50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (Đề 30)

Đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - x + 1}{x + 1}$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

A. 1

B. -1

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Chọn A.

Đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - x + 1}{x + 1}$ cắt trục tung nên hoành độ giao điểm bằng 0 suy ra tung độ giao điểm bằng 1.

Câu 2:

Với a là số thực dương tùy ý, $\sqrt[3]{a^{2}}$ bằng:

A. $a^{\frac{1}{6}} .$

B. $a^{6} .$

C. $a^{\frac{2}{3}} .$

D. $a^{\frac{3}{2}} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Với một số thực dương ta có: $\sqrt[3]{a^{2}} = a^{\frac{2}{3}} .$

Câu 3:

Tập nghiệm của phương trình $\log_{2} (x^{2}) = 4$ là:

A. $S = \{\pm 2\} .$

B. $S = \{\sqrt{2}\} .$

C. $S = \{\pm 4\} .$

D. S = {4}.

Xem đáp án

Chọn C.

ĐK: $x^{2} > 0 \Leftrightarrow x \neq 0.$

Ta có: $\log_{2} (x^{2}) = 4 \Leftrightarrow x^{2} = 16 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 4 (n) \\ x = - 4 (n) \end{array} .$

Suy ra tập nghiệm $S = \{- 4; 4\}$ .

Câu 4:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{1} = 2$ và $u_{2} = 6.$ Giá trị của $u_{3}$ là:

A. $u_{3} = 10$

B. $u_{3} = 18$

C. $u_{3} = 14$

D. $u_{3} = 54$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có: $u_{1} . u_{3} = u_{2}^{2} \Rightarrow u_{3} = \frac{u_{2}^{2}}{u_{1}} = \frac{6^{2}}{2} = 18.$

Câu 5:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{1 - x}{x + 1}

có phương trình là:

A. x = 1

B. y = 1

C. y = -1

D. x = -1

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{1 - x}{x + 1} = - 1$ (hoặc $\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{1 - x}{x + 1} = - 1)$ , nên đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Câu 6:

Với số thực dương a tùy ý,

\log_{3} a^{3}

bằng

A. $\log_{3} (3 a) .$

B. $3 \log_{3} a .$

C. ${(\log_{3} a)}^{3} .$

D. $3 + \log_{3} a .$

Xem đáp án

Chọn B.

Với số thực dương a tùy ý, ta có: $\log_{3} a^{3} = 3 \log_{3} a .$

Câu 7:

Môđun của số phức $z = 1 + i \sqrt{2}$ bằng:

A. $|z| = 1 + \sqrt{2}$

B. $|z| = \sqrt{2}$

C. $|z| = \sqrt{3}$

D. $|z| = 3$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $|z| = \sqrt{1^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{3} .$

Câu 8:

Đạo hàm của hàm số $y = \log_{2} x$ là:

A. $y' = \frac{\ln 2}{x} .$

B. $y' = \frac{1}{x \ln 2} .$

C. $y' = \frac{x}{\ln 2} .$

D. $y' = \frac{1}{x} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $y' = \frac{1}{x \ln 2} .$

Câu 9:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:

A. x = -4

B. x = 0

C. x = 3

D. x = 1

Xem đáp án

Chọn C.

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra điểm cực tiểu của hàm số là x = 3.

Câu 10:

Cho số phức z = -2 + i. Điểm biểu diễn của số phức

Nghiệm của phương trình $3^{1 - 2 x} = 27$ là

A. x = -3

B. x = 3

C. x = 1

D. x = -1

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $3^{1 - 2 x} = 27 \Leftrightarrow 1 - 2 x = 3 \Leftrightarrow x = - 1.$

Vậy nghiệm của phương trình $3^{1 - 2 x} = 27$ là: x = -1.

Câu 11:

21/07/2024

\bar{z}

là:

A. (-2; 1)

B. (-2; -1)

C. (2; 1)

D. (2; -1)

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $\bar{z} = - 2 - i .$

Vậy điểm biểu diễn của số phức $\bar{z}$ là M(-2; -1)

Câu 12:

Cho hàm số f(x) = sin3x. Khẳng định nào sau đây đúng:

A. $\int_{}^{} f (x) d x = - \frac{1}{3} \cos 3 x + C .$

B. $\int_{}^{} f (x) d x = - \cos 3 x + C .$

C. $\int_{}^{} f (x) d x = \frac{1}{3} \cos 3 x + C .$

D. $\int_{}^{} f (x) d x = \cos 3 x + C .$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $\int_{}^{} f (x) d x = \frac{1}{3} \int_{}^{} \sin 3 x d (3 x) = - \frac{1}{3} \cos 3 x + C$

Câu 13:

Cho hai số phức $z_{1} = 2 - i, z_{2} = 3 + 2 i .$ Số phức $w = z_{1} . z_{2}$ bằng:

A. w = -8 - i

B. w = 8 - i

C. w = -8 + i

D. w = 8 + i

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có: $w = (2 - i) (3 + 2 i) = 6 + 4 i - 3 i - 2 i^{2} = 8 + i$

Câu 14:

Cho $I = \int_{1}^{2} f (2 x) d x .$ Khi đặt t = 2x thì ta được:

A. $I = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} f (t) d t .$

B. $I = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} f (t) d t .$

C. $I = \int_{2}^{4} f (t) d t .$

D. $I = \int_{1}^{2} f (t) d t .$

Xem đáp án

Chọn A.

