TOP 15 câu Trắc nghiệm Tích của một vectơ với một số (Kết nối tri thức 2024) có đáp án - Toán 10

Chỉ 150k mua trọn bộ Trắc nghiệm Toán lớp 10 Kết nối tri thức bản word (cả năm) có đáp án chi tiết:

B1: Gửi phí vào tài khoản 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)

B2: Nhắn tin tới zalo Vietjack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận tài liệu.

Xem thử tài liệu tại đây: Link tài liệu

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức

Câu 1: Cho vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ và hai số thực k, t. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. k(t$\overrightarrow{a}$) = (kt)$\overrightarrow{a}$;

B. (k + t)$\overrightarrow{a}$ = k$\overrightarrow{a}$ + t$\overrightarrow{b}$;

C. k$\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$ = k$\overrightarrow{a}$ + k$\overrightarrow{b}$;

D. (-1)$\overrightarrow{a}$ = -$\overrightarrow{a}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là B

Ta có (k + t)$\overrightarrow{a}$ = k$\overrightarrow{a}$ + t$\overrightarrow{a}$. Do đó B sai.

Câu 2: Cho ba điểm A, B, C phân biệt sao cho $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$.Biết rằng C là trung điểm đoạn thẳng AB. Giá trị k thỏa mãn điều kiện nào sau đây?

A. k < 0

B. k = 1

C. 0 < k < 1

D. k > 1

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là D

Vì C là trung điểm của đoạn thẳng AB nên AC = 2AB.

Ta có $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}$ là hai vectơ cùng hướng nên $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}$. Suy ra k = 2 > 1.

Vậy k thỏa mãn điều kiện k > 1.

Câu 3. Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định ví trí điểm K thỏa mãn $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$.

A. K là trung điểm của AB

B. K là điểm nằm giữa I và A thỏa mãn IK = $\frac{1}{3}$ IB với I là trung điểm của AB.

C. K là điểm nằm giữa I và B thỏa mãn IK = $\frac{1}{3}$ IB với I là trung điểm của AB.

D. K là điểm nằm giữa I và A thỏa mãn IK = $\frac{1}{3}$ IA với I là trung điểm của AB.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là C

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

Xét đẳng thức: $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{KI}+\overrightarrow{IA}+2\left(\overrightarrow{KI}+\overrightarrow{IB}\right)=\overrightarrow{0}$

$\iff 3\overrightarrow{KI}+\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

$\iff 3\overrightarrow{KI}+\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

$\iff 3\overrightarrow{KI}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{KI}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{IB}$ hay $\overrightarrow{IK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{IB}$

Vì vậy điểm K là điểm nằm giữa I và B thỏa mãn $IK=\frac{1}{3}IB$.

Câu 4: Cho vectơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$ với số thực k như thế nào thì vectơ $k\overrightarrow{a}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$.

A. k = 1;

B. k = 0;

C. k < 0;

D. k > 0.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là C

Tích của một vectơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$với số thực k < 0 là một vec tơ kí hiệu $k\overrightarrow{a}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$.

Câu 5. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Khi đó $\overrightarrow{AM}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}$. Tính S = a + 2b.

A. 1;

B. 2;

C. $\frac{1}{2}$;

D. $\frac{3}{2}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là D

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

⇔ $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

⇒ a = $\frac{1}{2}$, b = $\frac{1}{2}$.

⇒ S = a + 2b = $\frac{1}{2}$ + 2.$\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ + 1 = $\frac{3}{2}$.

Vậy S = $\frac{3}{2}$.

Câu 6: Các tam giác ABC có trọng tâm G; M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB. Biểu thị $\overrightarrow{MG}$ thông qua hai vec tơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

A. $\overrightarrow{NG}=-\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$;

B. $\overrightarrow{NG}=-\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$;

C. $\overrightarrow{NG}=-\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$;

D. $\overrightarrow{NG}=-\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là B

Ta có: $\overrightarrow{NG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

$=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

$=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

$=-\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.

