50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (Đề 4)

Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh vào một ghế dài từ một nhóm gồm 10 học sinh?

A. $10^{5} .$

B. $5^{10} .$

C. $C_{10}^{5} .$

D. $A_{10}^{5} .$

Xem đáp án

Số cách sắp xếp 5 học sinh vào một ghế dài từ một nhóm gồm 10 học sinh là: $A_{10}^{5} .$

Chọn D.

Câu 2:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với $u_{1} = 5$ và $u_{2} = 15.$ Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. 20.

B. 75.

C. 3.

D. 10.

Xem đáp án

Công sai của cấp số cộng là: $d = u_{2} - u_{1} = 15 - 5 = 10.$

Chọn D.

Câu 3:

Nghiệm của phương trình

5^{x + 1} = 125

A. x = 2

B. x = 3

C. x = 0

D. x = 1

Xem đáp án

Ta có: $5^{x + 1} = 125 \Leftrightarrow x + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 2.$

Vậy nghiệm của phương trình là: x = 2.

Chọn A.

Câu 4:

Thể tích của khối lập phương cạnh $2 \sqrt{3}$ bằng

A. $24 \sqrt{3} .$

B. $54 \sqrt{2} .$

C. 8

D. $18 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Thể tích khối lập phương có cạnh $2 \sqrt{3}$ là $V = {(2 \sqrt{3})}^{3} = 24 \sqrt{3}$ (đvtt).

Chọn A.

Câu 5:

Tập xác định của hàm số

y = \log_{2} (3 x - 6)

A. $(- \infty; 2) .$

B. $(2; + \infty)$

C. $(- \infty; + \infty)$

D. $(0; + \infty)$

Xem đáp án

Hàm số xác định $\Leftrightarrow 3 x - 6 > 0 \Leftrightarrow x > 2.$

Vậy $D = (2; + \infty) .$

Chọn B.

Câu 6:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2021}$ trên $ℝ .$

A. $\int f (x) d x = \frac{x^{2022}}{2022} .$

B. $\int f (x) d x = 2021 x^{2020} + C .$

C. $\int f (x) d x = \frac{x^{2022}}{2022} + C .$

D. $\int f (x) d x = \frac{x^{2021}}{2021} + C .$

Xem đáp án

Ta có: $\int f (x) d x = \int x^{2021} d x = \frac{x^{2022}}{2022} + C .$

Chọn C.

Câu 7:

Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B = 5 và chiều cao h = 6. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. 15.

B. 30.

C. 150.

D. 10.

Xem đáp án

Thể tích của khối lăng trụ đã cho là: $V = B . h = 5.6 = 30.$

Chọn B.

Câu 8:

Cho khối lăng trụ có chiều cao h = 3 và bán kính đáy r = 2. Thể tích của khối trụ đã cho bằng

A. $V = 18 π .$

B. $V = 6 π .$

C. $V = 4 π .$

D. $V = 12 π .$

Xem đáp án

Thể tích của khối trụ đã cho là: $V = π r^{2} h = π {.2}^{2} .3 = 12 π .$

Chọn D.

Câu 9:

Cho mặt cầu có bán kính R = 6. Diện tích S của mặt cầu đã cho bằng

A. $S = 144 π .$

B. $S = 38 π .$

C. $S = 36 π .$

D. $S = 288 π .$

Xem đáp án

Diện tích S của mặt cầu đã cho là: $S = 4 π R^{2} = 4 π {.6}^{2} = 144 π .$

Chọn A.

Câu 10:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-3; 1)

B. $(1; + \infty) .$

C. $(- \infty; 0) .$

D. (0; 1)

Xem đáp án

Ta có: $f' (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (- 3; - 1) \cup (1; + \infty)$ nên hàm số nghịch biến trên (-3; -1) và $(1; + \infty) .$

Chọn B.

Câu 11:

Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{3} (a^{5})$ bằng

A. $\frac{1}{5} \log_{3} a .$

B. $5 \log_{3} a .$

C. $5 + \log_{3} a .$

D. $\frac{3}{5} \log_{3} a .$

Xem đáp án

Có $\log_{3} a^{5} = 5. \log_{3} a$ nên chọn đáp án B.

Chọn B.

Câu 12:

Cho hình nón có bán kính đáy là r đường cao h và đường sinh l. Diện tích xung quanh $S_{x q}$ hình nón đó là

A. $S_{x q} = \frac{1}{3} π r^{2} h .$

B. $S_{x q} = π r l .$

C. $S_{x q} = 2 π r l .$

D. $S_{x q} = π r h .$

Xem đáp án

Có $S_{x q} = π r l$ nên chọn đáp án B.

Chọn B.

Câu 13:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A. x = 2

B. x = -3

C. x = -1

D. x = 0

Xem đáp án

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho đạt cực đại tại -3.

Chọn B.

