Lời giải

Tứ giác ABCD có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow$ABCD  là hình bình hành (1) , nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.

Mà$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|\left(2\right).$

Từ (1) và (2) ta có ABCD là hình thoi nên $\left|\overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|$.

Lời giải

Ta có $\overrightarrow{BA}=\left(-4;3\right)$,$\overrightarrow{BC}=\left(8;-7\right)$$\Rightarrow \overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$ không cùng phương nên A, B, C không thẳng hàng,$\overrightarrow{CE}=\left(m-10;6\right)$ . Để ABCE là hình thang có một đáy là CE thì $\overrightarrow{CE}$ cùng chiều với $\overrightarrow{BA}\Rightarrow \frac{m-10}{-4}=\frac{6}{3}>0$$\iff m=2$ .

Vậy $E\left(2;1\right)$.

Lời giải

$2M{A}^2+M{B}^2+2M{C}^2+M{D}^2=9a^2$

$$\begin{gathered} \iff 2{\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)}^2 \\ +2{\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\right)}^2=9a^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff 6M{O}^2+2O{A}^2+O{B}^2+2O{C}^2+O{D}^2 \\ +2\overrightarrow{MO}\underset{\overrightarrow{0}}{\underbrace{\left(2\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\right)}}=9a^2 \end{gathered}$$

$\iff 6MO{}_2+3a^2=9a^2\iff MO=a$

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O bán kính $R=a$.

Lời giải

Lời giải

$\overrightarrow{AB}=\left(4;3\right)\Rightarrow \overrightarrow{u}=2\overrightarrow{AB}=\left(8;6\right)$.

Lời giải

Điểm I là trọng tâm tam giác  ABC 

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_I=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ y_I=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_C=3x_I-x_A-x_B\\ y_C=3y_I-y_A-y_B\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_C=3-3-\left(-1\right)=1\\ y_C=-3-\left(-1\right)-2=-4\end{array}\right.$

Vậy điểm $C\left(1;-4\right)$.

Lời giải

Véc tơ – không là véc tơ có điểm đầu, điểm cuối trùng nhau nên có độ dài bằng 0.

Véc tơ – không cùng phương với mọi véc tơ.

Lời giải

Theo quy tắc đường chéo hình bình hành, ta có:

$\left|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC$

$=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}$.

Lời giải

Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng: AB

$\left\{\begin{array}{l}{x}_I=\frac{x_A+x_B}{2}\\ y_I=\frac{y_A+y_B}{2}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_I=3\\ y_I=-2\end{array}\right.\Rightarrow I\left(3;-2\right)$.

Lời giải

Do G là trọng tâm tam giác ABC nên 

$\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_C=3x_G-x_A-x_B\\ y_C=3y_G-y_A-y_B\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_C=4\\ y_C=-5\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $C\left(4;-5\right)$.

Lời giải

Theo định nghĩa phép nhân véc tơ với một số.

Lời giải

Ta có:

$\overrightarrow{AB}=\left(2;-3\right)\Rightarrow 2\overrightarrow{AB}=\left(4;-6\right)$

$\overrightarrow{BC}=\left(-3;2\right)$

Nên $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\left(1;-4\right)$.

Lời giải

Với mọi điểm M, ta dựng hình bình hành AMBC.

Khi đó, theo quy tắc hình bình hành:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}$ .

Lời giải

Gọi M là trung điểm BC, ta có:

$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$

$=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$

$=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$.

Lời giải

Ta có:

$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}$

$=-2\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$

$=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$

Lời giải

Cách 1: Gọi $D\left(a;b\right)$. Vì $G\left(0;-\frac{13}{3}\right)$ là trọng tâm tam giác ADC nên

$\overrightarrow{BD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BG}$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}a-4=\frac{3}{2}\left(0-4\right)\\ b-5=\frac{3}{2}\left(\frac{-13}{3}-5\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=-9\end{array}\right. \end{gathered}$$

$\Rightarrow D\left(-2;-9\right)$

Cách 2: Gọi I là trọng tâm tam giác ABC suy ra I là trung điểm BG $\Rightarrow I\left(2;\frac{1}{3}\right)$.

Lại có $G\left(0;-\frac{13}{3}\right)$ là trung điểm DI nên suy ra $D\left(-2;-9\right)$.

Lời giải

Hai vectơ đối nhau là hai vectơ có cùng độ dài và ngược hướng.

Lời giải

Ta thấy $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ cùng hướng.

Lời giải

Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

$\Rightarrow M$ là trung điểm của BC

Lời giải

Ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{QR} \\ =\overrightarrow{MN}+\left(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{RN}+\overrightarrow{NP}\right) \\ =\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{MN}. \end{gathered}$$

Lời giải

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{BA}\iff \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$

$=-\overrightarrow{BA}\iff \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{BA}$ nên A sai

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CO}\iff \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CA}$

$$\begin{gathered} =-\overrightarrow{CO}\iff \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC} \\ =-\overrightarrow{CO}\iff \overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{CO} \end{gathered}$$

 nên B đúng.

Lời giải

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là $I\left(\frac{1+0}{2};\frac{0-2}{2}\right)$ hay $I\left(\frac{1}{2};-1\right)$.

Lời giải

Gọi $M\left(x;y\right)$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{MB}=\left(2-x;3-y\right)\\ \overrightarrow{MC}=\left(-1-x;-2-y\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\left(-5x+1;-5y\right)$

Khi đó $2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$.

$\iff \left\{\begin{array}{l}-5x+1=0\\ -5y=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{5}\\ y=0\end{array}\right.$

Vậy $M\left(\frac{1}{5};0\right)$.

Lời giải

Ta có:

$\overrightarrow{u}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}-m+n=2\\ -2m-3n=-4\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m=-\frac{2}{5}\\ n=\frac{8}{5}\end{array}\right.$.

Suy ra $m-n=-2$

Lời giải

Lời giải

Lời giải

Ta có $\overrightarrow{v}=3\overrightarrow{i}-m\overrightarrow{j}$

$\Rightarrow \overrightarrow{v}=\left(3;-m\right)$.

Hai vectơ $\overrightarrow{u}$,$\overrightarrow{v}$ cùng phương

$\iff \frac{3}{-2}=\frac{-m}{1}\iff m=\frac{3}{2}$.

Lời giải

Ta có:

$$\begin{gathered} m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c} \\ \iff \left\{\begin{array}{c}2m-3n=-4\\ m+4n=9\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}m=1\\ n=2\end{array}\right.. \end{gathered}$$

Lời giải