu đồng và 20 triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng. Loại máy A mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy B mang lại lợi nhuận là 4 triệu đồng mỗi máy. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại A là x và số máy tính loại B là y.

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.

b) Gọi F (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B. Hãy biểu diễn F theo x và y.

c) Tìm số lượng máy tính mỗi loại cửa hàng cần nhập về trong tháng đó để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Lời giải

a) Số máy tính loại A cửa hàng cần nhập trong một tháng là x (máy), số máy tính loại B cửa hàng cần nhập trong một tháng là y (máy) $\left(x,y\ge 0\right)$.

Do tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy: x + y ≤ 250

Vì mỗi chiếc máy tính loại A có giá 10 triệu và mỗi máy tính loại B có giá 20 triệu nên tổng số vốn cửa hàng cần nhập hai loại A và B: 10x + 20y (triệu đồng)

Vì số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng nên ta có: 10x + 20y  ≤ 4 000 hay x + 2y ≤ 400.

Ta có hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 250\\ x+2y\le 400\end{array}\right.$

Ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên:

+) Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).

+) Miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1).

+) Xác định miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 250.

- Vẽ đường thẳng d: x + y = 250.

- Vì 0 + 0 = 0 < 250 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 250

Do đó miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 250 là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ.

+) Xác định miền nghiệm D₄ của bất phương trình x + 2y ≤ 400.

- Vẽ đường thẳng d’: x + 2y = 400.

- Vì 0 + 2 . 0 = 0 < 400 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình x + 2y < 400

Do đó miền nghiệm D₄ của bất phương trình x + 2y < 400 là nửa mặt phẳng bờ d’ chứa gốc tọa độ.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là tứ giác OABC với tọa độ các đỉnh là O(0;0), A(0; 200), B(100; 150), C(250; 0)

b) Lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B là: F(x;y) = 2,5x + 4y (triệu đồng).

Vậy F(x; y) = 2,5x + 4y.

c) Bài toán chuyển về tìm giá trị lớn nhất của F(x;y) với (x;y) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 250\\ x+2y\le 400\end{array}\right.$.

Người ta đã chứng minh được, giá trị F(x; y) lớn nhất tại (x; y) là tọa độ của một trong bốn đỉnh O; A; B; C.

Tại O(0; 0), ta có: F(0; 0) = 2,5 . 0 + 4 . 0 = 0;

Tại A(0; 200), ta có: F(0; 200) = 2,5 . 0 + 4 . 200 = 800;

Tại B(100; 150), ta có: F(100; 150) = 2,5 . 100 + 4 . 150 = 850;

Tại B(250; 0), ta có: F(250; 0) = 2,5 . 250 + 4 . 0 = 625.

Do đó F(x; y) lớn nhất bằng 850 tại x = 100 và y = 150.

Vậy cửa hàng cần nhập 100 máy loại A, 150 máy loại B để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất là 850 triệu đồng.

Bài tập

Bài 2.4 trang 30 Toán 10 Tập 1: Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) $\left\{\begin{array}{l}x<0\\ y\ge 0\end{array}\right.;$

b) $\left\{\begin{array}{l}x+y^2<0\\ y-x>1\end{array}\right.;$

c) $\left\{\begin{array}{l}x+y+z<0\\ y<0\end{array}\right.;$

d) $\left\{\begin{array}{l}-2x+y<3^2\\ 4^{2}x+3y<1\end{array}\right..$

Lời giải

a) $\left\{\begin{array}{l}x<0\\ y\ge 0\end{array}\right.$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Vì hệ $\left\{\begin{array}{l}x<0\\ y\ge 0\end{array}\right.$ gồm 2 bất phương trình x < 0 và y ≥ 0, đây đều là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn (do x < 0 ⇔ 1x + 0y < 0 và y ≥ 0 ⇔ 0x + 1y ≥ 0).

b) $\left\{\begin{array}{l}x+y^2<0\\ y-x>1\end{array}\right.$ không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì x + y² < 0 không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

c) $\left\{\begin{array}{l}x+y+z<0\\ y<0\end{array}\right.$ không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có bất phương trình x + y + z < 0 không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

d) $\left\{\begin{array}{l}-2x+y<3^2\\ 4^{2}x+3y<1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-2x+y<9\\ 16x+3y<1\end{array}\right.$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 2.5 trang 30 Toán 10 Tập 1: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) $\left\{\begin{array}{l}y-x<-1\\ x>0\\ y<0\end{array}\right.;$

b) $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 2x+y\le 4\end{array}\right.;$

c) $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x+y>5\\ x-y<0\end{array}\right..$

Lời giải

a) $\left\{\begin{array}{l}y-x<-1\\ x>0\\ y<0\end{array}\right.$

+) Xác định miền nghiệm D­₁ của bất phương trình y – x < – 1.

- Vẽ đường thẳng d: y – x = – 1.

- Vì 0 – 0 = 0 > – 1 nên tọa độ điểm (0; 0) không thỏa mãn bất phương trình y – x < – 1

Do đó miền nghiệm D₁ của bất phương trình y – x < – 1 là nửa mặt phẳng bờ d không chứa điểm O(0; 0) và không kể đường thẳng d.