Câu 14:

17/07/2024

A. $y = x^{3} - 3 x + 1.$

B. $y = - x^{3} + 3 x + 1.$

C. $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 1.$

D. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 1.$

Xem đáp án

Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 3) nên hàm số cần tìm là $y = - x^{3} + 3 x + 1.$

Chọn B.

Câu 15:

Đồ thị hàm số $y = \frac{3 x - 2}{2 x - 4}$ có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang tương ứng là x = a, y = b. Khi đó a.b bằng

A. 3

B. -3

C. $\frac{1}{2} .$

D. $- \frac{1}{2}$

Xem đáp án

· $\lim_{x \to 2^{-}} y = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{3 x - 2}{2 x - 4} = - \infty; \lim_{x \to 2^{+}} y = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{3 x - 2}{2 x - 4} = + \infty$

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 2 làm tiện cận đứng $\Rightarrow a = 2$

· $\lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3 x - 2}{2 x - 4} = \frac{3}{2}$

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y = \frac{3}{2}$ làm tiện cận ngang $\Rightarrow b = \frac{3}{2}$

Vậy $a . b = 2. \frac{3}{2} = 3.$

Chọn A.

Câu 16:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{3}} x \geq - 2$ là

A. $[0; + \infty)$

B. $(- \infty; 9)$

C. $(0; 9]$

D. $(9; + \infty)$

Xem đáp án

Ta có: $\log_{\frac{1}{3}} x \geq - 2 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ \log_{\frac{1}{3}} x \geq \log_{\frac{1}{3}} {(\frac{1}{3})}^{- 2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ x \leq {(\frac{1}{3})}^{- 2} \end{cases} \Leftrightarrow x \in (0; 9]$

Chọn C.

Câu 17:

Cho hàm số trùng phương y = f(x) có đồ thị hình bên. Số nghiệm của phương trình f(x) = 0,5 là

Cho hàm số trùng phương y = f(x) có đồ thị hình bên. Số nghiệm của phương trình (ảnh 1)

A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Cho hàm số trùng phương y = f(x) có đồ thị hình bên. Số nghiệm của phương trình (ảnh 2)

Vẽ đồ thị hai hàm số: y = f(x) và y = 0,5 lên cùng một hệ trục tọa độ. Ta thấy đồ thị của hai hàm số này cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Vậy phương trình f(x) = 0,5 có 2 nghiệm thực.

Chọn A.

Câu 18:

Nếu

\int_{0}^{1} f (x) d x = 4

và

\int_{0}^{1} g (x) d x = 3

thì

\int_{0}^{1} [2 f (x) + 3 g (x)] d x

bằng

A. 7

B. 13

C. 17

D. 11

Xem đáp án

Ta có: $\int_{0}^{1} [2 f (x) + 3 g (x)] d x \Leftrightarrow 2 \int_{0}^{1} f (x) d x + 3 \int_{0}^{1} g (x) d x = 2.4 + 3.3 = 17.$

Chọn C.

Câu 19:

Số phức liên hợp của số phức

z = (2 - 3 i) (4 + i)

\bar{z} = a + b i .

Khi đó a + b bằng

A. -21

B. 1

C. 21

D. -1

Xem đáp án

Ta có $z = (2 - 3 i) (4 + i) = 8 + 2 i - 12 i - 3 i^{2} = 11 - 10 i .$

$\Rightarrow \bar{z} = 11 + 10 i = a + b i .$ Do đó $a = 11, b = 10 \Rightarrow a + b = 11 + 10 = 21.$

Chọn C.

Câu 20:

Cho số phức z thỏa mãn phương trình

(2 - i) z + 1 = 3 i .

Phần thực của số phức z bằng

A. -2

B. -1

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Ta có: $(2 - i) z + 1 = 3 i \Leftrightarrow \frac{- 1 + 3 i}{2 - i} = \frac{(- 1 + 3 i) (2 + i)}{(2 - i) (2 + i)} = \frac{- 2 - i + 6 i + 3 i^{2}}{5} = \frac{- 5 + 5 i}{5} = - 1 + i$

Vậy phần thực của số phức z đã cho là -1.

Chọn B.

Câu 21:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy điểm biểu diễn số phức

z = z_{1} + z_{2}

(với

z_{1} = 5 + 3 i

và

z_{2} = 6 + 4 i

) là điểm nào dưới đây?

A. M(1; -1)

B. Q(11; 7)

C. P(-1; -1)

D. N(-11; -7)

Xem đáp án

Ta có: $z = z_{1} + z_{2} = 5 + 3 i + 6 + 4 i = 11 + 7 i .$

Vậy điểm biểu diễn của số phức $z = z_{1} + z_{2}$ là điểm Q(11; 7)

Chọn B.

Câu 22:

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(2; 3; -4) trên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là

A. (2; 3; 0)

B. (0; 3; 0)

C. (0; 3; -4)

D. (2; 0; -4)

Xem đáp án

Tọa độ hình chiếu vuông góc của M(2; 3; -4) trên mặt phẳng (Oyz) là (0; 3; -4)

Chọn C.

