Phương pháp:

Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến, đặt t = sin x

Cách giải:

Đặt $t=\sin x\Rightarrow dx=\cos xdx.$

$\Rightarrow F\left(x\right)=\int {\sin }^{3}x.\cos xdx=\int t^{3}dt=\frac{t^4}{4}+C=\frac{{\sin }^{4}x}{4}+C.$

Mà $F\left(0\right)=\pi \Rightarrow C=\pi .$

$F\left(x\right)=\frac{1}{4}{\sin }^{4}x+\pi .$

Vậy $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{4}{\sin }^4\frac{\pi }{2}+\pi =\frac{1}{4}+\pi .$

Chọn A.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ: $\left(a^x\right)\text{'}=a^x\ln a.$

Cách giải:

$y={\pi }^x\Rightarrow y\text{'}={\pi }^x\ln \pi .$

Chọn C.

Phương pháp:

- Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)

- Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A(-1; -3; 4) nhận $\overrightarrow{IA}$ là 1 VTPT.

- Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0.$

Cách giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(3; -3; 1) bán kính $R=\sqrt{3^2+{\left(-3\right)}^2+1^2+6}=5.$

Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A(-1; -3; 4) nên $IA\perp \left(P\right)\Rightarrow \left(P\right)$ nhận $\overrightarrow{IA}=\left(-4;0;3\right)$ làm 1 VTPT.

$\Rightarrow$ phương trình mặt phẳng $\left(P\right):-4\left(x+1\right)+3\left(z-4\right)=0\iff 4x-3z+16=0.$

Chọn C.

Phương pháp:

- Tính bán kính mặt cầu $R=IO=\sqrt{x_I^2+y_I^2+z_I^2}.$

- Mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình là $\left(S\right):{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2.$

Cách giải:

Bán kính mặt cầu là $R=IO=\sqrt{x_I^2+y_I^2+z_I^2}=\sqrt{4^2+{\left(-4\right)}^2+2^2}=6.$

Vậy phương trình mặt cầu là: ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=36.$

Chọn C.

Phương pháp:

Dựa vào BBT xác định giá trị cực đại của hàm số là giá trị của hàm số tại điểm cực đại – điểm mà qua đó hàm số liên tục và đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm.

Cách giải:

Dựa vào BBT $\Rightarrow y_{CD}=y\left(0\right)=-3.$

Chọn C.

Phương pháp:

- Mặt phẳng (ABC) có 1 VTPT là $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right].$

- Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0.$

Cách giải:

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=\left(3;2;1\right)\\ \overrightarrow{AC}=\left(4;1;0\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(-1;4;-5\right).$

$\Rightarrow \left(ABC\right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{n}=-\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(1;-4;5\right).$

$\Rightarrow$ Phương trình $mp\left(ABC\right):1\left(x-1\right)-4\left(y-1\right)+5\left(z-1\right)=0\iff x-4y+5z-2=0.$

$\Rightarrow a=1,b=-4,c=5.$ Vậy $S=a-b+c=1-\left(-4\right)+5=10.$

Chọn A.

Phương pháp:

Số nghiệm của phương trình f(x) = m là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m song song với trục hoành.

Cách giải:

Ta có: $3f\left(x\right)+4=0\iff f\left(x\right)=-\frac{4}{3}\Rightarrow$ Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng $y=-\frac{4}{3}$ song song với trục hoành.

Đường thẳng $y=-\frac{4}{3}$ cắt đồ thị y = f(x) tại 1 điểm.

Vậy phương trình $3f\left(x\right)+4=0$ có 1 nghiệm thực duy nhất.

Chọn C.

Phương pháp:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) đường thẳng x = a, x = b là

Cách giải:

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{S}_{\left(K\right)}=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{5}{12}\\ S_{\left(H\right)}=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=-\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{8}{3}\Rightarrow \underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=-\frac{8}{3}\end{array}\right.$

Vậy $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{5}{12}-\frac{8}{3}=-\frac{9}{4}.$

Chọn B.

