Lời giải

Ta có ba điểm phân biệt A,B,C thẳng hàng khi và chỉ khi $\exists k\in ℝ,k\ne 0$ sao cho $\overrightarrow{AB}\text{ = }k\overrightarrow{AC}$.

Lời giải

Ta có $GA=\frac{2}{3}AM$

Mặt khác $\overrightarrow{GA}$ và $\overrightarrow{AM}$ ngược hướng $\overrightarrow{GA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$.

Lời giải

Ta có $\overrightarrow{MN}=-3\overrightarrow{MP}$ nên $MN=3MP$ và $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ ngược hướng.

Lời giải

Ta có tính chất: Điều kiện cần và đủ để ba điểm A,B,C phân biệt thẳng hàng là $\exists k\in R:\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$.

Lời giải

Do M là trung điểm của BC nên ta có $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$.

Lời giải

Lời giải

Ta có:

$\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{IB}=-3\overrightarrow{IA}$

Do đó $IB=3.IA$; $\overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{IB}$ ngược hướng. Chọn Hình 4.

Lời giải

Lời giải

Ta có: 

$-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}\left(-2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=\frac{1}{2}\overrightarrow{x}$

Chọn B.

Lời giải

Ta có:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{AB}$

Vậy M là trung điểm của AD .

Lời giải

Gọi G là trọng tâm của tam giác  ABC , ta có :

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

Thay vào ta được :

 $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=6$

$\iff \left|3\overrightarrow{MG}\right|=6\iff MG=2$

hay tập hợp các điểm M là đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác ABC  và bán kính bằng 2 .

Lời giải

Ta có

$5\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MB}\iff 5\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)$

$=2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)\iff 5\overrightarrow{IA}=3\overrightarrow{IM}+2\overrightarrow{IB}$

$\iff \overrightarrow{IA}=\frac{3}{5}\overrightarrow{IM}+\frac{2}{5}\overrightarrow{IB}$

Lời giải

Lời giải

Ta có :

$-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=-\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\right)$

nên chọn A

Lời giải

Lời giải

Ta có:

$\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|$

$\iff \left|2\overrightarrow{MI}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|$

$\iff 2MI=BA\iff MI=\frac{BA}{2}$

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AB.

Lời giải

Vẽ $\overrightarrow{AB\text{'}}=4\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC\text{'}}=-\overrightarrow{AC}$. Vẽ hình bình hành $A{C}^{\text{'}}D{B}^{\text{'}}$

Ta có:

$$\begin{gathered} \left|4\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right| \\ =\left|\overrightarrow{A{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}\right| \\ =\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD \end{gathered}$$

Do đó $AD=\sqrt{A{B^{\text{'}}}^2+A{C^{\text{'}}}^2}$

$=\sqrt{8^2+2^2}=2\sqrt{17}$.

Lời giải

Lời giải

Ta có

(1) Điều kiện cần và đủ để C là trung điểm của đoạn AB là $\overrightarrow{BA}=-2\overrightarrow{AC}$

(3) Điều kiện cần và đủ để M là trung điểm của đoạn PQ là $\overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{PM}$

Phát biểu sai: (2) Điều kiện cần và đủ để C là trung điểm của đoạn AB là $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}$

Do đó câu (1) và câu (3) là đúng.

Lời giải

Lời giải

Do M là trung điểm các cạnh AB nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}$

Do N lần lượt là trung điểm các cạnh DC nên $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$

Ta có

$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$

$=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}$

$=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$

Mặt khác $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$

$=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$

$=\overrightarrow{ BC}+\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}\right)=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}$

Do đó:

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{MN}$

Lời giải

Do M là trung điểm các cạnh AD nên $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}$

Do N lần lượt là trung điểm các cạnh BC nên $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB}$. Nên D đúng.

Ta có:

$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB}$

$=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}$

$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MA}\right)$

$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{MN}$. Nên C đúng

Mà

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}+\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DC}\right)$

$=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{MN}$

Nên A đúng.

Vậy B sai.

Lời giải

Lời giải

Lời giải