Câu 23:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(-2; 3; 4) và đi qua M(0; 2; 2) có phương trình là

A. $(S) : {(x + 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 3.$

B. $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 9.$

C. $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 3.$

D. $(S) : {(x + 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9.$

Xem đáp án

Ta có: $R = I M = \sqrt{{(0 + 2)}^{2} + {(2 - 4)}^{2} + {(2 - 3)}^{2}} = 3.$

Phương trình mặt cầu (S) đã cho là $(S) : {(x + 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9.$

Chọn D.

Câu 24:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 x + 3 y + 2 = 0.$ Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

A. $\vec{n} = (- 2; - 3; 1) .$

B. $\vec{n} = (- 2; - 3; 0)$

C. $\vec{n} = (2; 3; 1)$

D. $\vec{n} = (2; 3; 2)$

Xem đáp án

Mặt phẳng: $(P) : 2 x + 3 y + 2 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; 3; 0) .$

Suy ra $\vec{n} = (- 2; - 3; 0)$ cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Chọn B.

Câu 25:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(α) : 2 x + 2 y - z + m = 0$ (m là tham số). Tìm giá trị m dương để khoảng cách từ gốc tọa độ đến $(α)$ bằng 1.

A. m = -3

B. m = 3

C. m = -6

D. m = 6

Xem đáp án

Ta có $d (O; (α)) = \frac{|m|}{3} = 1 \Leftrightarrow |m| = 3 \Leftrightarrow m = \pm 3.$

Vì $m > 0 \Rightarrow m = 3.$

Chọn B.

Câu 26:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), $S A = \sqrt{2} a,$ tam giác ABC vuông tại A và $A C = a, \sin B = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = căn bậc hai của 2.a (ảnh 1)

A. $90^{0}$

B. $30^{0}$

C. $45^{0}$

D. $60^{0}$

Xem đáp án

Ta có $S A ⊥ (A B C) \Rightarrow (S B, (A B C)) = \hat{S B A}$

Chọn C.

Câu 27:

Cho hàm số f(x) xác định trên $ℝ$ và có bảng xét dấu của f'(x) như sau

Cho hàm số f(x) xác định trên R và có bảng xét dấu của f'(x) như sau (ảnh 1)

Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A. 2

B. 4

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Vì hàm số xác định trên $ℝ$ và f'(x) đổi dấu khi đi qua bốn giá trị -2, 0, 2, 4 nên hàm số đã cho có 4 điểm cực trị.

Chọn B.

Câu 28:

Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số

y = x + \sqrt{4 - x^{2}} + m

3 \sqrt{2} .

Giá trị của m là

A. $m = 2 \sqrt{2}$

B. $m = - \sqrt{2}$

C. $m = \frac{\sqrt{2}}{2}$

D. $m = \sqrt{2}$

Xem đáp án

Xét hàm số $y = f (x) = x + \sqrt{4 - x^{2}} + m .$

Tập xác định $D = [- 2; 2] .$

$f' (x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} = \frac{\sqrt{4 - x^{2}} - x}{\sqrt{4 - x^{2}}} .$

$f' (x) = 0 \Leftrightarrow \sqrt{4 - x^{2}} = x \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ 4 - x^{2} = x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ [\begin{array}{l} x = \sqrt{2} \\ x = - \sqrt{2} \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow x = \sqrt{2} \in [- 2; 2] .$

$f (- 2) = - 2 + m; f (2) = 2 + m; f (\sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} + m .$

Giá trị lớn nhất của hàm số là $3 \sqrt{2} \Leftrightarrow 2 \sqrt{2} + m = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow m = \sqrt{2} .$

Chọn D.

Câu 29:

Cho $a > 0, b > 0$ và a khác 1 thỏa mãn $\log_{a} b = \frac{b}{4}; \log_{2} a = \frac{16}{b} .$ Tính tổng a + b.

A. 32

B. 16

C. 18

D. 10

Xem đáp án

$\log_{2} a = \frac{16}{b} \Leftrightarrow a = 2^{\frac{16}{b}} .$

Suy ra $\log_{a} b = \frac{b}{4} \Leftrightarrow \log_{2^{\frac{16}{b}}} b = \frac{b}{4} \Leftrightarrow \frac{b}{16} \log_{2} b = \frac{b}{4} \Leftrightarrow \log_{2} b = 4 \Leftrightarrow b = 16.$

$\Rightarrow a = 2.$

Vậy $a + b = 18.$

Chọn C.

Câu 30:

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ và đường thẳng y = 4 là

A. 4

B. 2

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị là:

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 4 \Leftrightarrow x^{4} - 2 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} = - 1 \\ x^{2} = 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \sqrt{3} \\ x = - \sqrt{3} \end{array} .$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt nên 2 đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Chọn B.