Đặt $2 x = t \Rightarrow 2 d x = d t \Rightarrow d x = \frac{d t}{2}$

Đổi cận:

$x = 1 \Rightarrow t = 2$

$x = 2 \Rightarrow t = 4$

Suy ra $I = \int_{2}^{4} f (t) \frac{d t}{2} = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} f (t) d t .$

Câu 15:

Cho hai hàm số f(x), g(x) thỏa mãn $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2, \int_{1}^{0} g (x) d x = 5.$ Giá trị $I = \int_{0}^{1} (f (x) - g (x)) d x$ là:

A. I = 7

B. I = -3

C. I = 3

D. I = -7

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $\int_{1}^{0} g (x) d x = 5 \Rightarrow \int_{0}^{1} g (x) d x = - 5$

Suy ra $I = \int_{0}^{1} [f (x) - g (x)] d x = \int_{0}^{1} f (x) d x - \int_{0}^{1} g (x) d x = 2 - (- 5) = 7.$

Câu 16:

Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm f'(x) như sau:

Số điểm cực trị của hàm số f(x) đã cho là:

A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn A.

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy f'(x) đổi dấu 3 lần khi qua các điểm x = -4, x = 1, x = 3.

Do đó hàm số có 3 điểm cực trị.

Câu 17:

Có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh trong 8 học sinh:

A. $8^{2}$

B. 6!

C. $A_{8}^{2}$

D. $C_{8}^{2}$

Xem đáp án

Chọn D.

Số cách chọn ra 2 học sinh trong 8 học sinh là số tổ hợp chập 2 của 8 phần tử $C_{8}^{2} .$

Câu 18:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. $(- \infty; 0)$

B. $(3; + \infty)$

C. (-2; 3)

D. (0; 3)

Xem đáp án

Chọn D.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; 3)

Câu 19:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 và F(0) = 2. Tìm F(x)?

A. F(x) = 2

B. F(x) = 2x + 1

C. $F (x) = x^{2} + 2.$

D. $F (x) = \frac{x^{2}}{2} + 2.$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: $F (x) = \int_{}^{} f (x) d x = \int_{}^{} 2 x d x = \frac{2 x^{2}}{2} + C = x^{2} + C .$

Vì $F (0) = 2 \Rightarrow 0^{2} + C = 2 \Rightarrow C = 2.$

Vậy $F (x) = x^{2} + 2.$

Câu 20:

Đồ thị dưới đây có thể là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = x^{3} - 3 x + 1.$

B. $y = x^{3} + 3 x - 1.$

C. $y = - x^{3} + 3 x + 1.$

D. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 .$

Xem đáp án

Chọn A.

Từ đồ thị ta thấy đây là hình ảnh đồ thị hàm bậc $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ và $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty \Rightarrow a > 0,$ loại phương án C.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương $\Rightarrow d > 0,$ loại phương án B.

Xét phương án D có $y' = 3 x^{2} - 6 x \Rightarrow y' = 0$ có hai nghiệm là x = 0 và x = 2 nên hàm số đạt cực trị tại x = 0 và x = 2loại phương án D.

Vậy phương án đúng là A.

Câu 21:

Tổng hai nghiệm của phương trình $\log_{3}^{2} x - 6 \log_{3} x + 8 = 0$ bằng:

A. 6

B. 90

C. 729

D. 8

Xem đáp án

Chọn B.

Điều kiện: x > 0

Ta có $\log_{3}^{2} x - 6 \log_{3} x + 8 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \log_{3} x = 4 \\ \log_{3} x = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3^{4} \\ x = 3^{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 81 \\ x = 9 \end{array} .$

Vậy tổng hai nghiệm của phương trình bằng: $81 + 9 = 90.$

Câu 22:

21/07/2024

Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ và $\int_{0}^{2} (3 f (x) + 2 x) d x = 7.$ Tính $I = \int_{0}^{2} f (x) d x .$

A. I = 1

B. I = 4

C. I = 2

D. I = 3

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $7 = \int_{0}^{2} (3 f (x) + 2 x) d x = 3 \int_{0}^{2} f (x) d x + \int_{0}^{2} 2 x d x$

$\Leftrightarrow 3 I = 7 - \int_{0}^{2} 2 x d x \Leftrightarrow 3 I = 3 \Leftrightarrow I = 1.$

Vậy I = 1.

Câu 23:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A (5; - 2; 0), B (- 2; 3; 0)$ và C(0; 2; 3). Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là:

A. (1; 2; 1)

B. (2; 0; -1)

C. (1; 1; 1)

D. (1; 1; -2)

Xem đáp án

Chọn C.

