Phương pháp:

Số phức có phần thực bằng a và phần ảo bằng b là z = a + bi.

Cách giải:

Số phức có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 1 có dạng z = 2 + i.

Chọn A.

Phương pháp:

Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng $S_{xq}=2\pi rl.$

Cách giải:

Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng $S_{xq}=2\pi rl.$

Chọn A.

Phương pháp:

Hàm số $y={\left[f\left(x\right)\right]}^n$ với $n\in {\mathbb{Z}}^{-}$ xác định khi và chỉ khi f(x) xác định và $f\left(x\right)\ne 0.$

Cách giải:

Hàm số $y={\left(x-1\right)}^{-2}$ xác định khi $x-1\ne 0\iff x\ne 1.$

Vậy TXĐ của hàm số là $ℝ\backslash \left\{1\right\}.$

Chọn A.

Phương pháp:

Dựa vào bảng biến thiên để xác định điểm cực đại là điểm mà tại đó hàm số liên tục và qua đó đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm.

Cách giải:

Hàm số đạt giá trị cực đại bằng 4 tại x = -1.

Chọn B.

Phương pháp:

Thể tích của hình nón có bán kính đáy r và đường cao h là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.$

Cách giải:

Thể tích của hình nón có bán kính đáy r và đường cao h là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi {.2}^2.3=4\pi .$

Chọn C.

Phương pháp:

Áp dụng công thức cộng trừ hai số phức.

Cách giải:

$z=z_2-z_1=\left(-7+5i\right)-\left(4-3i\right)=-11+8i$.

Chọn C.

Phương pháp:

Mặt phẳng $\left(P\right):Ax+By+Cz+D=0$ có 1 vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$.

Cách giải:

Mặt phẳng $\left(P\right):3x-z+2=0$ có 1 vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(3;0;-1\right).$

Chọn A.

Phương pháp:

Giải phương trình logarit: ${\log }_{a}x=b\iff x=a^b.$

Cách giải:

${\log }_5\left(2x-3\right)=1\iff 2x-3=5\iff x=4.$

Chọn B.

Phương pháp:

Sử dụng công thức SHTQ của cấp số cộng: $u_n=u_1+\left(n-1\right)d,u_n=u_k+\left(n-k\right)d$

Cách giải:

$u_6=u_5+d=1-2=-1.$

Chọn B.

Phương pháp:

Đường thẳng $\left(d\right):\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$ có 1 vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right).$

Cách giải:

Đường thẳng $\left(d\right):\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z-7}{1}$ có 1 vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;-4;1\right).$

$\Rightarrow \overrightarrow{u\text{'}}=\left(-2;4;-1\right)$ cũng là 1 VTCP của đường thẳng d.

Chọn B.

Phương pháp:

Đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có TCN $y=\frac{a}{c}.$

Cách giải:

Đồ thị hàm số $y=\frac{4-3x}{4x+5}=\frac{-3x+4}{4x+5}$ có TCN $y=-\frac{3}{4}.$

Chọn C.

Phương pháp:

Mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2$ có bán kính R.

Cách giải:

Mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-5\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z+2\right)}^2=9$ có bán kính R = 3.

Chọn D.

Phương pháp:

Sử dụng hoán vị.

Cách giải:

Từ các số 1, 5, 6, 7 có thể lập được 4! = 24 số có 4 chữ số đôi một khác nhau.

Chọn B.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất tích phân: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx.$

Cách giải:

$\underset{3}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{3}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=3-2=1.$

Chọn D.

Phương pháp:

Giải bất phương trình mũ $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)>g\left(x\right)\left(a>1\right)$

Cách giải:

$3^{2x+1}>3^{3-x}\Rightarrow 2x+1>3-x\iff 3x>2\iff x>\frac{2}{3}.$

Chọn B.

Phương pháp:

Giải phương trình bậc hai với hệ số thực.

Cách giải:

Ta có $z^2+2z+5=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l}z=-1+2i\\ z=-1-2i\end{array}\right..$

Vậy nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình $z^2+2z+5=0$ là z = -1 + 2i.

Chọn D.

Phương pháp:

Điểm biểu diễn số phức liên hợp của z = a + bi trong mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm M(a; b).

Cách giải:

Ta có: $z=1+2i\Rightarrow \overline{z}=1-2i.$

Điểm biểu diễn số phức liên hợp của $\overline{z}=1-2i$ trong mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm Q(1; -2).

Chọn A.