Câu 31:

50 bài toán về mặt nón và phương pháp giải bài tập (có đáp án 2024) – Toán 12

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (\log_{2} \frac{3 x - 1}{x + 1}) \leq 0$ là

A. $(- \infty; - 1)$

B. $[3; + \infty)$

C. $(- \infty; - 1) \cup [3; + \infty)$

D. $(- 1; 3]$

Xem đáp án

$\log_{\frac{1}{2}} (\log_{2} \frac{3 x - 1}{x + 1}) \leq 0 \Leftrightarrow \log_{2} \frac{3 x - 1}{x + 1} \geq 1$

$\Leftrightarrow \frac{3 x - 1}{x + 1} \geq 2 \Leftrightarrow \frac{x - 3}{x + 1} \geq 0$

$\Rightarrow S = (- \infty; - 1) \cup [3; + \infty)$

Chọn C.

Câu 32:

11/10/2024

Cho hình nón có chiều cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích S của thiết diện đó.

A. $S = 500 c m^{2} .$

B. $S = 300 c m^{2}$

C. $S = 406 c m^{2}$

D. $S = 400 c m^{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

* Phương pháp giải:

Thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua đỉnh của hình nón là một tam giác cân.

* Lời giải:

Cho hình nón có chiều cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm. Một thiết diện đi qua đỉnh (ảnh 1)

Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón tạo thành hình tam giác như hình vẽ

Gọi tâm của đáy hình nón là O.

Gọi M là trung điểm AB.

$\Rightarrow (S O M) ⊥ (S A B) .$

Hạ $O H ⊥ S M \Rightarrow O H ⊥ (S A B) .$

Đặt $O M = x (x > 0) .$ Trong tam giác SOM ta có: $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O M^{2}} + \frac{1}{S O^{2}}$

$\Rightarrow \frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{12^{2}} - \frac{1}{20^{2}} \Rightarrow x = 15 c m .$

$\Rightarrow A B = 2 \sqrt{R^{2} - x^{2}} = 40.$

$S M = \sqrt{S O^{2} + O M^{2}} = 25.$

Vậy $S_{Δ S A B} = \frac{1}{2} A B . S M = 500 c m^{2} .$

* Một số lý thuyết về công thức tính diện tích thiết diện hình nón:

a. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua đỉnh của hình nón

Thiết diện là một tam giác cân.

Thiết diện là tam giác SAB cân tại S

Gọi H là trung điểm AB. Khi đó:

+ Góc giữa thiết diện với đáy là $\hat{S H I}$ . Giả sử $\hat{S H I} = α \Rightarrow S H = \frac{h}{\sin α}$

$I H = \frac{h}{\tan α} \Rightarrow A H = \sqrt{I A^{2} - I H^{2}} = \sqrt{r^{2} - \frac{h^{2}}{\tan^{2} α}}$

+ Diện tích thiết diện:

$S_{△ S A B} = S H . A H = \frac{h}{\sin α} . \sqrt{r^{2} - \frac{h^{2}}{\tan^{2} α}}$

b. Thiết diện đi qua trục

Diện tích thiết diện:

$S_{Δ S A B} = \frac{1}{2} S I . A B = h . r$

c. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục

Mặt phẳng (P) vuông góc và cách đỉnh một khoảng là h’ tạo ra thiết diện là một hình tròn.

Ta có: 2 tam giác SI’A’ và SIA đồng dạng nên:

$\frac{S I'}{S I} = \frac{I' A'}{I A} \Leftrightarrow \frac{h'}{h} = \frac{r'}{r} \Rightarrow r' = \frac{r}{h} . h'$

Diện tích thiết diện $S = π . r'^{2}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Chuyên đề Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu mới nhất - Toán 12

50 Bài tập Khái niệm về mặt tròn xoay Toán 12 mới nhất

Câu 33:

Khi đổi biến

x = \sqrt{3} \tan t,

tích phân

I = \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{2} + 3}

trở thành tích phân nào?

A. $I = \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{3}}{3} d t$

B. $I = \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{t} d t$

C. $I = \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\sqrt{3}}{3} d t$

D. $I = \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sqrt{3} t d t$

Xem đáp án

Ta có: $x = \sqrt{3} \tan t \Rightarrow d x = \sqrt{3} (\tan^{2} t + 1) d t .$

Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow t = 0$

$x = 1 \Rightarrow t = \frac{π}{6}$

Khi đó: $I = \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\sqrt{3}}{3} d t$

Chọn C.

Câu 34:

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $(H) : y = \frac{x - 1}{x + 1}$ và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng

A. S = ln2 + 1

B. S = 2ln2 +1

C. S = ln2 - 1

D. S = 2ln2 - 1

Xem đáp án

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại (1; 0), cắt trục Oy tại (0; -1). Diện tích hình phẳng cần tìm là

$S = |\int_{0}^{1} \frac{x - 1}{x + 1} d x| = |\int_{0}^{1} (1 - \frac{2}{x + 1}) d x| = |1 - 2 \ln |x + 1| |_{0}^{1}| = 2 \ln 2 - 1.$

Chọn D.