G là trọng tâm của tam giác $A B C \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{G} = \frac{1}{3} (x_{A} + x_{B} + x_{C}) \\ y_{G} = \frac{1}{3} (y_{A} + y_{B} + y_{C}) \\ z_{C} = \frac{1}{3} (z_{A} + z_{B} + z_{C}) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{G} = 1 \\ y_{G} = 1 \\ z_{G} = 1 \end{cases} .$

Vậy G(1; 1; 1)

Câu 24:

Một lớp có 38 học sinh, trong đó có 20 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất để chọn được một học sinh nữ.

A. $\frac{10}{19}$

B. $\frac{9}{19}$

C. $\frac{19}{9}$

D. $\frac{1}{38}$

Xem đáp án

Chọn B.

Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ 38 học sinh trong lớp”

$\Rightarrow n (Ω) = C_{38}^{1} .$

Gọi biến cố A: “Chọn được một học sinh nữ”

Trong lớp có 18 học sinh nữ, nên có $C_{18}^{1}$ (cách) chọn một học sinh nữ.

$\Rightarrow n (A) = C_{18}^{1} .$

Vậy $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{C_{18}^{1}}{C_{38}^{1}} = \frac{9}{19} .$

Câu 25:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 3 x - 2 y + z - m = 0$ và điểm A(1; 1; 4). Tìm giá trị của tham số m để điểm A thuộc (P)?

A. m = 5

B. m = 4

C. m = 9

D. m = 3

Xem đáp án

Chọn A.

Điểm A thuộc (P) khi và chỉ khi: $3.1 - 2.1 + 4 - m = 0 \Leftrightarrow 5 - m = 0 \Leftrightarrow m = 5.$

Câu 26:

Cho số phức z = a + bi thỏa mãn $\frac{z}{2 + 3 i} = 3 - 2 i .$ Tính a - b?

A. 17

B. 5

C. 7

D. -5i

Xem đáp án

Chọn C.

$\frac{z}{2 + 3 i} = 3 - 2 i \Leftrightarrow z = (2 + 3 i) (3 - 2 i) = 12 + 5 i .$

Vậy $a = 12, b = 5 \Rightarrow a - b = 7.$

Câu 27:

Công thức tính thể tích khối trụ có chiều cao h và bán kính đáy R là:

A. $V = π h R^{2} .$

B. $V = h R^{2} .$

C. $V = \frac{1}{3} π h R^{2}$

D. $V = \frac{1}{3} h R^{2}$

Xem đáp án

Chọn A.

Câu 28:

Biết giá trị lớn nhất của hàm số $y = - 2 x^{3} + 3 x^{2} + m$ trên đoạn [0; 2] bằng 5, tìm giá trị của tham số m

A. 5

B. 6

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn D.

$y' = - 6 x^{2} + 6 x; y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array} .$

Bảng biến thiên:

Biết giá trị lớn nhất của hàm số y = -2x^3 + 3x^2 + m trên đoạn [0; 2] bằng 5 (ảnh 1)

Theo bảng biến thiên ta có $\max_{[0; 2]} f (x) = 5 \Leftrightarrow f (1) = 5 \Leftrightarrow m + 1 = 5 \Leftrightarrow m = 4.$

Câu 29:

Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là $6 a^{2},$ độ dài cạnh bên bằng 2a. Thể tích khối lăng trụ này bằng:

A. $12 a^{3}$

B. $6 a^{3}$

C. $3 a^{3}$

D. $4 a^{3}$

Xem đáp án

Chọn A.

Hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là $S = 6 a^{2},$ độ dài cạnh bên bằng h = 2a.

Vậy thể tích $V = S . h = 6 a^{2} .2 a = 12 a^{3} .$

Câu 30:

Hàm số $y = x^{3} - 3 x + 3$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. (0; 2)

B. (-2; -1)

C. (-1; 0)

D. (-2; 0)

Xem đáp án

Chọn C.

$y = x^{3} - 3 x + 3$ có tập xác định $D = ℝ .$

$y' = 3 x^{2} - 3; y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \end{array} .$

Bảng biến thiên:

Hàm số y = x^3 - 3x + 3 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? (ảnh 1)

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1) \supset (- 1; 0) .$

Câu 31:

Trong không gian tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 1; 1) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 2; 3)$ là:

A. $x + 2 y + 3 z - 3 = 0.$

B. $x + 2 y + 3 z - 6 = 0.$

C. $3 x + 2 y + z - 6 = 0$

D. $x - 2 y + 3 z - 6 = 0.$

Xem đáp án

Chọn B.

