Phương pháp:

Số nghiệm của phương trình f(x) = m là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m. 

Cách giải:

Ta có: $2f\left(x\right)-5=0\iff f\left(x\right)=\frac{5}{2}$ nên số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng $y=\frac{5}{2}.$

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng $y=\frac{5}{2}.$ cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 2 điểm phân biệt.

Vậy phương trình $2f\left(x\right)-5=0$ có 2 nghiệp phân biệt.

Chọn D.

Phương pháp:

Dựa vào đồ thị xác định các khoảng mà đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải.

Cách giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên (0; 2)

Chọn B.

*Phương pháp giải:

Thể tích của khối trụ có bán kính đáy r chiều cao h bằng: $V=\pi r^{2}h.$

*Lý thuyết nắm thêm về khối trụ, khối nón, mặt cầu:

1_MẶT NÓN:

Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay.

a) Cho tam giác OIM vuông tại I. Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón.

Hình tròn tâm I sinh bởi các điểm thuộc cạnh IM khi quay quanh trục OI được gọi là mặt đáy của hình nón, điểm O được gọi là đỉnh của hình nón.

Độ dài đoạn OI gọi là chiều cao của hình nón, đó cũng chính là khoảng cách từ O đến mặt phẳng đáy. Độ dài đoạn OM gọi là độ dài đường sinh của hình nón.

Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh OM khi quay quanh OI được gọi là mặt xung quanh của hình nón đó.

Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay.

a) Một hình chóp được gọi là nội tiếp một hình nón nếu đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đường tròn đáy của hình nón và đỉnh của hình chóp là đỉnh của hình nón. Khi đó, ta còn nói hình nón ngoại tiếp hình chóp.

a_Định nghĩa: Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón.

- Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay bằng một nửa tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh.

$S_{xq}=\pi rl$ (r là bán kính đường tròn đáy, l là độ dài đường sinh).

- Người ta gọi tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy là diện tích toàn phần của hình nón.

- Chú ý: Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay cũng là diện tích xung quanh , diện tích toàn phần của khối nón được giới hạn bởi hình nón đó.

Thể tích khối nón tròn xoay.

a) Định nghĩa.

Thể tích của khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

b) Công thức tính thể tích khối nón tròn xoay.

Gọi V là thể tích của khối nón tròn xoay có diện tích đáy B và chiều cao h, ta có công thức: $\text{}V=\frac{1}{3}B.h$

Như vậy, nếu bán kính đáy bằng r thì $B=\pi r^2$, khi đó: $\text{}V=\frac{1}{3}\pi r^2.h$.

2_MẶT TRỤ

a) Định nghĩa

Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng ∆ và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh ∆ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay.

Người ta thường gọi tắt mặt trụ tròn xoay này là mặt trụ. Đường thẳng ∆ gọi là trục, đường thẳng l là đường sinh và r là bán kính của mặt trụ đó.

Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay.

a) Một hình lăng trụ gọi là nội tiếp một hình trụ nếu hai đáy của hình lăng trụ nội tiếp hai đường tròn đáy của hình trụ. Khi đó, ta còn nói hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ.

- Định nghĩa: Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

b) Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ.

- Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay bằng tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh:

$S_{xq}=2\pi rl$ (r là bán kính của hình trụ, l là độ dài đường sinh của hình trụ).

- Chú ý: Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay cũng là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đó.

Thể tích khối trụ tròn xoay.

a) Định nghĩa: Thể tích của khối trụ tròn xoay là giới hạn của thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp khối trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

b) Công thức tính thể tích khối trụ tròn xoay.

Gọi V là thể tích của khối trụ tròn xoay có diện tích đáy B và chiều cao h, ta có công thức: V = B.h.

Như vậy, nếu bán kính đáy bằng r thì $B=\pi r^2$, khi đó: $V=\pi r^{2}h$

 3_MẶT CẦU

- Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là mặt cầu tâm O, bán kính r.

Ta kí hiệu mặt cầu tâm O, bán kính r là S(O; r) hay viết tắt là (S). Như vậy ta có mặt cầu S(O; r) = {M| OM = r}.

- Nếu hai điểm C; D nằm trên mặt cầu S(O; r) thì đoạn thẳng CD được gọi là dây cung của mặt cầu đó.

- Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là một đường kính của mặt cầu. Khi đó, độ dài đường kính bằng 2r.

Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu. Khối cầu.

Cho mặt cầu tâm O bán kính r và A là một điểm bất kì trong không gian.

- Nếu OA = r thì ta nói điểm A nằm trên mặt cầu S(O; r).

- Nếu OA < r thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu S(O; r).

- Nếu OA > r thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r).

Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O; r) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O, bán kính r.

Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

- Mặt cầu bán kính r có diện tích là: $S=4\pi r^2$.

- Khối cầu bán kính r có thể tích là: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$.

- Chú ý:

a) Diện tích S của mặt cầu bán kính r bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó.

b) Thể tích V của khối cầu bán kính r bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó.

Lý thuyết Ôn tập chương 2: Mặt trụ, mặt nón, mặt cầu (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12 

Các dạng bài tập Mặt nón, Mặt trụ, Mặt cầu

Phương pháp:

- Giải phương trình y' = 0 tìm các nghiệm $x_i\in \left[-3;3\right].$

- Tính $y\left(-3\right),y\left(3\right),y\left(x_i.\right)$ 

- Kết luận: $\underset{\left[-3;3\right]}{\min }f\left(x\right)=\min \left\{y\left(-3\right);y\left(3\right);y\left(x_i\right)\right\}.$

Cách giải:

Ta có $f\left(x\right)=x^3-3x+2\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=3x^2-3.$

$f\text{'}\left(x\right)=0\iff x^2-1=0\iff x=\pm 1\in \left[-3;3\right].$

Ta có $f\left(-3\right)=-16,f\left(3\right)=20,f\left(-1\right)=4,f\left(1\right)=0.$

Vậy $\underset{\left[-3;3\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(-3\right)=-16.$

Chọn D.

Phương pháp:

Đường thẳng $d:\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$ đi qua điểm $A\left(x_0;y_0;z_0\right).$

Cách giải:

Đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-5}{4}$ đi qua điểm N(1; -2; 5).

Chọn B.

Phương pháp:

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

- Sử dụng định lí Pytago và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Cách giải:

Ta có $SA\perp \left(ABC\right)\Rightarrow AC$ là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC)

$\Rightarrow \angle \left(SC;\left(ABC\right)\right)=\angle \left(SC;AC\right)=\angle SCA.$

Ta có: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt{3}.$

Xét tam giác SAC có $\tan \angle SCA=\frac{SA}{AC}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \angle SCA={30}^0.$

Vậy $\angle \left(SC;\left(ABC\right)\right)={30}^0.$

Chọn B.

Phương pháp:

Xác định điểm cực trị là điểm mà qua đó đạo hàm đổi dấu.

Cách giải:

Dựa vào bảng xét dấu f'(x) ta thấy hàm số f(x) có 2 điểm cực trị x = -3, x = 1.

Chọn C.

Phương pháp:

Thể tích của khối nón tròn xoay có bán kính đáy rvà chiều cao h là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.$

Cách giải:

Thể tích của khối nón tròn xoay có đường kính đáy bằng 6 $\Rightarrow$ bán kính đáy bằng 3 và chiều cao bằng 5 là:

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi {.3}^2.5=15\pi .$

Chọn B.

Phương pháp:

- Dựa vào hình dáng đồ thị suy ra hàm bậc bốn trùng phương hay hàm đa thức bậc ba.

- Dựa vào chiều của nhánh cuối cùng của đồ thị hàm số.

Cách giải:

Đồ thị đã cho là đồ thị hàm đa thức bậc bốn trùng phương có hệ số a < 0 nên chọn đáp án A.

Chọn A.

Phương pháp:

Mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2$ có tâm I(a; b; c)

Cách giải:

Mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=4$ có tâm I(1; -2;-3)

Chọn B.

Phương pháp:

Sử dụng công thức $u_n=u_m+\left(n-m\right)d$ với d là công sai của cấp số cộng.

Cách giải:

Ta có $d=u_5-u_4=9-12=-3.$

Chọn D.

Phương pháp:

- Đưa về cùng cơ số, sử dụng công thức ${\log }_{a^m}{b}^n=\frac{n}{m}{\log }_{a}b.$

- Sử dụng công thức ${\log }_a\left(xy\right)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y\left(0<a\ne 1,x,y>0\right)$.

Cách giải:

${\log }_{2}a={\log }_{16}\left(ab\right)$

$\iff {\log }_{2}a=\frac{1}{4}{\log }_2\left(ab\right)$

$\iff 4{\log }_{2}a={\log }_{2}a+{\log }_{2}b$

$\iff 3{\log }_{2}a={\log }_{2}b$

$\iff {\log }_2{a}^3={\log }_{2}b$

$\iff a^3=b$

Chọn D.

Phương pháp:

Sử dụng công thức $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ với F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).

Cách giải:

Ta có: $\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\text{'}\left(x\right)dx=f\left(3\right)-f\left(2\right)=5-2=3.$

Chọn A.