Câu 35:

Điểm biểu diễn của các số phức z = 7 + bi với $b \in ℝ$ nằm trên đường thẳng có phương trình là

A. x = 7

B. y = 7

C. x = -7

D. y = -7

Xem đáp án

Điểm biểu diễn số phức z = 7 + bi với $b \in ℝ$ kí hiệu là $M (7; b), b \in ℝ$

Khi đó $M (7; b), b \in ℝ$ nằm trên đường thẳng x = 7 với $b \in ℝ .$

Chọn A.

Câu 36:

Cho số phức z thỏa mãn |z| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức

w = 3 - 2 i + (2 - i) z

là một đường tròn. Bán kính R của đường tròn đó bằng

A. 2

B. 5

C. $2 \sqrt{5}$

D. $\sqrt{5}$

Xem đáp án

Cách 1: Gọi số phức w cần tìm có dạng: $w = a + b i, (a^{2} + b^{2} \neq 0)$

Khi đó ta có $a + b i = 3 - 2 i + (2 - i) z$

$\Leftrightarrow z = \frac{a + b i - 3 + 2 i}{2 - i} = \frac{[(a - 3) + (2 + b) i] (2 + i)}{2 - i}$

$\Leftrightarrow z = \frac{2 a + a i - 3 i - 6 + (4 + 2 b + 2 i + b i) i}{5}$

$\Leftrightarrow z = \frac{2 a - b - 8}{5} + (\frac{a + 2 b + 1}{5}) i$

Mà |z| = 2, nên ${(\frac{2 a - b - 8}{5})}^{2} + {(\frac{a + 2 b + 1}{5})}^{2} = 4$

$\Leftrightarrow {(a - 3)}^{2} + {(b + 2)}^{2} = 20$

$\Rightarrow R = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} .$

Cách 2: Ta có: $z = \frac{w - (3 - 2 i)}{2 - i} \Rightarrow |z| = \frac{|w - (3 - 2 i)|}{\sqrt{5}} \Rightarrow |w - (3 - 2 i)| = 2 \sqrt{5}$

Chọn C.

Câu 37:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm A(0; -2; 3) và song song với mặt phẳng $(α) : - 2 x + y - 3 z + 2 = 0$ có phương trình là

A. $(P) : 2 x - y + 3 z - 9 = 0$

B. $(P) : x - y - 3 z + 11 = 0$

C. $(P) : 2 x - y + 3 z - 11 = 0$

D. $(P) : 2 x - y + 3 z + 11 = 0$

Xem đáp án

Gọi (P) là mặt phẳng song song với $(α)$

Nên (P) có dạng: $- 2 x + y - 3 z + m = 0 (m \neq 2)$

Vì $A (0; - 2; 3) \in (P) \Rightarrow m = 11 \Rightarrow (P) : 2 x - y + 3 z + 11 = 0.$

Chọn D.

Câu 38:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(-3; 1; 4) và gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên các trục Ox, Oy, Oz. Phương trình nào dưới đây là phương trình cuả mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC)?

A. $4 x - 12 y + 3 z - 12 = 0$

B. $4 x + 12 y - 3 z - 12 = 0$

C. $4 x - 12 y - 3 z + 12 = 0$

D. $4 x - 12 y - 3 z - 12 = 0$

Xem đáp án

Vì A, B, C lần lượt là hình chiếu của M(-3; 1; 4) các trục Ox, Oy, Oz nên $A (- 3; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 4)$

Phương trình mặt phẳng $(A B C) : \frac{x}{- 3} + y + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow 4 x - 12 y - 3 z + 12 = 0.$

Vậy mặt phẳng song song với mặt phẳng $(A B C) : 4 x - 12 y - 3 z + 12 = 0.$

Chọn D.

Câu 39:

Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1; 17]. Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng

A. $\frac{3276}{4913}$

B. $\frac{1728}{4913}$

C. $\frac{23}{68}$

D. $\frac{1637}{4913}$

Xem đáp án

Ta có: $n (Ω) = 17^{3} = 4913.$

Trong các số tự nhiên thuộc [1; 17] có 5 số chia hết cho 3 là $\{3; 6; 9; 12; 15\},$ có 6 số chia 3 dư 1 là $\{1; 4; 7; 19; 13; 16\}$ có 6 số chia 3 dư 2 là $\{2; 5; 8; 11; 14; 17\} .$

Để 3 số tổng viết ra chia hết cho 3 xảy ra các trường hợp sau:

TH1: Cả 3 số viết ra đều chia hết cho 3 $\Rightarrow 5^{3}$ cách viết.