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 1; 1) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 2; 3)$ là $1 (x - 1) + 2 (y - 1) + 3 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + 2 y + 3 z - 6 = 0.$

Câu 32:

Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích V = 2021. Tính thể tích $V_{1}$ của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

A. $V_{1} = \frac{2021}{3} .$

B. $V_{1} = \frac{2021}{2} .$

C. $V_{1} = \frac{2021}{6} .$

D. $V_{1} = {\frac{2021}{12}}^{} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích V = 2021. Tính thể tích V1 (ảnh 1)

Xét khối hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích $V = S_{A B C D} . A A' .$

Xét khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích $V_{1} = S_{A B C} . A A' .$

Mà $S_{A B C} = \frac{1}{2} . S_{A B C D}$ suy ra $V_{1} = \frac{1}{2} V$ hay $V_{1} = \frac{2021}{2}$

Câu 33:

Cho hình nón có đường sinh l =6, bán kính đáy r = 2. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

A. $S_{t p} = 24 π .$

B. $S_{t p} = 22 π .$

C. $S_{t p} = 16 π .$

D. $S_{t p} = 12 π .$

Xem đáp án

Chọn C.

Theo lý thuyết, công thức tính diện tích toàn phần của hình nón là $S_{t p} = π r l + π r^{2} .$

Diện tích toàn phần của hình nón có đường sinh l = 6, bán kính đáy r = 2 là:

$S_{t p} = π .2.6 + π {.2}^{2} = 16 π .$

Câu 34:

Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(-1; 0; 2) và bán kính R = 4 có phương trình là:

A. ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4.$

B. ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 16 .$

C. ${(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$

D. ${(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 2)}^{2} = 16$

Xem đáp án

Chọn D.

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-1; 0;2) và bán kính R = 4 là ${(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 2)}^{2} = 16.$

Câu 35:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = 2a, đường thẳng AB' tạo với mặt phẳng BCC'B' một góc 30^o. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. $V = a^{3} \sqrt{6}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3} .$

C. $V = 2 a^{3} \sqrt{6}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{2} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = 2a, đường thẳng AB' tạo (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm BC

Vì $Δ A B C$ đều nên $A M ⊥ B C .$ Mà $A M ⊥ B B'$ (do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác đều)

Suy ra $A M ⊥ (B B' C' C) .$

Khi đó B'M là hình chiếu của AB' lên BB'C'C

Suy ra $\hat{(A B', (B B' C' C))} = \hat{(A B', B' M)} = \hat{A B' M} = 30^{0} .$

Vì $Δ A B C$ đều nên $A M = \frac{A B \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3} .$

$Δ A B' M$ vuông tại M có $\sin \hat{A B' M} = \frac{A M}{A B'} \Rightarrow A B' = \frac{A M}{\sin 30^{0}} = \frac{a \sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 2 a \sqrt{3} .$

$Δ A B B'$ vuông tại B có $B B' = \sqrt{A B'^{2} - A B^{2}} = 2 a \sqrt{2} .$

Thể tích của khối lăng trụ đã cho là $V = B B' . S_{A B C} = 2 a \sqrt{2} . \frac{{(2 a)}^{2} \sqrt{3}}{4} = 2 a^{3} \sqrt{6}$ (đvtt).

Câu 36:

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $z + 1 + 3 i - |z| i = 0.$ Tính S = 2a + 3b

A. S = 5

B. S = 6

C. S = -5

D. S = -6

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $z + 1 + 3 i - |z| i = 0 \Leftrightarrow a + b i + 1 + 3 i - i \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 0$

$\Leftrightarrow a + 1 + (b + 3 - \sqrt{a^{2} + b^{2}}) i = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} a + 1 = 0 \\ b + 3 - \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ \sqrt{b^{2} + 1} = b + 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b \geq - 3 \\ b^{2} + 1 = {(b + 3)}^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b \geq - 3 \\ b = - \frac{4}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b = - \frac{4}{3} \end{cases} .$

Vậy $S = 2 a + 3 b = 2. (- 1) + 3. (- \frac{4}{3}) = - 6.$

Câu 37:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B với $A C = a \sqrt{5}, B C = 2 a, B B' = a \sqrt{3}$ (tham khảo hình vẽ). Tính góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng (ABC)

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B (ảnh 1)

A. 30⁰

B. 60⁰

C. 90⁰

D. 45⁰

Xem đáp án

Chọn B.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B (ảnh 2)

Vì AB là hình chiếu vuông góc của A'B lên mặt phẳng (ABC) suy ra góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng (ABC) chính là góc $\hat{A' B A} .$

Xét tam giác vuông $A' A B : \tan \hat{A' B A} = \frac{A' A}{A B} = \frac{A' A}{\sqrt{A C^{2} - B C^{2}}} = \frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{5 a^{2} - 4 a^{2}}} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{A' B A} = 60^{0} .$

Câu 38:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x + 2 y - 2 z + 9 = 0.$ Phương trình mặt cầu (S) có tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9.$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 .$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 .$

D. $x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9.$

Xem đáp án

Chọn A.

Mặt cầu (S) có tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên $R = d (O; (P)) = \frac{|9|}{\sqrt{9}} = 3.$

Vậy $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9.$

Câu 39:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$ có đồ thị tạo với trục hoành các miền có diện tích $S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}$ (như hình vẽ) và $S_{1} = S_{4} = 10, S_{2} = S_{3} = 8.$ Biết tích phân $I = \int_{\sqrt[3]{e^{4}}}^{e^{2}} \frac{f (3 \ln x - 4) + 1}{x} d x = \frac{a}{b}$ với $a, b \in ℤ; \frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính tích ab?

