TOP 20 câu trắc nghiệm Hệ thức lượng trong tam giác (Kết nối tri thức 2024) có đáp án - Toán 10

Đáp án: B

Giải thích:

Định lí côsin:

Trong tam giác ABC: a² = b² + c² – 2bccosA.

Vậy đáp án đúng là B.

Đáp án: A

Giải thích:

Định lí sin: $\frac{\text{a}}{\text{sinA}}\text{ = }\frac{\text{b}}{\text{sinB}}\text{ = }\frac{\text{c}}{\text{sinC}}$= 2R.

Đáp án: C

Giải thích:

Công thức Heron: S = $\sqrt{\text{p(p }-\text{ a)(p }-\text{ b)(p }-\text{ c)}}$ . Do đó C sai.

Đáp án: A

Giải thích:

Công thức tính diện tích tam giác ABC: S = $\frac{1}{2}$bcsinA.

Đáp án: D

Giải thích:

Định lí sin: Trong tam giác ABC

$\frac{\text{a}}{\text{sinA}}\text{ = }\frac{\text{b}}{\text{sinB}}\text{ = }\frac{\text{c}}{\text{sinC}}\text{ = 2R}$.

Khẳng định A, B, C đúng. Khẳng định D sai.

Vậy chọn đáp án D.

Đáp án: B

Giải thích:

Định lí côsin: Trong tam giác ABC

a² = b² + c² – 2bccosA

b² = a² + c² – 2accosB

c² = b² + a² – 2bacosC.

Vậy đáp án đúng là B.

Đáp án: D

Giải thích:

Công thức Heron: S = $\sqrt{\text{p(p }-\text{ a)(p }-\text{ b)(p }-\text{ c)}}$.

Đáp án: A

Giải thích:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC:

AC² = AB² + BC² – 2AB.BC.cosB

AC² = 6² + 7² – 2.6.7.cos120°

AC² = 127

AC = $\sqrt{127}$

Vậy đáp án A đúng.

Đáp án: C

Giải thích:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, có:

AC² = AB² + BC² – 2AB.BC.cosB

6² = 5² + 7² – 2.5.7.cosB

cosB = $\frac{5^2+7^2-6^2}{\mathrm{2.5.7}}$

cosB = $\frac{19}{35}$

Vậy đáp án đúng là C.

Đáp án: D

Giải thích:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC:

$\frac{\text{BC}}{\text{sinA}}$= 2R

R = $\frac{\text{BC}}{\text{2sinA}}$

R = $\frac{8}{2.\sin 30°}$

R = 8.

Vậy đáp án đúng là D.

Đáp án: C

Giải thích:

Áp dụng định lí sin:

$\frac{\text{b}}{\text{sinB}}\text{ = }\frac{\text{c}}{\text{sinC}}$

⇒ $\frac{8}{\sin 80°}=\frac{5}{\sin \text{C}}$

⇒ sin C = 5 : $\frac{8}{\sin 80°}$

⇒ ≈ 37°59’

Vậy đáp án đúng là C.

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: p = $\frac{3+4+5}{2}$ = 6

Áp dụng công thức Heron:

S = $\sqrt{\text{p(p }-\text{ a)(p }-\text{ b)(p }-\text{ c)}}$.

S = $\sqrt{6.(6-3).(6-4).(6-5)}$

S = 6.

Vậy đáp án đúng là B.

Đáp án: C

Giải thích:

Đặt AB = c, BC = a, AC = b

Theo định lí côsin ta có: a² = b² + c² – 2bccosA

⇒ cosA = $\frac{{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-{\text{a}}^2}{2\text{bc}}$

⇒ cosA = $\frac{{\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)}^2+2-3}{2.\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.\sqrt{2}}$

⇒ cosA = $\frac{-1}{2}$

⇒ $\widehat{\text{A}}$ = 120°.

Vậy đáp án C đúng.

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: p = $\frac{2+5+5}{2}$ = 6

Áp dụng công thức Heron:

S = $\sqrt{\text{p(p }-\text{ a)(p }-\text{ b)(p }-\text{ c)}}$.

S = $\sqrt{6.(6-2).(6-5).(6-5)}$

S = $2\sqrt{6}$.

Mà S = pr = 6r = $2\sqrt{6}$ ⇒ r = $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Vậy đáp án đúng là D.

Đáp án: A

Giải thích:

Xét tam giác ABC có: $\widehat{\text{A}}$ + $\widehat{\text{B}}$ + $\widehat{\text{C}}$ = 180° ⇒ $\widehat{\text{A}}$ = 180° – 30° – 45° = 105°.

Áp dụng định lí sin: $\frac{\text{b}}{\text{sinB}}\text{ = }\frac{\text{c}}{\text{sinC}}$⇒ $\frac{\text{2}}{\text{sin30}°}=\frac{\text{c}}{\text{sin45}°}$ ⇒ c = $2\sqrt{2}$.

S = $\frac{1}{2}$bcsinA = $\frac{1}{2}$.2. $2\sqrt{2}$.sin105° = 1 + $\sqrt{3}$

Vậy đáp án A đúng.

Đáp án: B

Giải thích:

Sau 2h, tàu tới C đi được đoạn đường b = 15.2 = 30 ( hải lí )

Sau 2h, tàu tới B đi được đoạn đường c = 15.2 = 40 ( hải lí )

Dựa vào hình vẽ, sau 2h, tàu B và tàu C tạo với điểm xuất phát một tam giác ABC có

$\widehat{\text{A}}$= 60°, b = 30, c = 40 và a = BC.

Áp dụng định lí côsin ta có:

a² = b² + c² – 2bccosA

a² = 30² + 40² – 2.30.40.cos60°

a² = 1300

a ≈ 36 ( hải lí ).

Vậy đáp án đúng là B.

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi điểm H là chân tòa nhà. Điểm D là điểm tương ứng trên tòa nhà ngang bằng với vị trí quan sát A. Như vậy $\widehat{\text{ADC}}$= 90°.

Từ vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất có thể quan sát được đỉnh B và chân C của cột ăng – ten dưới góc 50° và 40° so với phường nằm ngang. Như vậy $\widehat{\text{DAC}}$ = 40° và $\widehat{\text{DAB}}$ = 50°.

Xét tam giác ABD có: = 180 – $\widehat{\text{ADB}}$ – $\widehat{\text{DAB}}$ = 180° – 90° – 50° = 40° = $\widehat{\text{ABC}}$.

Xét tam giác ABC có:

$\widehat{\text{BAC}}$ = 50° – 40° = 10°.

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC:

$\frac{\text{BC}}{\sin \text{A}}=\frac{\text{AC}}{\sin \text{B}}$⇒ $\frac{5}{\sin 10°}=\frac{\text{AC}}{\sin 40°}$ ⇒ AC ≈ 18,5m

Áp dụng định lí sin cho tam giác ADC:

$\frac{\text{CD}}{\sin \text{A}}=\frac{\text{AC}}{\sin \text{D}}$⇒ $\frac{\text{CD}}{\sin 40°}=\frac{18,5}{\sin 90°}$ ⇒ CD ≈ 11,9m

Chiều cao tòa nhà tương ứng với đoạn CH.

CH = CD + DH = 11,9 + 7 = 18,9 ≈ 19m.

Vậy đáp án đúng là B.

Đáp án: D

Giải thích:

b.( b² – a² ) = c.( a² – c² )

⟺ b³ – a²b – a²c + c³ = 0

⟺ b³ + c³ – ( a²b + a²c ) = 0

⟺ ( b + c )( b² – bc + c² ) – a²( b + c ) = 0

⟺ ( b + c ) ( b² + c² – a² – bc ) = 0

b và c là cạnh tam giác nên b + c > 0

⇒ b² + c² – a² – bc = 0 hay a² = b² + c² – bc

Theo định lí côsin

a² = b² + c² – 2bccosA

mà a² = b² + c² – bc ⇒ cosA = $\frac{1}{2}$ ⇒ $\widehat{\text{BAC}}$ = 60°.

Vậy đáp án đúng là D.

Đáp án: C

Giải thích:

Đặt AB = c, BC = a, AC = b

Theo định lí côsin ta có: a² = b² + c² – 2bccosA

⇒ cosA = $\frac{{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-{\text{a}}^2}{2\text{bc}}$

⇒ cosA = $\frac{{\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)}^2+2-3}{2.\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.\sqrt{2}}$

⇒ cosA = $\frac{-1}{2}$

⇒ $\widehat{\text{A}}$ = 120° hay $\widehat{\text{BAC}}$= 120°.

Tương tự: cosB = $\frac{{\text{a}}^2+{\text{c}}^2-{\text{b}}^2}{\text{2ac}}$

⇒ cosB = $\frac{{\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)}^2+3-2}{2.\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.\sqrt{3}}$

⇒ cosB = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

⇒ $\widehat{\text{B}}$= 45° hay $\widehat{\text{ABD}}$= 45°

AD là tia phân giác trong của $\widehat{\text{BAC}}$⇒$\widehat{\text{BAD}}=\frac{1}{2}$$\widehat{\text{BAC}}$= 60°.

Xét tam giác ABD: $\widehat{\text{ABD}}$+ $\widehat{\text{BAD}}$ + $\widehat{\text{ADB}}$ = 180°

⇒ $\widehat{\text{ADB}}$ = 180° – $\widehat{\text{ABD}}$ – $\widehat{\text{BAD}}$ = 180° – 60° – 45° = 75°

Vậy đáp án C đúng.

Đáp án: C

Giải thích:

Đặt AB = c = 4, AC = b = 2$\sqrt{7}$, BC = a = 6.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC:

b² = a² + c² – 2accosB

⇒ cosB = $\frac{{\text{a}}^{\text{2}}+{\text{c}}^{\text{2}}-{\text{b}}^{\text{2}}}{2\text{ac}}$

⇒ cosB = $\frac{1}{2}$

BC = 6 và MC = 2MB ⇒ MC = 4 và MB = 2.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABM:

AM² = AB² + BM² – 2.AM.BM.cos$\widehat{\text{ABM}}$

AM² = 4² + 2² – 2.2.4.$\frac{1}{2}$

AM = $2\sqrt{3}$.

Vậy đáp án đúng là C.