TH2: Cả 3 số viết ra đều choc ho 3 dư 1 $\Rightarrow 6^{3}$ cách viết.

TH3: Cả 3 số viết ra đều chia cho 3 dư 2 $\Rightarrow 6^{3}$ cách viết.

TH4: Trong 3 số viết ra có 1 số chia hết cho 3, có 1 số chia cho 3 dư 1, có 1 số chia cho 3 dư 2 nên có $5.6.6.3!$ cách viết.

Vậy xác suất cần tìm là $P = \frac{5^{3} + 6^{3} + 6^{3} + 5.6.6.3!}{4913} = \frac{1637}{4913}$ .

Chọn D.

Câu 40:

Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA = a và OB = OC = 2a. Gọi P là trung điểm của BC (minh họa như hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng OP và AB bằng

Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA = a (ảnh 1)

A. $\frac{\sqrt{2} a}{2} .$

B. $\frac{\sqrt{6} a}{3} .$

C. a.

D. $\frac{2 \sqrt{5} a}{5} .$

Xem đáp án

Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA = a (ảnh 2)

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, khi đó $O (0; 0; 0), B (2 a; 0; 0), C (0; 2 a; 0), A (0; 0; a) .$

Vì P là trung điểm của BC nên $P (a; a; 0) .$

Ta có: $\vec{O P} = (a; a; 0), \vec{A B} = (2 a; 0; - a), \vec{O A} = (0; 0; a) .$

Suy ra $[\vec{O P}, \vec{A B}] = (- a^{2}; a^{2}; - 2 a^{2}) \Rightarrow d (O P, A B) = \frac{|[\vec{O P}, \vec{A B}] . \vec{O A}|}{|[\vec{O P}, \vec{A B}]|} = \frac{|- 2 a^{3}|}{\sqrt{a^{4} + a^{4} + 4 a^{4}}} = \frac{\sqrt{6} a}{3} .$

Chọn B.

Câu 41:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - (m - 1) x^{2} - 4 m x$ đồng biến trên đoạn [1; 4].

A. $\frac{1}{2} < m < 2$

B. $m \in ℝ$

C. $m \leq 2$

D. $m \leq \frac{1}{2} .$

Xem đáp án

Ta có: $y' = x^{2} - 2 (m - 1) x - 4 m .$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y' \geq 0, \forall x \in [1; 4] \Leftrightarrow x^{2} - 2 (m - 1) x - 4 m \geq 0, \forall x \in [1; 4]$

$\Leftrightarrow 2 m (x + 2) \leq x^{2} + 2 x, \forall x \in [1; 4] \Leftrightarrow 2 m (x + 2) \leq x (x + 2), \forall x \in [1; 4] \Leftrightarrow m \leq \frac{x}{2}, \forall x \in [1; 4]$

$\Leftrightarrow m \leq \min_{[1; 4]} (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2} .$ Vậy $m \leq \frac{1}{2} .$

Chọn D.

Câu 42:

Ông An muốn xây một bể nước dạng hình hộp chữ nhật có nắp với dung tích 3 mét khối. Đáy bể là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 500000 đồng cho mỗi mét vuông. Hỏi chi phí thấp nhất ông An cần bỏ ra để xây bể nước là bao nhiêu?

A. 6490123 đồng

B. 7500000 đồng

C. 6500000 đồng

D. 5151214 đồng.

Xem đáp án

Ông An muốn xây một bể nước dạng hình hộp chữ nhật có nắp với dung tích (ảnh 1)

Gọi x (x > 0) là chiều rộng của đáy bể, suy ra chiều dài của đáy bể là 2x và gọi h là chiều cao của bể.

Diện tích xây dựng là diện tích toàn phần của bể $S = 2.2 x h + 2. x h + 2.2 x . x = 4 x^{2} + 6 x h (1)$

Ta có: $V = 3 = 2 x . x . h \Rightarrow h = \frac{3}{2 x^{2}} (2) .$ Thay (2) vào (1), ta được hàm $S (x) = 4 x^{2} + \frac{9}{x},$ với x > 0

Ta có $S (x) = 4 x^{2} + \frac{9}{x} = 4 x^{2} + \frac{9}{2 x} + \frac{9}{2 x} \geq 3 \sqrt[3]{4 x^{2} . \frac{9}{2 x} . \frac{9}{2 x}} = 3 \sqrt[3]{81}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $4 x^{2} = \frac{9}{2 x} \Leftrightarrow x = \frac{\sqrt[3]{9}}{2} .$

Khi đó chi phí thấp nhất là $3 \sqrt[3]{81} \times 500000 \approx 6490123$ (đồng).

Chọn A.

Câu 43:

Cho hàm số $f (x) = \frac{a x - 4}{b x + c} (a, b, c \in ℝ)$ có bảng biến thiên như sau

Cho hàm số f(x) = ax - 4/bx + c (a, b, c thuộc R) có bảng biến thiên như sau (ảnh 1)

Trong các số a, b, c có bao nhiêu số dương?