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R có đồ thị tạo với trục hoành các (ảnh 1)

A. 31.

B. 84.

C. -84

D. -24

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $I = \int_{\sqrt[3]{e^{4}}}^{e^{2}} \frac{f (3 \ln x - 4) + 1}{x} d x = \int_{\sqrt[3]{e^{4}}}^{e^{2}} \frac{f (3 \ln x - 4)}{x} d x + \int_{\sqrt[3]{e^{4}}}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x = J + \frac{2}{3} .$

Xét $J = \int_{\sqrt[3]{e^{4}}}^{e^{2}} \frac{f (3 \ln x - 4)}{x} d x .$

Đặt $J = \frac{1}{3} \int_{0}^{2} f (t) d t = \frac{1}{3} \int_{0}^{2} f (x) d x = \frac{1}{3} (\int_{0}^{\frac{1}{2}} f (x) d x + \int_{\frac{1}{2}}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{2} f (x) d x) = \frac{1}{3} (- S_{2} + S_{3} - S_{4}) = - \frac{10}{3} .$

Do đó $I = - \frac{10}{3} + \frac{2}{3} = - \frac{8}{3} = \frac{a}{b} \Rightarrow a . b = - 24.$

Câu 40:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (- 2; 0; 1), B (4; 2; 5) .$ Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:

A. $3 x - y + 2 z - 10 = 0.$

B. $3 x + y + 2 z - 10 = 0.$

C. $3 x + y + 2 z + 10 = 0.$

D. $3 x + y - 2 z - 10 = 0.$

Xem đáp án

Chọn B.

Gọi M là trung điểm $A B \Rightarrow M (1; 1; 3), \vec{A B} = (6; 2; 4) = 2 (3; 1; 2) .$

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua M(1; 1; 3) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3; 1; 2) .$

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là $3 x + y + 2 z - 10 = 0.$

Câu 41:

Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{- 1}, d_{2} : \{\begin{cases} x = t \\ y = 2 \\ z = 3 \end{cases}$ và $d_{3} : \{\begin{cases} x = 0 \\ y = 2 + t \\ z = 3 \end{cases} .$ Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng $d_{1},$ cắt các đường thẳng $d_{2}, d_{3}$ lần lượt tại A và $B (A \neq B)$ sao cho đường thẳng AB vuông góc với $d_{1} .$ Phương trình của mặt phẳng (P) là:

A. $x + 2 y + 5 z - 5 = 0.$

B. $x + 2 y + 5 z - 4 = 0.$

C. $x + 2 y - z - 4 = 0.$

D. $2 x - y - 3 = 0.$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $\vec{u_{d_{1}}} = (1; 2; - 1), \{\begin{cases} A \in d_{2} \Rightarrow A (a; 2; 3) \\ B \in d_{3} \Rightarrow B (0; b + 2; 3) \end{cases} \Rightarrow \vec{A B} = (- a; b; 0) .$ Theo đề bài

$A B ⊥ d_{1} \Rightarrow \vec{A B} . \vec{u_{d_{1}}} = 0 \Leftrightarrow - a + 2 b = 0 \Leftrightarrow a = 2 b \Rightarrow \vec{A B} = (- 2 b; b; 0) .$ Vì $A \neq B \Rightarrow \vec{u} = (- 2; 1; 0)$ là một VTCP của AB Ta có $\{\begin{cases} \vec{u} = (- 2; 1; 0) \\ \vec{u_{d_{1}}} = (1; 2; - 1) \end{cases} \Rightarrow [\vec{u}; \vec{u_{d_{1}}}] = (- 1; - 2; - 5) \Rightarrow \vec{n} = (1; 2; 5)$ là một VTPT của (P)

Kết hợp với (P) qua $M (2; 1; 0) \in d \Rightarrow (P) : (x - 2) + 2 (y - 1) + 5 z = 0 \Leftrightarrow x + 2 y + 5 z - 4 = 0.$

Câu 42:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và điểm M là trung điểm của SA. Biết thể tích khối chóp A.SBC bằng $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$ và $A C = a \sqrt{2},$ tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABCD).

A. $a \sqrt{3}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{2} .$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{6} .$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{4} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và điểm M là trung (ảnh 1)

Ta có:

$V_{S . A B C D} = 2 V_{S . A B C} = 2 V_{A . S B C} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} .$

$A C = a \sqrt{2} \Rightarrow A B = a .$

Vậy $S_{A B C D} = a^{2} .$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S xuống (ABCD).

