Bài 5 trang 70 Toán 11 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số 

Bài 5 trang 70 Toán 11 Tập 1: Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:

a) Bắt đầu một hình vuông H­₀ cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông H₀ thành chín hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H₁ (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của H₁ thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H₂ (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này ta nhận được một dãy hình H_n(n = 1, 2, 3, ...).

Ta có: H₁ có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{3}$;

H₂ có 5.5 = 5² hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{3}.\frac{1}{3}=\frac{1}{3^2};\mathrm{...}$

Từ đó, nhận được H_n có 5ⁿ hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{3^n}$.

a) Tính diện tích S_n của H_n và tính lim S_n.

b) Tính chu vi p_n của H_n và tính limp_n.

(Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích lim S_n và chu vi limp_n).

Lời giải:

a) Diện tích S_n của H_n là $S_n=5^n.{\left(\frac{1}{3}\right)}^n.{\left(\frac{1}{3}\right)}^n=5^n.{\left(\frac{1}{3}\right)}^{2n}={\left(\frac{5}{9}\right)}^n$

Khi đó ${\text{limS}}_n=\lim {\left(\frac{5}{9}\right)}^n=0$.

b) Chu vi p_n của H_n là: $p_n=5^n.\left(4.\frac{1}{3^n}\right)=4.{\left(\frac{5}{3}\right)}^n$.

Khi đó limp_n = lim = 0.