Phương pháp:

Dựa vào đồ thị hàm số để loại các đáp án.

Cách giải:

Đồ thị hàm số là hàm bậc 4, có chiều hương xuống dưới nên chỉ có đáp án A thỏa mãn.

Chọn D.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính tọa độ vecto: $\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A\right)$.

Cách giải:

Ta có $A\left(0;1;-1\right),B\left(2;3;2\right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(2;2;3\right).$

Chọn D.

Phương pháp:

Xác định các khoảng nghịch biến của hàm số là khoảng ứng với mũi tên đi xuống.

Cách giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trong khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và (0; 1).

Chọn A.

Phương pháp:

Dựa vào đồ thị để xác định GTLN của hàm số trên một đoạn.

Cách giải:

Dựa vào đồ thị ta thấy trên [-1; 3] ta thấy $\underset{\left[1;3\right]}{\max }y=y\left(2\right)=1.$

Chọn B.

Phương pháp:

Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x), các đường thẳng x = a, x = b quanh trục hoành là $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f^2\left(x\right)-g^2\left(x\right)\right|dx.$

Cách giải:

Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình (D) quanh trục Ox được tính theo công thức $V=\pi \underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{x}{4}\right)}^{2}dx.$

Chọn C.

Phương pháp:

- Tính diện tích tam giác vuông $ABC:S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.$

- Tính thể tích khối chóp $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA.S_{\Delta ABC}.$

Cách giải:

Ta có $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.2a.a=a^2$

$\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.SA.S_{ABC}=\frac{1}{3}.3a.a^2=a^3.$

Chọn D.

Phương pháp:

Thực hiện phép chia số phức.

Cách giải:

Ta có $\left(1-i\right)z+i=0\Rightarrow z=\frac{-i}{1-i}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i.$

Chọn D.

Chọn D.

Phương pháp:

- Dựa tính chất hai mặt phẳng song song xác định dạng phương trình mặt phẳng cần tìm.

- Thay điểm A(1; 0; -1) vào phương trình mặt phẳng tìm hằng số tự do.

Cách giải:

Mặt phẳng song song với mặt phẳng $x-y+z+2=0$ có dạng $x-y+z+c=0\left(\alpha \right).$

Vì $A\left(1;0;-1\right)\in \left(\alpha \right)$ nên $1-0-1+c=0\iff c=0.$

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là $x-y+z=0.$

Chọn D.

Phương pháp:

Số giao điểm là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Cách giải:

Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số đã cho là nghiệm của phương trình:

                                         $x+1=x^3-3x+1\iff x^3-4=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\\ x=-2\end{array}\right.$

Vậy số giao điểm của đường thẳng y = x + 1 và đồ thị hàm số $y=x^3-3x+1$ là 3.

Chọn A.

Phương pháp:

Mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0$ có tâm I(-a; -b; -c), bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}.$

Cách giải:

Mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-8x+2y+1=0$ có tâm I(4; -1; 0) và bán kính $R=\sqrt{4^2+{\left(-1\right)}^2+0^2-1}=4.$

Chọn D.

Phương pháp:

- Quay tam giác ABC vuông tại A quanh trục AB ta được hình nón có chiều cao h = AB, bán kính đáy r = AC.

- Thể tích nón có chiều cao h bán kính đáy r là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.$

Cách giải:

Tam giác ABC vuông cân đỉnh A có cạnh huyền là $\sqrt{2}$ nên AB = AC = 1

Quay tam giác ABC quanh trục AB ta được khối nón có chiều cao AB = 1 và bán kính đáy AC = 1.

Khi đó thể tích hình nón là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi .A{C}^2.AB=\frac{\pi }{3}.$

Chọn B.

Phương pháp:

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

Cách giải:

Ta có $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\sqrt{3x^2+1}dx$

Đặt $u=\sqrt{3x^2+1}\Rightarrow du=\frac{3x}{\sqrt{3x^2+1}}dx\Rightarrow xdx=\frac{\sqrt{3x^2+1}du}{3}=\frac{udu}{3}.$

Đổi cận: $\left\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow u=1\\ x=1\Rightarrow u=2\end{array}\right..$

Vậy $I=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{u^2}{3}du=\frac{1}{3}\underset{1}{\overset{2}{\int }}{u}^{2}du.$

Chọn A.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất tích phân: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx.$

Cách giải:

Ta có $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[4f\left(x\right)-2x\right]dx=1$

$\iff 4.\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx-2.\underset{1}{\overset{2}{\int }}xdx=1$

$\iff 4.\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx-x^2\left|\begin{array}{l}2\\ 1\end{array}\right.=1$

$\iff 4.\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx-3=1$

$\iff \underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=1$

Chọn A.

Phương pháp:

Xác định các điểm cực đại của hàm số là điểm mà qua đó đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm.

Cách giải:

Dựa vào BXD ta thấy hàm số có 2 điểm cực đại x = 0, x = 3.

Chọn B.

Phương pháp:

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân.

Cách giải:

Ta có $SA\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow AC$ là hình chiếu vuông góc của SA lên (ABCD).

$\Rightarrow \angle \left(SC;\left(ABCD\right)\right)=\angle \left(SC;AC\right)=\angle SCA.$

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên $AC=a\sqrt{2}=SA\Rightarrow \Delta SAC$ vuông cân tại $A\Rightarrow \angle SCA={45}^0$.

Vậy $\angle \left(SC;\left(ABCD\right)\right)={45}^0.$

Chọn C.

Phương pháp:

- Tính số phần tử của không gian mẫu.

- Gọi A là biến cố: “2 người được chọn đều là nữ”, tính số phần tử của biến cố A.

- Tính xác suất của biến cố.

Cách giải:

Chọn 2 người trong 10 bạn là $C_{10}^2\Rightarrow$ Số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)=C_{10}^2=45.$

Gọi A là biến cố: “2 người được chọn đều là nữ” $\Rightarrow n\left(A\right)=C_3^2=3.$

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{3}{45}=\frac{1}{15}.$

Chọn B.

Phương pháp:

- Đường thẳng đi qua hai điểm P, Q nhận $\overrightarrow{PQ}$ là 1 VTCP.

- Phương trình đường thẳng đi qua $P\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$ là: $d:\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.$

Cách giải:

Ta có $P\left(1;1;-1\right),Q\left(2;3;2\right)\Rightarrow \overrightarrow{PQ}=\left(1;2;3\right).$

Khi đó phương trình đường thẳng PQ có dạng $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{3}.$

Chọn C.

Phương pháp:

- Xét phương trình hoành độ, dựa vào số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm xác định chính xác f(x) - g(x)

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) đường thẳng x = a, x = b là $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx.$

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm $f\left(x\right)-g\left(x\right)=a{x}^3+\left(b-d\right)x^2+\left(c-e\right)x-\frac{3}{2}=0$ có 3 nghiệm lần lượt là -3; -1; 1 nên ta có

$a{x}^3+\left(b-d\right)x^2+\left(c-e\right)x-\frac{3}{2}=a\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)$

$\iff a{x}^3+\left(b-d\right)x^2+\left(c-e\right)x-\frac{3}{2}=a\left(x^3+3x^2-x-3\right)$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}b-d=3a\\ c-e=-a\\ -\frac{3}{2}=-3a\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b-e=\frac{3}{2}\\ c-e=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Nên $f\left(x\right)-g\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số có diện tích bằng

$S=\underset{-3}{\overset{-1}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx-\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx$

$=\underset{-3}{\overset{-1}{\int }}\left(\frac{1}{2}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)dx-\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(\frac{1}{2}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)dx$

= 2 - (-2) = 4.

Chọn C.

Phương pháp:

- Hàm số bậc nhất trên bậc nhất đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó.

- Hàm số bậc nhất trên bậc nhất đạt GTNN trên các đoạn mà hàm số xác định tại các điểm đầu mút.

Cách giải:

TXĐ: $D=ℝ\backslash \left\{2\right\}\Rightarrow$ Hàm số xác định trên [-1; 1]

Ta có $f\left(x\right)=\frac{2x-m}{x+2}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{4+m}{{\left(x+2\right)}^2}.$

TH1: Nếu $m>-4\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)>0\forall x\ne -2,$ do đó hàm số đồng biến trên [-1; 1]

$\Rightarrow \underset{x\in \left[-1;1\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(-1\right)=\frac{-2-m}{1}$

Theo bài ra ta có: $\frac{-2-m}{1}=\frac{1}{3}\iff m=-\frac{7}{3}\left(tm\right).$

$\Rightarrow a=-7,b=3$ nên $a+b=-7+3=-4.$

TH2: Nếu $m<-4\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)<0\forall x\ne -2,$ do đó hàm số nghịch biến trên [-1; 1]

$\Rightarrow \underset{x\in \left[-1;1\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(1\right)=\frac{2-m}{3}$

Theo bài ra ta có: $\frac{2-m}{3}=\frac{1}{3}\iff m=1\left(ktm\right).$

TH3: Nếu $m=-4\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=0\forall x\ne -2,$ do đó hàm số là hàm hằng [-1; 1]

$\Rightarrow \underset{x\in \left[-1;1\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(x\right)=\frac{2x+4}{x+2}=2\Rightarrow a=-4,b=1\Rightarrow a+b=-3.$

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đáp án D đúng.

Chọn D.

Phương pháp:

- Gọi M là trung điểm của AB sử dụng định lí $\left\{\begin{array}{l}\left(P\right)\perp \left(Q\right)=d\\ a\subset \left(P\right),a\perp d\end{array}\right.\Rightarrow a\perp \left(Q\right)$ chứng minh $SM\perp \left(ABCD\right)$.

- Đổi $d\left(A;\left(SCD\right)\right)$ sang $d\left(M;\left(SCD\right)\right)$.

- Đặt độ dài cạnh đáy bằng x tính $d\left(M;\left(SCD\right)\right)$ theo x, từ đó tìm x theo a

- Tính thể tích khối chóp $S_{ABCD}=\frac{1}{3}SM.S_{ABCD}.$

Cách giải:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Vì $\Delta SAB$ đều nên $SM\perp AB.$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\perp \left(ABCD\right)=AB\\ SM\subset \left(SAB\right),SM\perp AB\end{array}\right.\Rightarrow SM\perp \left(ABCD\right).$

Vì $AM//CD\Rightarrow AM//\left(SCD\right)\Rightarrow d\left(A;\left(SCD\right)\right)=d\left(M;\left(SCD\right)\right).$

Trong (SMN) kẻ $MK\perp SN$ ta có:

$\left\{\begin{array}{l}CD\perp MN\\ CD\perp SM\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(SMN\right)\Rightarrow CD\perp MK,\left\{\begin{array}{l}MK\perp SN\\ MK\perp CD\end{array}\right.\Rightarrow MK\perp \left(SCD\right)$

$\Rightarrow d\left(M;\left(SCD\right)\right)=MK=\frac{3\sqrt{7}a}{7}.$

Đặt $AB=x\Rightarrow MN=AD=x,SM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{x\sqrt{3}}{2}.$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SMN ta có:

$\frac{1}{M{K}^2}=\frac{1}{S{M}^2}+\frac{1}{M{H}^2}\Rightarrow \frac{1}{{\left(\frac{3a\sqrt{7}}{7}\right)}^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{{\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)}^2}\iff \frac{7}{9a^2}=\frac{7}{3x^2}\iff x=a\sqrt{3}.$

Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là $V=\frac{1}{3}SM.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}.{\left(a\sqrt{3}\right)}^2=\frac{3a^3}{3}.$

Chọn B.

Phương pháp:

- Tham số hóa tọa độ điểm $A\in d_1$ theo ẩn a, điểm $B\in d_1$ theo ẩn b. Tính $\overrightarrow{AB}$

- Xác định 1 VTPT $\overrightarrow{n}$ của mp(P).

- Vì d // (P) nên $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{n}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}=0.$ Tìm a theo b hoặc ngược lại.

- Giải phương trình $AB=3\sqrt{3}$ tìm a, b.

- Đưa về bài toán viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm.

Cách giải:

Vì $\left\{\begin{array}{l}A\in d_1\Rightarrow A\left(-1+a;-2+2a;a\right)\\ B\in d_2\Rightarrow B\left(2+2b;1+b;1+b\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(-a+2b+3;-2a+b+3;-a+b+1\right)$

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;1;-2\right).$

Vì d // (P) nên $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{n}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}=0$

$\iff -a+2b+3-2a+b+3+2a-2b-2=0$

$\Rightarrow b=a-4$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(a-5;-a-1;-3\right)$

Khi đó ta có: $AB=\sqrt{{\left(a-5\right)}^2+{\left(-a-1\right)}^2+9}=\sqrt{2{\left(a-2\right)}^2+27}\ge 3\sqrt{3}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=2\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}A\left(1;2;2\right)\\ \overrightarrow{AB}=\left(-3;-3;-3\right)//\left(1;1;1\right)\end{array}\right..$

Vậy phương trình đường thẳng d là $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{1}.$

Chọn A.