Ta có:

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S H . S_{A B C D} .$

$\Rightarrow S H = \frac{3 V_{S . A B C D}}{S_{A B C D}} = \frac{3. \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}}{a^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Vậy $d (M, (A B C D)) = \frac{1}{2} d (S, (A B C D)) = \frac{1}{2} S H = \frac{a \sqrt{3}}{4} .$

Câu 43:

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1} - 3 - 4 i| = 1$ và $|z_{2} - 3 - 4 i| = \frac{1}{2} .$ Gọi số phức z = a + bi thỏa mãn 3a - 2b = 12. Giá trị nhỏ nhất của $P = |z - z_{1}| + |z - 2 z_{2}| + 2$ bằng

A. $P_{\min} = 5 - 2 \sqrt{3} .$

B. $P_{\min} = \frac{\sqrt{9945}}{13} .$

C. $P_{\min} = 5 + 2 \sqrt{5} .$

C. $P_{\min} = \frac{\sqrt{9945}}{11} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Có $|z_{2} - 3 - 4 i| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow |2 z_{2} - 6 - 8 i| = 1.$

Gọi $A (x_{1}; y_{1}), C (x_{3}; y_{3}), M (a; b)$ lần lượt là các điểm biểu diễn $z_{1}, 2 z_{2}, z .$

Ta có: $A (I; 1) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1,$ với I(3; 4).

$C (J; 1) : {(x - 6)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = 1, J (6; 8)$

$M \in Δ : 3 x - 2 y = 12$

Khi đó: $P = |z - z_{1}| + |z - 2 z_{2}| + 2 = M A + M C + 2.$

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = M A + M C + 2$ khi A, C chạy trên 2 đường tròn cố định (I; 1) và (J; 1) nằm cùng phía với đường thẳng $Δ : 3 x - 2 y = 12$ và điểm M thuộc đường thẳng $Δ : 3 x - 2 y = 12.$

Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1 -3 - 4i| = 1 và |z2 - 3 - 4i| = 1/2 (ảnh 1)

Gọi đường tròn đối xứng với (I; 1) qua đường thẳng $Δ : 3 x - 2 y = 12$ là (I'; 1). Suy ra $I' (\frac{105}{13}; \frac{8}{13}) .$

Vì A' đối xứng với A qua $Δ$ nên $M A + M C = M A' + M C \geq A_{1}' C_{1} = I I' - I' A_{1}' - I C_{1} = I I' - 2$ nên $P_{\min} = J I' = \frac{\sqrt{9945}}{13} .$

Câu 44:

Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ và đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ lần lượt là $a, b, 0, c (a < b < c)$ (như hình bên dưới). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $g (x) = |f^{2} (x) + m|$ trên [a; c] bằng 2021. Tổng tất cả các phần tử của S bằng:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại (ảnh 1)

A. -36

B. -2022

C. -2021

D. 24

Xem đáp án

Chọn A.

Gọi $α; β; γ$ là các điểm cực trị của hàm số y = f(x). Có $α; β; γ \in [a; c] .$

Xét hàm số $h (x) = f^{2} (x) + m,$ có $h' (x) = 2 f' (x) . f (x) .$

$h' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f' (x) = 0 \\ f' (x) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = a \\ x = b \\ x = 0 \\ x = c \\ x = α \\ x = β \\ x = γ \end{array}$ các nghiệm này đều thuộc [a; c].

Ta có $f (a) = f (b) = f (0) = f (c) = 0; f (α) = - 3; f (β) = 2; f (γ) = - 6$ nên

$h (a) = h (b) = h (0) = h (c) = m; h (α) = m + 9; h (β) = m + 4; h (γ) = m + 36.$

Vậy $\max_{[a; c]} h (x) = m + 36, \min_{[a; c]} h (x) = m \Rightarrow \max_{[a; c]} g (x) = \max \{|m + 36|; |m|\}$ .

TH1: $m > 0; \max_{[a; c]} g (x) = |m + 36| = m + 36,$ khi đó $m + 36 = 2021 \Leftrightarrow m = 1985.$

TH2: $m + 36 < 0 \Leftrightarrow m < - 36; \max_{[a; c]} g (x) = |m| = - m,$ khi đó $- m = 2021 \Leftrightarrow m = - 2021.$

TH3: $m < 0 < m + 36 \Leftrightarrow - 36 < m < 0; \max_{[a; c]} g (x) = \max \{- m; m + 36\} \overset{m \in (- 36; 0)}{\neq} 2021$ nên không tồn tại giá trị của

Vậy $S = \{1985; - 2021\} .$

Câu 45:

Gọi A, B, C là 3 điểm có hoành độ thỏa mãn $x_{C} = x_{A} + x_{B}$ và tung độ bằng nhau, lần lượt thuộc đồ thị hàm số $y = \log_{9} x, y = \log_{12} x, y = \log_{15} x .$ Tính độ dài đoạn thẳng AB?

