Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm M, N, P thỏa mãn

Giải SBT Toán 10 Cánh diều Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Bài 54* trang 100 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm M, N, P thỏa mãn . Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$. Biểu thị các vec tơ  theo các vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Lời giải:

Ta có: 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AN}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{5}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right) \\ =\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \\ =\frac{1}{5}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \\ =-\frac{3}{10}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AD}=-\frac{3}{10}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \overrightarrow{NP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{5}\overrightarrow{AC} \\ =\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{5}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right) \\ =-\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{15}\overrightarrow{AD} \\ =-\frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{15}\overrightarrow{b} \end{gathered}$$

Ta có $-\frac{3}{10}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b}=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{15}\overrightarrow{b}\right)$ hay $\overrightarrow{MN}=\frac{3}{2}\overrightarrow{NP}$

Do đó M, N, P thẳng hàng.

Vậy $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b}$; $\overrightarrow{NP}=-\frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{15}\overrightarrow{b}$; $\overrightarrow{MN}=-\frac{3}{10}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b}$ và ba điểm M, N, P thẳng hàng.