Phương pháp:

Điểm cực tiểu của hàm số là điểm mà qua đó hàm số liên tục và đạo hàm đổi dầu từ âm sang dương.

Cách giải:

Dựa vào BXD ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0. Vậy hàm số có 1 điểm cực tiểu.

Chọn B.

Phương pháp:

Hai mặt phẳng $\left(P\right):Ax+By+Cz+D=0$ và $\left(Q\right):A\text{'}x+B\text{'}y+C\text{'}z+D\text{'}=0$ song song với nhau khi và chỉ khi $\frac{A}{A\text{'}}=\frac{B}{B\text{'}}=\frac{C}{C\text{'}}\ne \frac{D}{D\text{'}}.$

Cách giải:

Hai mặt phẳng $\left(P\right):2x+mt+3z-5=0$ và $\left(Q\right):nx-8y-6z+2=0$ song song với nhau khi và chỉ khi $\frac{n}{2}=\frac{-8}{m}=\frac{-6}{3}\ne \frac{2}{-5}\iff \left\{\begin{array}{l}m=4\\ n=-4\end{array}\right..$

Vậy S = m + n = 0

Chọn D.

Phương pháp:

Áp dụng định lí Pytago: $R^2=r^2+d^2$ với R là bán kính hình cầu, r là bán kính hình tròn, $d=d\left(I,\left(P\right)\right)$ với I là tâm mặt cầu.

Cách giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(3; -2; 0), bán kính R = 5. Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến $\Rightarrow r=3.$

Gọi $d=d\left(I,\left(P\right)\right)$, áp dụng định lí Ta-lét ta có $R^2=r^2+d^2\Rightarrow d=4$

Xét các đáp án chỉ có đáp án B thỏa mãn $d\left(I,\left(P\right)\right)=\frac{\left|4.3-4.\left(-2\right)-18+20\sqrt{2}\right|}{\sqrt{4^2+3^2+5^2}}=\frac{20\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}=4.$

Chọn B.

Phương pháp:

Dựa vào TCN và TCĐ của đồ thị hàm số và các điểm thuộc đồ thị hàm số.

Cách giải:

Đồ thị hàm số có TCN y = -1 nên loại đáp án B.

Đồ thị hàm số có TCĐ x =-1.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (0; 1)nên loại đáp án A và C.

Chọn D.

Phương pháp:

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quanh hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left(x\right),y=g\left(x\right),x=a,x=b$ xung quanh trục Ox là: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f^2\left(x\right)-g^2\left(x\right)\right|dx.$

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\sqrt{3}{x}^2=\sqrt{4-x^2}\iff x=1.$

Thể tích cần tính: $V=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\sqrt{3}{x}^2\right)}^{2}dx+\pi \underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\sqrt{4-x^2}\right)}^{2}dx=3\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{4}dx+\pi \underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(4-x^2\right)dx.$

Chọn D.

Phương pháp:

Sử dụng khái niệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số: Cho hàm số y = f(x).

- Đường thẳng $y=y_0$ là TCN của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=y_0$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=y_0$.

- Đường thẳng $x=x_0$ là TCĐ của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }y=+\infty$ hoặc $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }y=-\infty$ hoặc $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }y=+\infty$ hoặc $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }y=-\infty$.

Cách giải:

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2-2x-1}{x^2-1}=3\\ \underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x^2-2x-1}{x^2-1}=3\end{array}\right.\Rightarrow y=3$ là TCN của đồ thị hàm số.

$\frac{3x^2-2x-1}{x^2-1}=\frac{\left(x-1\right)\left(3x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{3x+1}{x+1}$ nên $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to -1^{+}}{\lim }y=-\infty \\ \underset{x\to -1^{-}}{\lim }y=+\infty \end{array}\right.\Rightarrow x=-1$ là TCĐ của đồ thị hàm số.

Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{3x^2-2x-1}{x^2-1}$ là 2.

Chọn B.

Phương pháp:

Sử dụng tổ hợp.

Cách giải:

Số cách chọn 3 học sinh từ một lớp gồm 35 học sinh là $C_{35}^3.$

Chọn B.

Phương pháp:

- Tính f'(x) xác định các nghiệm $x_i\in \left[-1;2\right]$ của phương trình f'(x) = 0.

- Tính $f\left(-1\right),f\left(2\right),f\left(x_i\right).$

- KL: $\underset{\left[-1;2\right]}{\min }f\left(x\right)=\min \left\{f\left(-1\right);f\left(2\right);f\left(x_i\right)\right\},\underset{\left[-1;2\right]}{\max }f\left(x\right)=\max \left\{f\left(-1\right);f\left(2\right);f\left(x_i\right)\right\}$

Cách giải:

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên [-1; 2]

Ta có $f\text{'}\left(x\right)=-4x^3+24x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\in \left[-1;2\right]\\ x=\pm \sqrt{6}\notin \left[-1;2\right]\end{array}\right..$

Mà $f\left(-1\right)=12,f\left(2\right)=33,f\left(0\right)=1.$

Vậy $\underset{\left[-1;2\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(0\right)=1.$

Chọn A.

Phương pháp:

Mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0$ có tâm I(-a; -b; -c) bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}.$

Cách giải:

Mặt cầu $x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z-2=0$ có tâm I(2; -1; 3) bán kính $R=\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+3^2-\left(-2\right)}=4.$

Chọn C.

Phương pháp:

Sử dụng công thức $S=A.e^{nr}$ với $A=\mathrm{93.671.600},n=2030-2017=13,r=0,81\%$.

Cách giải:

Dự báo dân số Việt Nam năm 2030 là: $S=\mathrm{93.671.600.}{e}^{\mathrm{13.08.1}\%}=\mathrm{104.073.257}$ người.

Chọn D.

Phương pháp:

Xác định các khoảng mà hàm số đi xuống theo chiều từ trái sang phải.

Cách giải:

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên (-2; 1)

Chọn D.

Phương pháp:

Sử dụng công thức SHTQ của CSN: $u_n=u_1{q}^{n-1}.$

Cách giải:

Ta có $u_2=u_{1}q\Rightarrow q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{6}{2}=3.$

Chọn B

Phương pháp:

- Chia tử cho mẫu.

- Sử dụng bảng nguyên hàm: $\underset{}{\overset{}{\int }}{x}^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\left(n\ne 1\right),\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{1}{ax+b}dx=\frac{1}{a}\ln \left|ax+b\right|+C.$

- Sử dụng điều kiện $x\in \left(-2;+\infty \right)$ để phá trị tuyệt đối.

Cách giải:

Ta có $f\left(x\right)=\frac{x-1}{x+2}=\frac{x+2-3}{x+2}=1-\frac{3}{x+2}.$

$\Rightarrow \underset{}{\overset{}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{}{\overset{}{\int }}\left(1-\frac{3}{x+2}\right)dx=x-3\ln \left|x+2\right|+C.$

Vì $x\in \left(-2;+\infty \right)\Rightarrow x+2>0.$

Vậy $\Rightarrow \underset{}{\overset{}{\int }}f\left(x\right)dx=x-3\ln \left(x+2\right)+C$,

Chọn B.

Phương pháp:

- Mặt phẳng $\left(P\right):Ax+By+Cz+D=0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right).$

- Mọi vectơ cùng phương với $\overrightarrow{n}$ đều là 1 VTPT của (P).

Cách giải:

Mặt phẳng $\left(P\right):2x+y-z+5=0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{n}=\left(2;1;-1\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_1}=2\overrightarrow{n}=\left(4;2;-2\right)$ cũng là 1 VTPT của mặt phẳng

Chọn A.