A. 64

B. 62.

C. 65

D. 63

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $\log_{9} x = \log_{12} x = \log_{15} x .$ Đặt $\log_{9} x_{A} = \log_{12} x_{B} = \log_{15} x_{C} = t \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{A} = 9^{t} \\ x_{B} = 12^{t} \\ x_{C} = 15^{t} \end{cases} .$

Mà $x_{C} = x_{A} + x_{B} \Leftrightarrow 15^{t} = 9^{t} + 12^{t} \Leftrightarrow {(\frac{3}{5})}^{t} + {(\frac{4}{5})}^{t} = 1.$

Xét hàm số $f (t) = {(\frac{3}{5})}^{t} + {(\frac{4}{5})}^{t}$ với $t \in ℝ .$

$f (t) = {(\frac{3}{5})}^{t} . \ln \frac{3}{5} + {(\frac{4}{5})}^{t} . \ln \frac{4}{5} < 0$ với $t \in ℝ .$

Hàm số $f (t) = {(\frac{3}{5})}^{t} + {(\frac{4}{5})}^{t}$ luôn nghịch biến trên $ℝ$

Suy ra ${(\frac{3}{5})}^{t} + {(\frac{4}{5})}^{t} = 1$ có nhiều nhất 1 nghiệm. Nhận thấy t = 2 là nghiệm duy nhất.

Suy ra

\{\begin{cases} x_{A} = 81 \Rightarrow y_{A} = 2 \\ x_{B} = 144 \Rightarrow y_{B} = 2 \end{cases} .

Vậy

A B = \sqrt{{(144 - 81)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}} = 63.

Câu 46:

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với $A (1; - 2; 3), B (- 1; - 2; 1), C (1; 0; 1) .$ Gọi M là một điểm di động trên mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 2 z + 2 = 0$ sao cho hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh $A C, A B, B C$ lần lượt là H, K, E. Hỏi có bao nhiêu điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho $T = A K^{2} + B E^{2} + C H^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. 3

B. vô số.

C. 1

D. 2.

Xem đáp án

Chọn D.

(S) có tâm I(1; -2; 1) và bán kính $R = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2} - 2} = 2.$

Mà $A B = A C = B C = 2 \sqrt{2}$ hay tam giácABC đều. Và $A, B, C \in (S)$ .

Gọi $G (\frac{1}{3}; - \frac{4}{3}; \frac{5}{3})$ là trọng tâm tam giác ABC

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; -2; 3), B(-1; -2; 1), C(1; 0; 1) (ảnh 1)

Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Kẻ các đường kính $C D, A F, B Q .$

Gọi J là hình chiếu vuông góc của M lên (ABC), J nằm trong hình lục giác đều ADBFCQ.

* Với J trùng với một trong 3 điểm A, B, C hay M trùng với một trong 3 điểm A, B, C.

Ta có $T = A K^{2} + B E^{2} + C H^{2} = {(2 \sqrt{2})}^{2} + 0^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} = 10$

* Với J không trùng với 3 điểm A, B, C

Ta có $T = A K^{2} + B E^{2} + C H^{2} \geq \frac{{(A K + B E + C H)}^{2}}{3} = \frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{3} = 6.$

Dấu bằng xảy ra khi $A K = B E = C H .$

Suy ra $T_{\min} = 6$ khi J trùng với trọng tâm G của tam giác ABC hay $M A = M B = M C .$

Vậy có 2 điểm M cần tìm.

Câu 47:

Có bao nhiêu giá trị nguyên $m \in [- 2021; 2021]$ để phương trình sau: $2^{x - \frac{m}{10}} = \log_{2} x + \frac{m}{10}$ có nghiệm thực?

A. 2012

B. 2021

C. 2020

D. 2011

Xem đáp án

Chọn A.

Điều kiện: x > 0

$2^{x - \frac{m}{10}} = \log_{2} x + \frac{m}{10} \Leftrightarrow 2^{x - \frac{m}{10}} + x - \frac{m}{10} = \log_{2} x + x \Leftrightarrow 2^{x - \frac{m}{10}} + (x - \frac{m}{10}) = 2^{\log_{2} x} + \log_{2} x .$

Xét hàm số $f (t) = 2^{t} + t (t \in ℝ) .$

$f' (t) = 2^{t} \ln 2 + 1 > 0, \forall t \in ℝ \Rightarrow f (t)$ đồng biến trên $ℝ$

Suy ra $f (x - \frac{m}{10}) = f (\log_{2} x) \Leftrightarrow x - \frac{m}{10} = \log_{2} x .$

Xét hàm số $g (x) = x - \log_{2} x$ với $x \in (0; + \infty) .$

Ta có BBT như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc [-2021; 2021] để phương trình sau (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi $\frac{m}{10} \geq g (\frac{1}{\ln 2}) \Leftrightarrow m \geq 10. g (\frac{1}{\ln 2}) .$

Mà $m \in ℤ; m \in [- 2021; 2021] .$ Suy ra: $m \in \{10; 11; ....; 2021\}$ có 2012 giá trị thỏa mãn.

Câu 48:

Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị là đường cong (như hình vẽ bên dưới). Biết hàm số đạt cực trị tại ba điểm

x_{1}, x_{2}, x_{3}

theo thứ tự lập thành một cấp số cộng có công sai là 2. Gọi

S_{1}

là diện tích phần gạch chéo,

S_{2}

là diện tích phần tô đậm. Tỉ số

\frac{S_{1}}{S_{2}}

bằng:

Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị là đường cong (như hình vẽ bên dưới) (ảnh 1)

A. $\frac{4}{7}$

B. $\frac{8}{7}$

C. $\frac{7}{8}$

D. $\frac{7}{16}$

Xem đáp án

Chọn D.