+) Miền nghiệm D₂ của bất phương trình x > 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0) và không kể đường thẳng Oy.

+) Miền nghiệm D₃ của bất phương trình y < 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứ điểm (0; – 1) và không kể đường thẳng Ox.

Vậy miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

b) $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 2x+y\le 4\end{array}\right.$

Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥  0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0) và kể cả đường thẳng Oy.

Miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥  0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0; 1) và kể cả đường thẳng Ox.

+) Xác định miền nghiệm D₃ của bất phương trình 2x + y ≤ 4.

– Vẽ đường thẳng d: 2x + y = 4

- Vì 2.0 + 0 = 0 < 4 nên tọa độ điểm (0; 0) thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≤ 4

Do đó miền nghiệm D₃ của bất phương trình 2x + y ≤ 4 là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm O(0; 0) và kể cả đường thẳng d.

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác OAB (miền không bị gạch).

c) $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x+y>5\\ x-y<0\end{array}\right..$

Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0) và kể cả đường thẳng Oy.

+) Xác định miền nghiệm D₂ của bất phương trình x + y > 5.

– Vẽ đường thẳng d: x + y = 5

- Vì 0 + 0 = 0 < 5 nên tọa độ điểm (0; 0) không thỏa mãn bất phương trình x + y > 5

Do đó miền nghiệm D₂ của bất phương trình x + y > 5 là nửa mặt phẳng bờ d không chứa điểm O(0; 0) và không kể đường thẳng d.

+) Xác định miền nghiệm D₃ của bất phương trình x – y < 0.

– Vẽ đường thẳng d’: x – y = 0

- Vì 1  - 0 = 1 > 0 nên tọa độ điểm (1; 0) không thỏa mãn bất phương trình x – y < 0

Do đó miền nghiệm D₃ của bất phương trình x – y < 0 là nửa mặt phẳng bờ d’ không chứa điểm (1; 0) và không kể đường thẳng d’.

Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch.

Bài 2.6 trang 30 Toán 10 Tập 1: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipid trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipid. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipid. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6kg thịt bò và 1,1kg thịt lợn; giá tiền 1kg thịt bò là 250 nghìn đồng; 1kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn.

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.

b) Gọi F (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn. Hãy biểu diễn F theo x và y.

c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất.

Lời giải

Số kilôgam thịt bò gia đình mua là x (kg); số kilôgam thịt lợn gia đình mua là y (kg). Vì số kilôgam thịt bò mua nhiều nhất là 1,6 kg và số kilôgam thịt lợn mua nhiều nhất là 1,1 kg nên ta có:

$0\le x\le 1,6;0\le y\le 1,1$ (1)

Vì mỗi kilôgam thịt bò có chứa 800 đơn vị protein và mỗi kilôgam thịt lợn có chứa 600 đơn vị protein nên khối lượng protein có trong x kg thịt bò và y kg thịt lợn là: 800x + 600y (đơn vị).

Mà mỗi ngày gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein nên ta có bất phương trình:

800x + 600y ≥ 900 (2)

Vì mỗi kilôgam thịt bò có chứa 200 đơn vị lipid và mỗi kilôgam thịt lợn có chứa 400 đơn vị lipid nên khối lượng lipid có trong x kg thịt bò và y kg thịt lợn là: 200x + 400y (đơn vị).

Mà mỗi ngày gia đình cần ít nhất 400 đơn vị lipid nên ta có bất phương trình:

200x + 400y ≥ 400 (3)

Từ (1); (2); (3) ta có hệ bất phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}0\le x\le 1,6\\ 0\le y\le 1,1\\ 800x+600y\ge 900\\ 200x+400y\ge 400\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}0\le x\le 1,6\\ 0\le y\le 1,1\\ 8x+6y\ge 9\\ x+2y\ge 2\end{array}\right.$

Ta đi xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác ABCD có trong hình vẽ trên với tọa độ các đỉnh là A(0,3; 1,1), B(0,6; 0,7), C(1,6; 0,2), D(1,6; 1,1).

b) Số tiền mua một kilôgam thịt bò là 250 nghìn đồng và số tiền mua một kilôgam thịt lợn là 160 nghìn đồng nên số tiền để mua x kg thịt bò và y kg thịt lợn là: F(x; y) = 250x + 160y (nghìn đồng).

c) Người ta đã chứng minh được để số tiền mua ít nhất thì (x; y) là tọa độ của một trong bốn đỉnh tứ giác ABCD.

Ta có: F(x; y) = 250x + 160y. Khi đó:

F(0,3; 1,1) = 250 . 0,3 + 160 . 1,1 = 251;

F(0,6; 0,7) = 250 . 0,6 + 160 . 0,7 = 262;

F(1,6; 0,2) = 250 . 1,6 + 160 . 0,2 = 432;

F(1,6; 1,1) = 250 . 1,6 + 160 . 1,1 = 576;

Suy ra giá trị nhỏ nhất cần tìm là F(0,3; 1,1) = 251.

Vậy để chi phí là ít nhất thì gia đình cần mua 0,3 kilôgam thịt bò và 1,1 kilôgam thịt lợn.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 26 Tập 1

Giải Toán 10 trang 27 Tập 1

Giải Toán 10 trang 28 Tập 1