Phương pháp:

- Hình chiếu của điểm M(a; b; c) lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt là $\left(a;0;0\right),\left(0;b;0\right),\left(0;0;c\right).$

- Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm $\left(a;0;0\right),\left(0;b;0\right),\left(0;0;c\right)$ là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.$

Cách giải:

Hình chiếu của điểm M(2; -1; 3) lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt là $\left(2;0;0\right),\left(0;-1;0\right),\left(0;0;3\right).$

Phương trình mặt phẳng qua các hình chiếu của M trên ba trục tọa độ là:

                                         $\frac{x}{2}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{3}=1\iff 3x-6y+2z-6=0.$

Chọn A.

Phương pháp:

- Tính số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau $\Rightarrow$ Số phần tử của không gian mẫu $n\left(\Omega \right).$

- Gọi A là biến cố: “ số đó có hai chữ số tận cùng không có cùng tính chẵn lẻ”, tìm số cách chọn 2 chữ số tận
cùng, số cách chọn 3 chữ số còn lại và áp dụng quy tắc nhân tìm số phần tử của biến cố A.

- Tính xác suất của biến cố A.

Cách giải:

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau là $\overline{abcde}.$

Số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau là $A_{10}^5-A_9^4=27216.$

Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S $\Rightarrow$ Số phần tử của không gian mẫu $n\left(\Omega \right)=C_{27216}^1=27216.$

Gọi A là biến cố: “số đó có hai chữ số tận cùng không có cùng tính chẵn lẻ”.

TH1: d, e không cùng tính chẵn lẻ, $de\ne 0.$

$\Rightarrow$ Số cách chọn d, e là $\mathrm{4.5.2}!=40$ cách.

Số cách chọn a, b, c là $A_8^3-A_7^2=294.$

$\Rightarrow$ TH1 có $40.294=11760$ số thỏa mãn.

TH2: d, e không cùng tính chẵn lẻ, de = 0.

Chọn 1 số lẻ có 5 cách $\Rightarrow$ Số cách chọn d, e là 5.2 = 10 cách.

Số cách chọn a, b, c là $A_8^3=336$.

$\Rightarrow$ TH2 có $10.336=3360$ số thỏa mãn.

$\Rightarrow n\left(A\right)=11760+3360=112096$.

Vậy xác suất của biến cố A là $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{12096}{27216}=\frac{4}{9}.$

Chọn A.

Phương pháp:

- Đặt ẩn phụ $t=2^x>0,$ đưa phương trình về phương trình bậc hai ẩn t.

- Để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt thì phương trình bậc hai ẩn t có 2 nghiệm dương phân biệt.

- Sử dụng định lí Vi-ét

Cách giải:

Đặt $t=2^x>0,$ phương trình đã cho trở thành $t^2-2mt+2m^2-27=0\left(*\right)$.

Để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt.

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\Delta \text{'}=m^2-2m^2+27>0\\ S=2m>0\\ P=2m^2-27>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-3\sqrt{3}<m<3\sqrt{3}\\ m>0\\ \left[\begin{array}{l}m>\frac{3\sqrt{6}}{2}\\ m<-\frac{3\sqrt{6}}{2}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \frac{3\sqrt{6}}{2}<m<3\sqrt{3}.$

Mà S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m nên $S=\left\{4;5\right\}.$

Vậy S có 2 phần tử.

Chọn C.

Phương pháp:

- Khi quay tam giác ABC xung quanh trục AH ta được hình nón có chiều cao $h=AH,r=\frac{BC}{2}.$

- Tính độ dài đường sinh của hình nón $l=\sqrt{h^2+r^2}.$

- Diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh l, bán kính đáy r là $S_{xq}=\pi rl.$

Cách giải:

Khi quay tam giác ABC xung quanh trục AH ta được hình nón có chiều cao $h=AH=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3},$ $r=\frac{BC}{2}=\frac{4}{2}=2.$

Độ dài đường sinh của hình nón $l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2+2^2}=4.$

Diện tích xung quanh của hình nón tạo thành là: $S=\pi rl=\pi \mathrm{.2.4}=8\pi .$

Chọn C.