Phương pháp:

Giải phương trình mũ: $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)>g\left(x\right)$ với a > 1

Cách giải:

$3^{x^2+1}>3^{2x+1}$

$\iff x^2+1>2x+1$

$\iff x^2-2x>0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x>2\\ x<0\end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\infty ;0\right)\cup \left(2;+\infty \right)$

Chọn C.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính nguyên hàm $\int \cos kxdx=\frac{1}{k}\sin kx+C.$

Cách giải:

$\int f\left(x\right)dx=\int \cos 2xdx=\frac{1}{2}\sin 2x+C.$

Chọn C.

Phương pháp:

- Đưa biến vào vi phân.

- Sử dụng công thức $\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{du}{u}=\ln \left|u\right|+C.$

Cách giải:

Ta có $\underset{}{\overset{}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{2}{4x-3}dx=\frac{1}{2}\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{d\left(4x-3\right)}{4x-3}=\frac{1}{2}\ln \left|4x-3\right|+C.$

Vì $x\in \left(1;+\infty \right)\Rightarrow 4x-3>0.$

Vậy $\underset{}{\overset{}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{1}{2}\ln \left(4x-3\right)+C.$

Chọn B.

Phương pháp:

Diện tích của mặt cầu bán kính R bằng $4\pi R^2.$

Cách giải:

Diện tích của mặt cầu bán kính R bằng $4\pi R^2.$

Chọn C.

Phương pháp:

Mặt phẳng $\left(A\right):Ax+By+Cz+D=0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$.

Cách giải:

Mặt phẳng $\left(P\right):2x+y-z+3=0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{n}=\left(2;1;-1\right)$.

Chọn C.

Phương pháp:

Sử dụng tổ hợp.

Cách giải:

Số cách chọn ra 1 quyển sách trên giá là $C_{18}^1=18$ cách.

Chọn D.

Phương pháp:

Sử dụng: $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\Rightarrow \overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right).$

Cách giải:

Tọa độ vectơ $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{k}$ là (-1; 2; -3).

Chọn A.

Phương pháp:

Giải phương trình logarit: ${\log }_{a}x=b\iff x=a^b.$

Cách giải:

${\log }_2\left(3x-1\right)=3\iff 3x-1=8\iff x=3.$

Chọn C.

Phương pháp:

Dựa vào BBT xác định điểm cực đại của hàm số là điểm mà tại đó hàm số liên tục và qua đó đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm.

Cách giải:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = -1.

Chọn D.

Phương pháp:

Sử dụng công thức lãi kép: số tiền nhận được sau n kì hạn gửi tiết kiệm là $A_n=A{\left(1+r\right)}^n$ trong đó A là số tiền gốc, r là lãi suất 1 kì hạn, n là số kì hạn gửi.

Cách giải:

Sau thời gian 10 năm nếu không rút lãi lần nào thì số tiền mà ông A nhận được gồm cả gốc lẫn lãi tính theo công thức: $100000000.{\left(1+7\%\right)}^{10}={10}^8{\left(1+0,07\right)}^{10}$ (đồng).

Chọn B.

Phương pháp:

$z=a+bi\Rightarrow \left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}.$

Cách giải:

Môđun của số phức 2 + i là $\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$.

Chọn A.

Phương pháp:

Sử dụng công thức ${\log }_a{x}^m=m{\log }_{a}x\left(0<a\ne 1,x>0\right).$

Cách giải:

${\log }_2{a}^3=3{\log }_{2}a.$

Chọn C.

Phương pháp:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right),y=g\left(x\right),x=a,x=b$ là $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx.$

Cách giải:

Ta có:

$S=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$

$=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$

Chọn C.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa đường tiệm cận của đồ thị hàm số: Cho hàm số y = f(x):

- Đường thẳng $y=y_0$ là TCN của đồ thị hàm số y = f(x) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$

- Đường thẳng $x=x_0$ là TCĐ của đồ thị hàm số y = f(x) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ hoặc $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ hoặc $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ hoặc $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

Cách giải:

Ta có:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2x^2-3x+1}{x^2-1}=2\Rightarrow y=2$ là TCN của đồ thị hàm số.

$y=\frac{2x^2-3x+1}{x^2-1}=\frac{\left(2x-1\right)\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{2x-1}{x+1}$ nên x = -1 là TCĐ của đồ thị hàm số.

Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2-3x+1}{x^2-1}$ là 2.

Chọn D.

Phương pháp:

- Dựa vào nhánh cuối cùng suy ra dấu của hệ số a

- Dựa vào số điểm cực trị suy ra dấu của hệ số b

Cách giải:

Nhánh cuối cùng của đồ thị đi lên $\Rightarrow a>0.$

Hàm số có 3 điểm cực trị $\Rightarrow ab<0.$ Mà $a>0\Rightarrow b<0.$

Vậy $a>0,b<0.$

Chọn A.