Tịnh tiến đồ thị sao cho $x_{2}$ trùng với gốc tọa độ ta được hình vẽ sau:

Ba điểm cực trị $x_{1}; x_{2}; x_{3}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng có công sai là 2.

Suy ra: $x_{1} = - 2; x_{2} = 0; x_{3} = 2.$

Gọi phương trình đồ thị trên có dạng $y = a x^{4} + b x^{2} + c (a \neq 0) .$

$y' = 4 a x^{3} + 2 b x$

Hàm số đạt cực trị tại $x_{1} = - 2; x_{2} = 0; x_{3} = 2$ nên ta có:

$\{\begin{cases} y' (x_{1}) = 0 \\ y' (x_{2}) = 0 \\ y' (x_{3}) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 32 a - 4 b = 0 \\ c = 0 \\ 32 a + 4 b = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} c = 0 \\ 32 a + 4 b = 0 \end{cases} .$ Chọn $a = 1; b = - 8; c = 0.$

Suy ra: $y = x^{4} - 8 x^{2}$

$S_{1} = \int_{- 2}^{0} (- x^{4} + 8 x^{2}) = \frac{124}{15} .$ $S_{2} = 2 \int_{0}^{2} (x^{4} - 8 x^{2} + 16) = \frac{512}{15} .$

Tỷ số: $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{\frac{224}{15}}{\frac{512}{15}} = \frac{7}{16} .$

Câu 49:

Cho hàm số bậc bốn f(x) thỏa mãn $f (0) = \frac{1}{8}$ và đồ thị y = f'(x) (như hình vẽ bên dưới).

Cho hàm số bậc bốn f(x) thỏa mãn f(0) = 1/8 và đồ thị y = f'(x) (ảnh 1)

Xét hàm số f(x) thỏa mãn $g " (x) = 2021 [f " (x) f (x) + {[f' (x)]}^{2}] - f " (x)$ và $g' (0) = \frac{2013}{8} .$ Tìm số nghiệm của phương trình g'(x) = 0.

A. 6

B. 7

C. 5

D. 8

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có: $g " (x) = 2021 {[f' (x) f (x)]}^{'} - f " (x) = {[2021 f' (x) f (x) - f' (x)]}^{'} . (1)$

Lấy nguyên hàm hai vế của (1) ta được:

$\int_{}^{} g " (x) d x = \int_{}^{} {[2021 f' (x) f (x) - f' (x)]}^{'} d x$

$\Rightarrow g' (x) = 2021 f' (x) f (x) - f' (x) + C . (2)$

Từ đồ thị ta có: f'(0) = 1

Thay x = 0 vào (2) ta được:

$g' (0) = 2021. f' (0) . f (0) - f' (0) + C \Leftrightarrow \frac{2013}{8} = 2021.1. \frac{1}{8} - 1 + C \Leftrightarrow C = 0.$

Từ đó suy ra: $g' (x) = 2021. f' (x) . [f (x) - \frac{1}{2021}] .$

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f' (x) = 0 (3) \\ f (x) = \frac{1}{2021} (4) \end{array} .$

* Giải phương trình (3)

Đồ thị hàm số y = f'(x) cắt trục Ox tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là x = a, x = b, x = c với $- 2 < a < - 1, 0 < b < 1, 1 < c < 2.$

Ta có: $(3) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = a \\ x = b \\ x = c \end{array} .$

* Giải phương trình (4)

- Do y = f(x) là hàm số bậc bốn nên y = f'(x) là hàm số bậc 3, giả sử $f' (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d .$ Từ đồ thị hàm số y = f'(x) suy ra:

$\{\begin{cases} f' (0) = 1 \\ f' (- 1) = 3 \\ f' (1) = - 1 \\ f " (- 1) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} d = 1 \\ - a + b - c + 1 = 3 \\ a + b + c + 1 = - 1 \\ 3 a - 2 b + c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \\ c = - 3 \\ d = 1 \end{cases}$

$\Rightarrow f' (x) = x^{3} - 3 x + 1$

$\Rightarrow \int_{}^{} f' (x) d x = \int_{}^{} (x^{3} - 3 x + 1) d x$

$\Rightarrow f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + x + C' (5) .$

Thay x = 0 vào (5) ta được: $f (0) = C' \Leftrightarrow C' = \frac{1}{8} \Rightarrow f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + x + \frac{1}{8} .$

Dễ thấy $f (1) = - \frac{1}{8} .$

Bảng biến thiến:

Cho hàm số bậc bốn f(x) thỏa mãn f(0) = 1/8 và đồ thị y = f'(x) (ảnh 2)

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình $f (x) = \frac{1}{2021}$ có 4 nghiệm phân biệt khác a, b, c.

Vậy phương trình g'(x) = 0 có 7 nghiệm phân biệt.

Câu 50: