Giải Toán 10 trang 27 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán 10 trang 27 Tập 2

Bài 6.20 trang 27 Toán 10 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{3x^2-4x-1}=\sqrt{2x^2-4x+3}$;

b) $\sqrt{x^2+2x-3}=\sqrt{-2x^2+5}$;

c) $\sqrt{2x^2+3x-3}=\sqrt{-x^2-x+1}$;

d) $\sqrt{-x^2+5x-4}=\sqrt{-2x^2+4x+2}$.

Lời giải

 a) $\sqrt{3x^2-4x-1}=\sqrt{2x^2-4x+3}$

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

3x²– 4x – 1 = 2x² – 4x + 3

⇔ x² – 4 = 0

⇔ x² = 4

⇔  x = 2 hoặc x = – 2.

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị x = 2 và x = – 2 thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {– 2; 2}.

b) $\sqrt{x^2+2x-3}=\sqrt{-2x^2+5}$

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

x²+ 2x – 3 = – 2x² + 5

⇔ 3x² + 2x – 8 = 0

⇔ x = – 2 hoặc x = $\frac{4}{3}$.

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có giá trị x = $\frac{4}{3}$ thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\left\{\frac{4}{3}\right\}$.

c) $\sqrt{2x^2+3x-3}=\sqrt{-x^2-x+1}$

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

2x² + 3x – 3 = – x² – x + 1

⇔ 3x² + 4x – 4 = 0

⇔ x = – 2 hoặc x = $\frac{2}{3}$.

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị đều không thỏa mãn.

Vậy phương trình vô nghiệm.

d) $\sqrt{-x^2+5x-4}=\sqrt{-2x^2+4x+2}$

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

– x² + 5x – 4 = – 2x² + 4x + 2

⇔ x² + x – 6 = 0

⇔ x = – 3 hoặc x = 2.

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy x = 2 thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}.

Bài 6.21 trang 27 Toán 10 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{6x^2+13x+13}=2x+4$;

b) $\sqrt{2x^2+5x+3}=-3-x$;

c) $\sqrt{3x^2-17x+23}=x-3$;

d) $\sqrt{-x^2+2x+4}=x-2$.

Lời giải

a) $\sqrt{6x^2+13x+13}=2x+4$

Bình phương hai vế của phương trình ta được

 6x² + 13x + 13 = 4x² + 16x + 16

⇔ 2x² – 3x – 3 = 0

⇔ x = $\frac{3-\sqrt{33}}{4}$ hoặc x = $\frac{3+\sqrt{33}}{4}$.

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị x = $\frac{3-\sqrt{33}}{4}$ và x = $\frac{3+\sqrt{33}}{4}$ đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\left\{\frac{3-\sqrt{33}}{4};\frac{3+\sqrt{33}}{4}\right\}$.

b) $\sqrt{2x^2+5x+3}=-3-x$ 

Bình phương hai vế của phương trình ta được

2x² + 5x + 3 = 9 + 6x + x² 

⇔ x² – x – 6 = 0

⇔ x = – 2 hoặc x = 3.

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) $\sqrt{3x^2-17x+23}=x-3$ 

Bình phương hai vế của phương trình ta được

3x²– 17x + 23 = x² – 6x + 9  

⇔ 2x² – 11x + 14 = 0

⇔ x = 2 hoặc x = $\frac{7}{2}$.

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy x = $\frac{7}{2}$ thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là S = $\left\{\frac{7}{2}\right\}$.

d) $\sqrt{-x^2+2x+4}=x-2$

Bình phương hai vế của phương trình ta được

– x² + 2x + 4 = x² – 4x + 4

⇔ – 2x² + 6x = 0

⇔ – 2x(x – 3) = 0

⇔ x = 0 hoặc x = 3.

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy x = 3 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là S = {3}.

Bài 6.22 trang 27 Toán 10 Tập 2: Cho tứ giác ABCD có AB ⊥ CD; AB = 2; BC = 13; CD = 8; DA = 5 (H.6.21). Gọi H là giao điểm của AB và CD và đặt x = AH. Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài x, từ đó tính diện tích tứ giác ABCD.

 

Lời giải

Đặt AH = x, x > 0.

Khi đó theo định lí Pythagore trong tam giác AHD vuông tại H, ta có:

AD²= AH² + HD² ⇔ HD² = AD² – AH² = 5² – x² = 25 – x².

Suy ra HD = $\sqrt{25-x^2}$.

Ta lại có HC = HD + DC = $\sqrt{25-x^2}+8$.

HB = AH + AB = x + 2

Theo định lí Pythagore trong tam giác HBC vuông tại H, ta có: BC² = HB² + HC² 

⇔ 13² = (x + 2)² + ${\left(\sqrt{25-x^2}+8\right)}^2$

⇔ x² + 4x + 4 + 25 – x² + 16$\sqrt{25-x^2}$+ 64 – 169 = 0

⇔ 16$\sqrt{25-x^2}$ = – 4x + 76

⇔ 4$\sqrt{25-x^2}$ = 19 – x  

Để tính x, ta cần giải phương trình: 4$\sqrt{25-x^2}$ = 19 – x  (*).

Bình phương hai vế của phương trình (*) ta được:

16.(25 – x²) = x² – 38x + 361

⇔ 17x² – 38x – 39 = 0  

⇔ x = 3 hoặc x = $-\frac{13}{17}$.

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình (*), ta thấy hai giá trị x = 3 và x = $-\frac{13}{17}$ đều thỏa mãn.

Vì điều kiện của x là x > 0 nên ta chọn x = 3.

Vậy ta tính được AH = 3.

Suy ra HD = $\sqrt{25-3^2}=4$; HC = 4 + 8 = 12; HB = 3 + 2 = 5

Diện tích tam giác HAD là S_HAD = $\frac{1}{2}$HA . HD = $\frac{1}{2}$. 3 . 4 = 6.

Diện tích tam giác HBC là S_HBC = $\frac{1}{2}$HB . HC = $\frac{1}{2}$ . 5 . 12 = 30.

Vậy diện tích tứ giác ABCD là S = S_HBC – S_HAD = 30 – 6 = 24 (đvdt).  

Bài 6.23 trang 27 Toán 10 Tập 2: Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường. Minh đứng tại vị trí A cách lề đường một khoảng 50 m để chờ Hùng. Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm B, cách mình một đoạn 200 m thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe. Vận tốc đi bộ của Minh là 5 km/h, vận tốc xe đạp của Hùng là 15 km/h. Hãy xác định vị trí C trên lề đường (H.6.22) để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

 

Lời giải

Đổi: 200 m = 0,2 km, 50 m = 0,05 km.

Ta mô hình hóa bài toán như trong hình vẽ sau:

 

Hùng ở vị trí B, Minh ở vị trí A, H là vị trí lề đường mà Minh đi theo hướng vuông góc với BC từ vị trí A.

Giả sử C là vị trí Hùng và Minh gặp nhau. Đặt CH = x (km) (x > 0).

Áp dụng định lí Pythagore tam giác HAB vuông tại H, ta có:

AB² = HB² + HA² ⇔ HB² = AB² – HA² = (0,2)² – (0,05)² = 0,0375

Suy ra HB = $\frac{\sqrt{15}}{20}$.

Ta có: BC + CH = HB ⇔ BC = HB – CH = $\frac{\sqrt{15}}{20}-x$.

Do đó quãng đường di chuyển của Hùng từ B đến điểm gặp nhau C dài $\frac{\sqrt{15}}{20}-x$ (km).

Vận tốc đạp xe của Hùng là 15 km/h nên thời gian di chuyển của Hùng từ B đến điểm gặp nhau là: $\frac{\frac{\sqrt{15}}{20}-x}{15}=\frac{\sqrt{15}-20x}{300}$ (giờ).

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác CHA vuông tại H, ta có:

CA²= HA² + HC² = (0,05)² + x² = 0,0025 + x²

Suy ra CA = $\sqrt{\mathrm{0,0025}+x^2}$ hay quãng đường di chuyển của Minh từ vị trí A đến điểm gặp nhau C dài $\sqrt{\mathrm{0,0025}+x^2}$ (km).

Vận tốc đi bộ của Minh là 5 km/h nên thời gian di chuyển của Minh từ vị trí A đến điểm gặp nhau C là: $\frac{\sqrt{\mathrm{0,0025}+x^2}}{5}$ (giờ).

Để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia thì thời gian di chuyển từ vị trí A đến C của Minh phải bằng thời gian di chuyển từ vị trí B đến C của Hùng.

Khi đó ta có phương trình: $\frac{\sqrt{\mathrm{0,0025}+x^2}}{5}=\frac{\sqrt{15}-20x}{300}$ (*).

Giải phương trình (*) ta có:

(*) $\iff 60\sqrt{\mathrm{0,0025}+x^2}=\sqrt{15}-20x$

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được:

3600.(0,0025 + x²) = 15 – 40$\sqrt{15}$x + 400x² 

 

⇔ 3200x² + 40$\sqrt{15}$x – 6 = 0

⇔ x = $\frac{-\sqrt{15}-3\sqrt{7}}{160}$ hoặc x = $\frac{-\sqrt{15}+3\sqrt{7}}{160}$.

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình (*) ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Lại có điều kiện của x là x > 0 nên ta chọn x = $\frac{-\sqrt{15}+3\sqrt{7}}{160}$≈ 0,0254.

Suy ra CH = x ≈ 0,0254 km = 25,4 m.

Do đó, BC = BH – CH ≈ $\frac{\sqrt{15}}{20}-\mathrm{0,0254}\approx \mathrm{0,1682}$km = 168,2 m.

Vậy vị trí C thỏa mãn yêu cầu đề bài là điểm cách H một khoảng 25,4 m hay C cách B một khoảng 168,2 m.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải Toán 10 trang 25 Tập 2

Giải Toán 10 trang 26 Tập 2

Giải Toán 10 trang 27 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 6

Bài 19: Phương trình đường thẳng

Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách.

Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách.

Bài 22: Ba đường Conic