Phương pháp:

- Đường thẳng $d\perp \left(P\right)\Rightarrow \overrightarrow{u_d}=\overrightarrow{n_P}.$

- Phương trình đường thẳng d đi qua $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$ là: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}\right..$

Cách giải:

Mặt phẳng $\left(\alpha \right):x+3y-z+2=0$ có 1 VTPT là: $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\left(1;3;-1\right).$

Vì đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ nên đường thẳng d có 1 VTCP $\overrightarrow{u_d}=-\overrightarrow{n_{\alpha }}=\left(-1;-3;1\right).$

Vậy phương trình đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=-3-3t\\ z=1+t\end{array}\right..$

Chọn A.

Phương pháp:

- Thực hiện phép khai triển hàng đẳng thức tìm số phức z

- Cho số phức $z=x+yi\left(x,y\in ℝ\right)\Rightarrow M\left(x;y\right)$ là điểm biểu diễn số phức z

Cách giải:

Ta có: $z={\left(2+i\right)}^2=4+4i+i^2=3+4i.$

Vậy điểm biểu diễn số phức $z={\left(2+i\right)}^2$ là điểm P(3; 4).

Chọn A.

Phương pháp:

- Chứng minh $\Delta SBD$ đều, gọi $O=AC\cap BD,$ tính SO.

- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOA tính SA

- Tính $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}$.

Cách giải:

Dễ thấy $\Delta SAB=\Delta SAD$ (2 cạnh góc vuông) $\Rightarrow SB=SD\Rightarrow \Delta SBD$ cân tại S

Lại có $\angle SBD={60}^0\left(gt\right)\Rightarrow \Delta SBD$ đều.

Gọi $O=AC\cap BD.$ Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên $AC=BD=a\sqrt{2}\Rightarrow OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ và $\Delta SBD$ đều cạnh $a\sqrt{2}$ nên $SO=\frac{a\sqrt{2}.\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.$

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $SOA:SA=\sqrt{S{O}^2-O{A}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=a.$

Vậy $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.a.a^2=\frac{a^3}{3}.$

Chọn C.

Phương pháp:

- Xác định số phức $\overline{z_2}.$

- Thực hiện phép cộng số phức, tính $2z_1+\overline{z_2}$ và suy ra phần ảo của nó.

Cách giải:

$2z_1+\overline{z_2}=2\left(1+i\right)+\left(3+2i\right)=5+4i$ có phần ảo bằng 4.

Chọn D.

Phương pháp:

- Tính bán kính mặt cầu $R=IA=\sqrt{{\left(x_A-x_I\right)}^2+{\left(y_A-y_I\right)}^2+{\left(z_A-z_I\right)}^2}$

- Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R có phương trình là ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2.$

Cách giải:

Bán kính mặt cầu là $R=IA=\sqrt{{\left(0+1\right)}^2+{\left(4-2\right)}^2+{\left(-1-1\right)}^2}=3.$

Vậy phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-1; 2; 1) bán kính R = 3 là: ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=9.$

Chọn D.

Phương pháp:

- Tính $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$

- Sử dụng công thức $\overrightarrow{u}=\left(x;y;z\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$

Cách giải:

Ta có: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(1;2;2\right)\Rightarrow \overrightarrow{u}=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3.$

Chọn D.

Phương pháp:

Hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ nghịch biến trên $\left(\alpha ;\beta \right)$ khi $\left\{\begin{array}{l}y\text{'}<0\\ \frac{-d}{c}\notin \left(\alpha ;\beta \right)\end{array}\right..$

Cách giải:

ĐKXĐ: $x\ne -m.$

Ta có $y\text{'}=\frac{m^2-9}{{\left(x+m\right)}^2}.$

Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)$ thì $\left\{\begin{array}{l}y\text{'}<0\\ -m\notin \left(-\infty ;1\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-9<0\\ -m\ge 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-3<m<3\\ m\le -1\end{array}\right.\iff -3<m\le -1.$

Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{-2;-1\right\}.$

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.

Phương pháp:

- Mặt phẳng trung trực $\left(\alpha \right)$ của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm I của AB và nhận $\overrightarrow{AB}$ làm VTPT.

- Phương trình mặt phẳng (P) đi qua $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và có VTPT $\overrightarrow{n}=\left(a;b;c\right)$ là:

                                         $a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0.$

Cách giải:

Gọi I là trung điểm của $AB\Rightarrow I\left(3;0;1\right).$

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua I(3; 0; 1) và có 1 VTPT $\overrightarrow{n}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\left(1;1;-1\right)$ có phương trình là $1\left(x-3\right)+1\left(y-0\right)-1\left(z-1\right)=0\iff x+y-z-2=0.$

Chọn D.