A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Ta có: $f (0) = - \frac{4}{c} > 0 \Rightarrow c < 0.$

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: $x = - \frac{c}{b} > 0 \Rightarrow b > 0.$

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: $y = \frac{a}{b} > 0 \Rightarrow a > 0.$

Vậy trong các số a, b, c có 2 số dương.

Chọn C.

Câu 44:

Một nhà máy cần sản xuất các hộp hình trụ kín cả hai đầu có thể tích V cho trước. Mối quan hệ giữa bán kính đáy R và chiều cao h của hình trụ để diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất là

A. h = R

B. h = 3R

C. h = 2R

D. R = 2h

Xem đáp án

Đặt R = x, điều kiện x > 0

$V = π x^{2} h \Rightarrow h = \frac{V}{π x^{2}} \Rightarrow \frac{h}{R} = \frac{V}{π x^{3}}$ .

$S_{T P} = 2 π R (h + R) = 2 π x (\frac{V}{π x^{2}} + x) = \frac{2 V}{x} + 2 π x^{2} .$

Xét hàm số: $f (x) = \frac{2 V}{x} + 2 π x^{2}$ với x > 0

Ta có: $f' (x) = - \frac{2 V}{x^{2}} + 4 π x = \frac{4 π x^{3} - 2 V}{x^{2}} .$

Khi đó: $f' (x) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{\frac{V}{2 π}}$

Ta có BBT:

Một nhà máy cần sản xuất các hộp hình trụ kín cả hai đầu có thể tích V cho trước (ảnh 1)

Từ BBT trên ta thấy $S_{T P}$ nhỏ nhất khi $x = \sqrt[3]{\frac{V}{2 π}}$

Khi đó: $\frac{H}{R} = \frac{V}{π \frac{V}{2 π}} = 2 \Leftrightarrow h = 2 R .$

Chọn C.

Câu 45:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên

ℝ

thỏa mãn

f (x) + f (\frac{π}{2} - x) = \sin x . \cos x,

với mọi

x \in ℝ

và f(0) = 0. Giá trị của tích phân

\int_{0}^{\frac{π}{2}} x . f' (x) d x

bằng

A. $\frac{1}{4} .$

B. $\frac{π}{4} .$

C. $- \frac{1}{4} .$

D. $- \frac{π}{4} .$

Xem đáp án

Thay $x = \frac{π}{2}$ vào đẳng thức $f (x) + f (\frac{π}{2} - x) = \sin x . \cos x \Rightarrow f (\frac{π}{2}) + f (0) = 0 \Leftrightarrow f (\frac{π}{2}) = 0.$

Xét $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} x . f' (x) d x$

Đặt $\{\begin{cases} u = x \\ d v = f' (x) d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = f (x) \end{cases}$

$\Rightarrow I = x . f (x) |_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = - \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x (1)$

Lại có: $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\frac{π}{2} - x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x . \cos x d x$

$\Leftrightarrow 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin 2 x d x \Leftrightarrow 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = \frac{1}{4} .$

Vậy $I = - \frac{1}{4} .$

Chọn C.

Câu 46:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số $y = \frac{\tan x - 2}{\tan x - m}$ đồng biến trên khoảng $(- \frac{π}{4}; 0) ?$

A. Có vô số

B. 0

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Đặt t = tanx.

Do $x \in (- \frac{π}{4}; 0) \Rightarrow t \in (- 1; 0)$ và hàm số t = tanx đồng biến trên $(- \frac{π}{4}; 0) .$

Khi đó: $y = \frac{t - 2}{t - m}$ với $t \in (- 1; 0)$

$y' = \frac{- m + 2}{{(t - m)}^{2}}$

Để hàm số đồng biến trên khoảng $(- \frac{π}{4}; 0) \Rightarrow$ Hàm số $y = \frac{t - 2}{t - m}$ đồng biến trên (-1; 0)

$\Leftrightarrow y' > 0 \forall t \in (- 1; 0) \Leftrightarrow \{\begin{cases} - m + 2 > 0 \\ m \notin (- 1; 0) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 2 \\ [\begin{array}{l} m \geq 0 \\ m \leq - 1 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 0 \leq m < 2 \\ m \leq - 1 \end{array} .$

Do m là số nguyên dương $\Rightarrow m = 1$

Chọn D.

Câu 47:

Cho 2 số thực dương x, y thỏa mãn

\log_{3} {[(x + 1) (y + 1)]}^{y + 1} = 9 - (x - 1) (y + 1) .