Vậy $\overrightarrow{NG}=-\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Câu 7. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm tam giác. Hãy xác định điểm M để $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$.

A. M là trung điểm của đoạn thẳng GC;

B. M nằm giữa G và C sao cho GM = 4GC;

C. M nằm ngoài G và C sao cho GM = 4GC;

D. M nằm giữa G và C sao cho $GM=\frac{1}{4}GC$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là D

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Xét $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+2\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)=\overrightarrow{0}$

$\iff 4\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

$\iff 4\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

$\iff 4\overrightarrow{MG}=-\overrightarrow{GC}$

$\iff \overrightarrow{GM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{GC}$.

Vậy G là điểm nằm giữa G và C sao cho $GM=\frac{1}{4}GC$.

Câu 8. Trong hình vẽ, hãy biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$, tức là tìm các số x, y, z, t để $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b},\overrightarrow{v}=t\overrightarrow{a}+z\overrightarrow{b}.$

A. x = 1, y = 2, z = 2, t = -1;

B. x = 1, y = 2, z = -2, t = 3;

C. x = 1, y = 2, z = -2, t = -1;

D. x = 1, y = -2, z = 2, t = -3.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là B

Ta có hình vẽ sau:

Xét hình bình hành OABC, có:

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{b},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{u}$

Khi đó, ta có:

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$ (quy tắc hình bình hành)

Xét hình bình hành OMNP, có:

$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{v},\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{b},\overrightarrow{OP}=-2\overrightarrow{a}$

Khi đó, ta có:

$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OP}=3\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}.$

Vậy $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b},\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}.$

Câu 9. Cho tam giác ABC . Lấy E là trung điểm của AB và F thuộc cạnh AC sao cho AF = $\frac{1}{3}$AC. Hãy xác định điểm M để $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$.

A. M là trung điểm BC;

B. M là đỉnh hình chữ nhật AEFM;

C. M là đỉnh hình bình hành EAFM;

D. M là đỉnh tam giác đều BEM.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là C

Để xác định vị trí điểm M, trước hết ta biểu thị $\overrightarrow{AM}$ (với gốc A đã biết) theo hai vec tơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

Đẳng thức vec tơ đã cho tương đương với $\overrightarrow{MA}+3\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}\right)+2\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{0}$

$\iff 6\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Vì E là trung điểm của AB và F thuộc cạnh AC sao cho AF = $\frac{1}{3}$ AC nên $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Vì vậy $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}$.

Suy ra M là đỉnh thứ tư của hình bình hành EAFM.

Câu 10. Biết rằng hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương nhưng hai vectơ $5x\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}$ và $\left(3x-2\right)\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$ cùng phương. Khi đó giá trị của x bằng:

A. $\frac{4}{11}$;

B. $\frac{2}{3}$;

C. 4;

D. -4.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là A

Vectơ $5x\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}$ và $\left(3x-2\right)\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$cùng phương khi 5x = - 2(3x – 2)

⇔ 5x = -6x + 4

⇔ 11x = 4

⇔ x = $\frac{4}{11}$.

Vậy x = $\frac{4}{11}$.

Câu 11. Chất điểm A chịu tác động của ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$như hình vẽ và ở trạng thái cân bằng (tức là $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0}$). Tính độ lớn của các lực $\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},$ biết $\overrightarrow{F_1}$ có độ lớn là 20N.

A. $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\frac{20}{\sqrt{3}}N,\left|\overrightarrow{F_2}\right|=\frac{40\sqrt{3}}{3}N;$

B. ${\mathbb{F}}_1|==\frac{40}{\sqrt{3}}\mathrm{N}|\overrightarrow{F_2}|=\frac{20\sqrt{3}}{3};N$

C. $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=\frac{40\sqrt{3}}{3}N;$

D.$\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\frac{60}{\sqrt{3}}N,\left|\overrightarrow{F_2}\right|=\frac{40\sqrt{3}}{3}N.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là A

Ta có: $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=-\overrightarrow{F_3}$

Mà $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}$ (OBDA là hình bình hành)

$\Rightarrow \overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{F_3}$

⇒ Hai vecto $\overrightarrow{OD}$ và $\overrightarrow{F_3}$ là hai vecto đối nhau

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{OD}\right|=\left|-\overrightarrow{F_3}\right|$ và $\widehat{BOD}={60}^0$.

Ta lại có: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{F_1}$

Xét ΔOBD, có:

$OB=\frac{BD}{\tan {60}^0}=\frac{20}{\sqrt{3}}\left(N\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{F_2}\right|=\frac{20}{\sqrt{3}}N.$

$OD=\frac{BD}{\sin {60}^0}=\frac{40\sqrt{3}}{3}\left(N\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{F_3}\right|=\frac{40\sqrt{3}}{3}N.$

Vậy độ lớn vecto $\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ lần lượt là $\frac{20}{\sqrt{3}}N,\frac{40\sqrt{3}}{3}N.$

Câu 12. Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = 2 và giao điểm các đường chéo là H. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AH}$.

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $\sqrt{5}$

D. $\frac{1}{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là C

Vì ABCD là hình bình hành nên AH = HC = $\frac{1}{2}$AC. Khi đó $\overrightarrow{AH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

Ta có: $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AB}+2.\frac{1}{2}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

Gọi M là trung điểm của DC

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{AM}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AH}\right|=2\left|\overrightarrow{AM}\right|$

Xét tam giác ADM vuông tại M, có:

AM² = AD² + DM² = 2² + ${\left(\frac{2}{2}\right)}^2$= 5 (định lí Py – ta – go)

⇔ AM = $\sqrt{5}$

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AH}\right|=\sqrt{5}.$

Câu 13. Cho tứ giác ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, CD. Đẳng thức nào dưới đây là sai?

A. $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{MN}$;

B. $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{MN}$;

C. $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{MN}$;

D. $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{MN}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là B

Ta có $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MD}$

$=\left(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AM}\right)+\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)$

$=\overrightarrow{0}+2\overrightarrow{MN}$

$=2\overrightarrow{MN}$

Vậy $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{MN}$

Câu 14. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác vec tơ – không. Hai vec tơ nào dưới đây cùng phương?

A. $2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$và $\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$;

B. $-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ và $-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$;

C. $\frac{1}{6}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ và $-\overrightarrow{a}+6\overrightarrow{b}$;

D. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là C

Ta có: $-6\left(\frac{1}{6}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$. Do đó vectơ $\frac{1}{6}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ và $-\overrightarrow{a}+6\overrightarrow{b}$ cùng phương.

Câu 15. Cho hình vẽ sau:

Phát biểu nào dưới đây là đúng?

A. $5\overrightarrow{MP}=4\overrightarrow{MN}$;

B. $\overrightarrow{PM}=4\overrightarrow{PN}$;

C. $\overrightarrow{PN}=-\frac{1}{5}\overrightarrow{MN}$;

D. Cả A, B và C đều sai

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là A

+) Ta có hai vectơ $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng và $MP=\frac{4}{5}MN$. Suy ra $\overrightarrow{MP}=\frac{4}{5}\overrightarrow{MN}$ hay $5\overrightarrow{MP}=4\overrightarrow{MN}$. Do đó A đúng.

+) Ta có hai vectơ $\overrightarrow{PM}$ và $\overrightarrow{PN}$ ngược hướng và PM = 4PN. Suy ra $\overrightarrow{PM}=-4\overrightarrow{PN}$. Do đó B sai.

+) Ta có hai vectơ $\overrightarrow{PN}$ và $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng và $PN=\frac{1}{5}MN$. Suy ra $PN=\frac{1}{5}MN$. Do đó D sai.

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 10 Kết nối tri thức có đáp án hay khác:

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Trắc nghiệm Toán 10 Chương 4: Vectơ