Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N thỏa mãn

Giải SBT Toán 10 Cánh diều Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Bài 55* trang 100 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AM}$ với k là số thực. Đặt $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}$. Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AN}$, $\overrightarrow{DE}$, $\overrightarrow{EN}$ theo các vectơ $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}$ và tìm k để ba điểm D, E, N thẳng hàng.

Lời giải:

Ta có: 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AM}=k.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\right) \\ =k.\left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\right) \\ =k.\left[\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\right] \end{gathered}$$

= $k.\left[\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right]$ = $k.\left[\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}\right]$.

$$\begin{gathered} \overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \\ =-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \overrightarrow{EN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AE} \\ =k.\left[\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right]-\frac{2}{5}\overrightarrow{AC} \\ =\frac{2k}{3}\overrightarrow{AB}+\left(\frac{k}{3}-\frac{2}{5}\right)\overrightarrow{AC} \\ =\frac{2k}{3}\overrightarrow{a}+\left(\frac{k}{3}-\frac{2}{5}\right)\overrightarrow{b} \end{gathered}$$

Để ba điểm D, E, N thẳng hàng thì tồn tại t ∈ ℝ sao cho $\overrightarrow{EN}=t\overrightarrow{DN}$

⇔ $\frac{2k}{3}\overrightarrow{a}+\left(\frac{k}{3}-\frac{2}{5}\right)\overrightarrow{b}=t\left(-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}\right)$ 

⇔ $\frac{2k}{3}\overrightarrow{a}+\left(\frac{k}{3}-\frac{2}{5}\right)\overrightarrow{b}=-\frac{t}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2t}{5}\overrightarrow{b}$ 

⇔ $\left\{\begin{array}{l}\frac{2k}{3}=-\frac{t}{3}\\ \frac{k}{3}-\frac{2}{5}=\frac{2t}{5}\end{array}\right.$⇔ $\left\{\begin{array}{l}k=\frac{6}{17}\\ t=-\frac{12}{17}\end{array}\right.$

Do đó ba điểm D, E, N thẳng hàng khi k = $\frac{6}{17}$.

Vậy $\overrightarrow{AN}=k.\left[\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}\right]$, $\overrightarrow{DE}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{EN}=\frac{2k}{3}\overrightarrow{a}+\left(\frac{k}{3}-\frac{2}{5}\right)\overrightarrow{b}$ và với k = $\frac{6}{17}$ thì ba điểm D, E, N thẳng hàng.