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + 2y là

A. $P_{\min} = \frac{11}{2} .$

B. $P_{\min} = \frac{27}{5} .$

C. $P_{\min} = - 5 + 6 \sqrt{3} .$

D. $P_{\min} = - 3 + 6 \sqrt{2} .$

Xem đáp án

Với x, y > 0 ta có:

$\log_{3} {[(x + 1) (y + 1)]}^{y + 1} = 9 - (x - 1) (y + 1) \Leftrightarrow (y + 1) \log_{3} [(x + 1) (y + 1)] = 9 - (x - 1) (y + 1)$

$\Leftrightarrow \log_{3} (x + 1) + \log_{3} (y + 1) = \frac{9}{y + 1} - x + 1 \Leftrightarrow \log_{3} (x + 1) + (x + 1) = 2 - \log_{3} (y + 1) + \frac{9}{y + 1}$

$\Leftrightarrow \log_{3} (x + 1) + (x + 1) = \log_{3} \frac{9}{y + 1} + \frac{9}{y + 1} (1) .$

Xét hàm số $f (t) = \log_{3} t + t$ với t > 0

Ta có: $f' (t) = \frac{1}{t . \ln 3} + 1 > 0, \forall t > 0.$

$\Rightarrow$ Hàm số f(t) đồng biến trên khoảng $(0; + \infty) .$

Khi đó: $(1) \Leftrightarrow f (x + 1) = f (\frac{9}{y + 1}) \Leftrightarrow x + 1 = \frac{9}{y + 1} .$

Từ đó suy ra $P = x + 2 y = x + 1 + 2 y - 1 = \frac{9}{y + 1} + 2 (y + 1) - 3 \geq 2 \sqrt{\frac{9}{y + 1} .2 (y + 1)} - 3 = - 3 + 6 \sqrt{2} .$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{9}{y + 1} = 2 (y + 1) \Leftrightarrow {(y + 1)}^{2} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow y = \frac{3 \sqrt{2}}{2} - 1 \Rightarrow x = \frac{- 25 + 27 \sqrt{2}}{7}$ (thỏa mãn điều kiện x, y > 0).

Vậy $P_{\min} = - 3 + 6 \sqrt{2}$ khi $x = \frac{- 25 + 27 \sqrt{2}}{7}; y = \frac{3 \sqrt{2}}{2} - 1.$

Chọn D.

Câu 48:

với a, b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [-1; 3]. Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a + 2b.

Xét hàm số

f (x) = |x^{2} + a x + b|,

A. 5

B. -5

C. -4

D. 4

Xem đáp án

Theo bài ra, ta có: $\{\begin{cases} M \geq f (- 1) \\ M \geq f (3) \\ M \geq f (1) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} M \geq |- a + b + 1| \\ M \geq |3 a + b + 9| \\ 2 M \geq 2 |a + b + 1| = |- 2 a - 2 b - 2| \end{cases}$

Suy ra: $4 M \geq |- a + b + 1| + |3 a + b + 9| + |- 2 a - 2 b - 2| \geq |- a + b + 1 + 3 a + b + 9 - 2 a - 2 b - 2|$

$\Leftrightarrow 4 M \geq 8 \Leftrightarrow M \geq 2$ .

Điều kiện cần để M = 2 là $|- a + b + 1| = |3 a + b + 9| = |- a - b - 1| = 2$ và $- a + b + 1, 3 a + b + 9, - a - b - 1$ cùng dấu

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} - a + b + 1 = 3 a + b + 9 = - a - b - 1 = 2 \\ - a + b + 1 = 3 a + b + 9 = - a - b - 1 = - 2 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 2 \\ b = - 1 \end{cases} .$

Ngược lại, với $\{\begin{cases} a = - 2 \\ b = - 1 \end{cases}$ thì $f (x) = |x^{2} - 2 x - 1| .$

Xét hàm số $g (x) = x^{2} - 2 x - 1$ trên đoạn [-1; 3]

Ta có: $g' (x) = 2 x - 2; g' (x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in [- 1; 3] .$

Do M là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [-1; 3] nên $M = \max \{|g (- 1)|; |g (3)|; |g (1)|\} = 2.$

Từ đó suy ra với $\{\begin{cases} a = - 2 \\ b = - 1 \end{cases}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy $a + 2 b = - 4.$

Chọn C.

Câu 49:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh 2a, gọi M là trung điểm của BB' và P thuộc cạnh DD' sao cho

D P = \frac{1}{4} D D' .

Mặt phẳng (AMP) cắt CC' tại N. Thể tích khối đa diện AMNPBCD bằng

A. $V = 3 a^{3} .$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{11}}{3}$

C. $V = 2 a^{3} .$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{9}}{4}$

Xem đáp án

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh 2a, gọi M là trung điểm của BB' (ảnh 1)

Gọi $b = \frac{B M}{B B'}; c = \frac{C N}{C C'}; d = \frac{D P}{D D'}$ ta có $c = b + d = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} .$

$V_{A M N P B C D} = \frac{b + c + d}{4} . V_{A B C D . A' B' C' D'} = \frac{3}{8} . {(2 a)}^{3} = 3 a^{3} .$

Chọn A.

Câu 50: