50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (Đề 26)

z_{1} = 2 - i

và

z_{2} = - 1 + 4 i .

Tìm số phức

z = z_{1} + z_{2} .

A. z = 1 + 3i

B. z = 3 - 5i

C. z = 1 - 3i

D. z = -3 + 5i

Xem đáp án

$z = z_{1} + z_{2} = (2 - i) + (- 1 + 4 i) = 1 + 3 i .$

Chọn A.

Câu 2:

Cho khối chóp có thể tích bằng $18 c m^{3}$ và diện tích đáy bằng $9 c m^{2} .$ Chiều cao của khối chóp đó là:

A. 2cm

B. 6cm

C. 3cm

D. 4cm

Xem đáp án

Chiều cao khối chóp là $h = \frac{3.18}{9} = 6 (c m) .$

Chọn B.

Câu 3:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, M(-5; 3) là điểm biểu diễn của số phức

A. z = 3 + 5i

B. z = 3 - 5i

C. z = -5 + 3i

D. 5 + 3i

Xem đáp án

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, M(-5; 3) là điểm biểu diễn của số phức z = -5 + 3i

Chọn C.

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y + 2 z - 3 = 0$ có bán kính là:

A. $3 \sqrt{3}$

B. 3

C. $\sqrt{3}$

D. 9

Xem đáp án

Trong không gian Oxyz, mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y + 2 z - 3 = 0$ có bán kính là $R = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 1)}^{2} - (- 3)} = 3.$

Chọn B.

Câu 5:

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 3 x - 4$ trên đoạn [-4; 0]. Giá trị $\frac{m}{M}$ bằng:

A. $\frac{8}{3}$

B. $\frac{3}{4}$

C. $\frac{4}{3}$

D. $\frac{64}{3}$

Xem đáp án

Ta có $y = \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 3 x - 4 \Rightarrow y' = x^{2} + 4 x + 3.$

$y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 4 x + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = - 3 \end{array} \in [- 4; 0]$ .

$y (- 4) = y (- 1) = - \frac{16}{3}, y (- 3) = y (0) = - 4.$

$\Rightarrow \min_{[- 4; 0]} y = - \frac{16}{3}; \max_{[- 4; 0]} y = - 4 = M .$

Vậy $\frac{m}{M} = \frac{- \frac{16}{3}}{- 4} = \frac{4}{3} .$

Chọn B.

Câu 6:

Nghiệm của phương trình $\log_{3} (2 x + 1) = 2$ là:

A. x = 4

B. $x = \frac{5}{2}$

C. $x = \frac{7}{2}$

D. x = 2

Xem đáp án

$\log_{3} (2 x + 1) = 2 \Leftrightarrow 2 x + 1 = 3^{2} \Leftrightarrow x = 4.$

Chọn A.

Câu 7:

Số các tập con gồm 3 phần tử của một tập hợp gồm 6 phần tử là:

A. $C_{6}^{3}$

B. 2

C. 3!

D. $A_{6}^{3}$

Xem đáp án

Số các tập con gồm 3 phần tử của một tập hợp gồm 6 phần tử là $C_{6}^{3} .$

Chọn A.

Câu 8:

Cho số phức z = 1 - 2i. Phần ảo của số phức $\bar{z}$ là:

A. 1

B. -1

C. -2

D. 2

Xem đáp án

Ta có $z = 1 - 2 i \Rightarrow \bar{z} = 1 + 2 i$ nên $\bar{z}$ có phần ảo bằng 2.

Chọn D.

Câu 9:

Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- \infty; 0)$

B. (-2; 2)

C. (-1; 3)

D. $(- \infty; - 2)$

Xem đáp án

Dựa vào BBT ta thấy hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 2)$ và (0; 2)

Chọn D.

Câu 10:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 2}$ là đường thẳng

A. $y = \frac{1}{2}$

B. $y = - \frac{1}{2}$

C. y = 2

D. y = -2

Xem đáp án

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 2}$ là đường thẳng y = 2.

Chọn C.

Câu 11:

17/07/2024

Khối lập phương cạnh bằng 3 có thể tích là:

A. 27.

B. 8

C. 9

D. 6

Xem đáp án

Khối lập phương cạnh bằng 3 có thể tích là: $V = 3^{3} = 27.$

Chọn A.

Câu 12:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông với $A C = 5 \sqrt{2} .$ Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB) bằng:

A. $30^{0}$

B. $60^{0}$

C. $90^{0}$

D. $45^{0}$

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông với AC = 5 căn bậc hai của 2 (ảnh 1)

Ta có: $\{\begin{cases} A D ⊥ A B \\ A D ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow A D ⊥ (S A B) .$

$\Rightarrow S A$ là hình chiếu vuông góc của SD lên (SAB).

$\Rightarrow ∠ (S D; (S A B)) = ∠ (S D; S A) = ∠ D S A .$

Vì ABCD là hình vuông có $A C = 5 \sqrt{2} \Rightarrow A D = 5 = S A \Rightarrow Δ S A D$ vuông cân tại A nên $∠ D S A = 45^{0} .$

Vậy $∠ (S D; (S A B)) = 45^{0} .$

Chọn D.

Câu 13:

Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy và chiều cao đều bằng 2.

A. $V = 12 π .$

B. $V = 16 π .$

C. $V = 8 π .$

D. $V = 4 π .$

Xem đáp án

Thể tích khối trụ $V = π r^{2} h = π {.2}^{2} .2 = 8 π .$

Chọn C.

Câu 14:

22/07/2024

Đạo hàm của hàm số

y = \log_{3} x

trên khoảng

(0; + \infty)

là:

A. $y' = \frac{x}{\ln 3} .$

B. $y' = \frac{1}{x \ln 3}$

C. $y' = \frac{1}{x}$

D. $y' = \frac{\ln 3}{x}$

Xem đáp án

$y = \log_{3} x \Rightarrow y' = \frac{1}{x \ln 3} .$

Chọn B.

Câu 15:

Gọi l, h, r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diện tích xung quanh $S_{x q}$ của hình nón là:

A. $S_{x q} = 2 π r l$

B. $S_{x q} = π r h$

C. $S_{x q} = \frac{1}{3} π r^{2} h .$

D. $S_{x q} = π r l$

Xem đáp án

Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l là $S_{x q} = π r l .$

Chọn D.

Câu 16:

Cho $\int_{0}^{3} f (x) d x = 5, \int_{2}^{3} f (x) d x = 3.$ Khi đó $\int_{0}^{2} f (x) d x$ bằng:

A. -2

B. 8

C. 2

D. -8

Xem đáp án

Ta có:

$\int_{0}^{3} f (x) d x = \int_{0}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{3} f (x) d x$

$\Rightarrow \int_{0}^{2} f (x) d x = \int_{0}^{3} f (x) d x - \int_{2}^{3} f (x) d x = 5 - 3 = 2.$

Chọn C.

Câu 17:

Cho

\int_{- 2}^{5} f (x) d x = 8

và

\int_{- 2}^{5} g (x) d x = - 3.

Tính

I = \int_{- 2}^{5} [f (x) - 4 g (x) - 1] d x .

A. I = 3

B. I = 13

C. I = -11

D. I = 27

Xem đáp án

Ta có:

$I = \int_{- 2}^{5} [f (x) - 4 g (x) - 1] d x$

$= \int_{- 2}^{5} f (x) d x - 4 \int_{- 2}^{5} g (x) d x - \int_{- 2}^{5} d x$

$= 8 - 4. (- 3) - x |\begin{array}{l} 5 \\ - 2 \end{array}$

$= 20 - (5 - (- 2)) = 13.$

Chọn B.

Câu 18:

Cho số phức z = 1 - 3i. Môđun của số phức $(2 - i) \bar{z}$ bằng:

A. $5 \sqrt{2}$

B. $2 \sqrt{5}$

C. 6

D. 8

Xem đáp án

Ta có: $|(2 - i) \bar{z}| = |2 - i| |\bar{z}| = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}} . |z| = \sqrt{5} . \sqrt{1^{2} + {(- 3)}^{2}} = 5 \sqrt{2} .$

Chọn A.

Câu 19:

Trong không gian Oxyz, cho $\vec{a} = (- 1; - 2; 3)$ và $\vec{b} = (0; 3; 1) .$ Tích vô hướng của hai vectơ bằng:

A. 9

B. -3

C. 3

D. 6

Xem đáp án

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = - 1.0 + (- 2) .3 + 3.1 = - 3.$

Chọn B.

Câu 20:

Từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 8, 9 lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số chia hết cho 3 là:

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{6}$

Xem đáp án

Số phần tử của không gian mẫu là $n (Ω) = C_{6}^{1} = 6.$

Gọi A là biến cố: “lấy được một số chia hết cho 3” $\Rightarrow A = \{6; 9\} \Rightarrow n (A) = 2.$

Vậy xác suất của biến cố A là $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} .$

Chọn C.

Câu 21:

12/07/2024

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên $ℝ$ và có bảng xét dấu f'(x) như sau:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên và có bảng xét dấu f'(x) như sau: Mệnh đề (ảnh 1)

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị.

B. Hàm số y = f(x) có ba điểm cực trị.

C. Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 1.

D. Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = -1.

Xem đáp án

Dựa vào BXD ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị x = -1, x = 1 trong đó x = -1 là điểm cực tiểu, x = 1 là điểm cực đại.

Do đó chỉ có đáp án A đúng.

Chọn A.

Câu 22:

Tập nghiệm S của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x + 1) < \log_{\frac{1}{2}} (2 x - 1)$ là:

A. $(\frac{1}{2}; 2)$

B. $(- \infty; 2)$

C. $(2; + \infty)$

D. (-1; 2)

Xem đáp án

$\log_{\frac{1}{2}} (x + 1) < \log_{\frac{1}{2}} (2 x - 1)$

$\Leftrightarrow x + 1 > 2 x - 1 > 0$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x < 2 \\ x > \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 2$

Vậy $S = (\frac{1}{2}; 2) .$

Chọn A.

Câu 23:

Trong không gian Oxyz, vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d : \frac{x}{2} = \frac{y + 1}{- 3} = \frac{z}{1} .$

A. $\vec{u} = (1; - 3; 2) .$

B. $\vec{u} = (- 2; 3; - 1)$

C. $\vec{u} = (2; - 3; - 1)$

D. $\vec{u} = (2; 3; - 1)$

Xem đáp án

Trong không gian Oxyz đường thẳng $d : \frac{x}{2} = \frac{y + 1}{- 3} = \frac{z}{1}$ có 1 VTCP là (2; -3; 1) nên $\vec{u} = (- 2; 3; - 1)$ cũng là 1 VTCP của d.

Chọn B.

Câu 24:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{1} = 2$ và công bội q = 3. Giá trị $u_{2}$ bằng:

A. 5

B. 9

C. 8

D. 6

Xem đáp án

$u_{2} = u_{1} . q = 2.3 = 6.$

Chọn D.

Câu 25:

23/07/2024

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm

A. x = 5

B. x = 0

C. x = 1

D. x = 2

Xem đáp án

Dựa vào BBT ta thấy $x_{C T} = 0.$

Chọn B.

Câu 26:

Cho $F (x) = \int_{}^{} (3 x^{2} + 2 x + 5) d x .$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $F (x) = x^{3} + x^{2} + 5$

B. $F (x) = x^{3} + x + 5$

C. $F (x) = x^{3} + x^{2} + 5 x + C$

D. $F (x) = x^{3} + x^{2} + C$

Xem đáp án

$F (x) = \int_{}^{} (3 x^{2} + 2 x + 5) d x = x^{3} + x^{2} + 5 x + C$

Chọn C.

Câu 27:

17/07/2024

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $ℝ$ ?

A. $y = - x^{2} + 2$

B. $y = - 2021 x + 1$

C. $y = x^{2} - 3 x + 4$

D. $y = \frac{1}{x - 1}$

Xem đáp án

Xét đáp án B: Hàm số có TXĐ D = $ℝ$ và có $y' = - 2021 < 0 \forall x \in ℝ$ nên hàm số $y = - 2021 x + 1$ nghịch biến trên $ℝ$

Chọn B.

Câu 28:

23/07/2024

Đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

A. -2

B. 1

C. -1

D. 2

Xem đáp án

Cho $y = 0 \Rightarrow \frac{x - 2}{x + 1} = 0 \Leftrightarrow x = 2.$

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.

Chọn D.

Câu 29:

Cho hàm số $f (x) = e^{3 x} .$ Họ nguyên hàm của hàm số f(x) là:

A. $3 e^{3 x} + C$

B. $\frac{1}{3} e^{x} + C$

C. $\frac{1}{3} e^{3 x} + C$

D. $3 e^{x} + C$

Xem đáp án

$\int_{}^{} f (x) d x = \int_{}^{} e^{3 x} d x = \frac{1}{3} e^{3 x} + C .$

Chọn C.

Câu 30:

Với a là số thực dương tùy ý, log(100a) bằng:

A. 2 + loga

B. $\frac{1}{2} + \log a$

C. 2loga

D. ${(\log a)}^{2}$

Xem đáp án

$\log (100 a) = \log 100 + \log a = 2 + \log a .$

Chọn A.

Câu 31:

17/07/2024

Với x là số thực dương tùy ý, $\sqrt[3]{x^{5}}$ bằng

A. $x^{15}$

B. $x^{\frac{3}{5}}$

C. $x^{8}$

D. $x^{\frac{5}{3}}$

Xem đáp án

$\sqrt[3]{x^{5}} = x^{\frac{5}{3}} .$

Chọn D.

Câu 32:

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của điểm A(3; 4; 1) trên mặt phẳng (Oxy)?

A. P(3; 0; 1)

B. Q(0; 4; 1)

C. M(0; 0; 1)

D. N(3; 4; 0)

Xem đáp án

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(3; 4; 1) trên mặt phẳng (Oxy) là N(3; 4; 0)

Chọn D.

Câu 33:

Nghiệm của phương trình $4^{2 x - 1} = 64$ là:

A. x = 1

B. x = 2

C. x = -1

D. x = 3

Xem đáp án

$4^{2 x - 1} = 64 \Leftrightarrow 4^{2 x - 1} = 4^{3} \Leftrightarrow 2 x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 2.$

Chọn B.

Câu 34:

Tích phân $\int_{- 1}^{2} 2 x d x$ bằng:

A. 3

B. 6

C. -3

D. -6

Xem đáp án

$\int_{- 1}^{2} 2 x d x = x^{2} |\begin{array}{l} 2 \\ - 1 \end{array} = 2^{2} - {(- 1)}^{2} = 3$

Chọn A.

Câu 35:

Đồ thị dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 2$

B. $y = x^{4} - 3 x^{2} + 2$

C. $y = x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$

D. $y = (x^{2} - 1) (x + 2)$

Xem đáp án

Đồ thị hình trên là đồ thị hàm đa thức bậc ba nên loại ngay đáp án B.

Đồ thị có nhánh cuối đi lên nên hệ số của $x^{3}$ dương, do đó loại đáp án A.

Đồ thị đi qua điểm (2; 0) nên loại đáp án D.

Chọn B.

Câu 36:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có $A B = 3, B C = 2, A D' = \sqrt{5} .$ Gọi I là trung điểm của BC. Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (AID') bằng

A. $\frac{\sqrt{46}}{46}$

B. $\frac{\sqrt{46}}{23}$

C. $\frac{3 \sqrt{46}}{23}$

D. $\frac{3 \sqrt{46}}{46}$

Xem đáp án

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 3, BC = 2, AD' = căn bậc hai của 5 (ảnh 1)

Gọi $O = A D' \cap A' D \Rightarrow I = A' D \cap (A D' I) .$

Do đó $\frac{d (A' (A D' I))}{d (D; (A D' I))} = \frac{O A'}{O D} = 1 \Rightarrow d (A'; (A D' I)) = d (D; (A D' I))$ .

Trong (ABCD) dựng $D M ⊥ A I,$ trong (DD'M) dựng $D H ⊥ D' M (H \in D' M)$ ta có:

$\{\begin{cases} A I ⊥ D M \\ A I ⊥ D D' \end{cases} \Rightarrow A I ⊥ (D D' M) \Rightarrow A I ⊥ D H$

$\{\begin{cases} D H ⊥ D' M \\ D H ⊥ A I \end{cases} \Rightarrow D H ⊥ (A D' I) \Rightarrow d (D; (A D' I)) = D H$

Ta có

$S_{A D I} = S_{A B C D} - S_{A B I} - S_{C D I}$

$= A B . B C - \frac{1}{2} A B . \frac{1}{2} B C - \frac{1}{2} C D . \frac{1}{2} B C$

$= \frac{1}{2} A B . B C = \frac{1}{2} .3.2 = 3$

Lại có $S_{A D I} = \frac{1}{2} D M . A I \Rightarrow D M = \frac{2 S_{A D I}}{A I} = \frac{2.3}{\sqrt{A B^{2} + B I^{2}}} = \frac{6}{\sqrt{3^{2} + 1^{2}}} = \frac{6}{\sqrt{10}}$

Áp dụng định lí Pytago: $D D' = \sqrt{A D'^{2} - A D^{2}} = \sqrt{5 - 4} = 1.$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông DD'M có: $D H = \frac{D D' . D M}{\sqrt{D D'^{2} + D M^{2}}} = \frac{1. \frac{6}{\sqrt{10}}}{\sqrt{1 + \frac{18}{5}}} = \frac{3 \sqrt{46}}{23} .$

Vậy $d (A'; (A D' I)) = \frac{3 \sqrt{46}}{23} .$

Chọn C.

Câu 37:

Gọi E là tập hợp tất cả các số nguyên dương y sao cho với mỗi số y có không quá 4031 số nguyên x thỏa mãn $\log_{2}^{2} x - 3 y \log_{2} x + 2 y^{2} < 0.$ Tập E có bao nhiêu phần tử?

A. 4

B. 6

C. 8

D. 5

Xem đáp án

ĐKXĐ: x > 0

Coi bất phương trình đã cho có y là tham số.

Ta có $Δ = {(3 y)}^{2} - 4.2 y^{2} = y^{2} \geq 0 \forall y .$

Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm $\frac{3 y - y}{2} < \log_{2} x < \frac{3 y + y}{2} \Leftrightarrow y < \log_{2} x < 2 y \Leftrightarrow 2^{y} < x < 2^{2 y} .$

$\Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S = (2^{y}; 2^{2 y}) .$

Theo bài ra ta có: Có không quá 4031 số nguyên x thỏa mãn phương trình nên $2^{2 y} - 2^{y} + 1 - 2 \leq 4031$ (trừ đi 2 đầu mút).

$\Leftrightarrow 2^{2 y} - 2^{y} - 4032 \leq 0$

$\Leftrightarrow - 63 \leq 2^{y} \leq 64$

$\Leftrightarrow y \leq 6$

Kết hợp điều kiện y là số nguyên dương $\Rightarrow$ Có 6 giá trị của y thỏa mãn.

Chọn B.

Câu 38:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3; 3; -2) và hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z}{1}; d_{2} : \frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{4} .$ Đường thẳng d đi qua M cắt $d_{1}, d_{2}$ lần lượt tại A và B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng:

A. 2

B. $\sqrt{6}$

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Vì $A \in d_{1} \Rightarrow A (1 + a; 2 + 3 a; a), B \in d_{2} \Rightarrow B (- 1 - b; 1 + 2 b; 2 + 4 b) .$

Ta có

$\vec{M A} = (a - 2; 3 a - 1; a + 2)$

$\vec{M B} = (- b - 4; 2 b - 2; 4 b + 4)$

Vì $M, A, B \in d$ nên chúng thẳng hàng, do đó tồn tại số thực $k \neq 0$ sao cho $\vec{M A} = k \vec{M B}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a - 2 = k (- 4 - b) \\ 3 a - 1 = k (2 b - 2) \\ a + 2 = k (4 b + 4) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 0 \\ b = 0 \\ k = \frac{1}{2} \end{cases}$

$\Rightarrow A (- 2; - 1; 2), B (- 4; - 2; 4) .$

Vậy $A B = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}} = 3.$

Chọn D.

Câu 39:

12/07/2024

Có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn $|z - 3 i| = |1 - i . \bar{z}|$ và $z - \frac{9}{z}$ là số thuần ảo?

A. 0.

B. 3.

C. 1.

D. 2.

Xem đáp án

Đặt $z = x - y i (z \neq 0) \Rightarrow \bar{z} = x - y i .$

Theo bài ra ta có:

$|z - 3 i| = |1 - i . \bar{z}|$

$\Leftrightarrow |x + y i - 3 i| = |1 - i . (x - y i)|$

$\Leftrightarrow |x + y i - 3 i| = |1 - y - x i|$

$\Leftrightarrow x^{2} + {(y - 3)}^{2} = {(1 - y)}^{2} + x^{2}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} y - 3 = 1 - y \\ y - 3 = y - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 2 \\ v o n g h i e m \end{array}$

Ta lại có:

$z - \frac{9}{z} = x + 2 i - \frac{9}{x + 2 i} = x + 2 i - \frac{9 (x - 2 i)}{x^{2} + 4} = x - \frac{9 x}{x^{2} + 4} + (2 + \frac{18}{x^{2} + 4}) i$ là số thuần ảo.

$\Rightarrow x - \frac{9 x}{x^{2} + 4} = 0 \Leftrightarrow x (1 - \frac{9}{x^{2} + 4}) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} + 4 = 9 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{5} \end{array}$

Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu.

Chọn B.

Câu 40:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A (1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 3), D (1; 2; 3) .$ Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC) bằng:

A. $\frac{13 \sqrt{14}}{14}$

B. $\sqrt{14}$

C. $\frac{12}{7}$

D. $\frac{18}{7}$

Xem đáp án

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 6 x + 3 y + z - 6 = 0.$

Vậy $d (D; (A B C)) = \frac{|6.1 + 3.2 + 2.3 - 6|}{\sqrt{6^{2} + 2^{2} + 3^{2}}} = \frac{12}{7} .$

Chọn C.

Câu 41:

Trong không gian Oxyz tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 z - 2 y - 4 z + m = 0

là phương trình của một mặt cầu.

A. m > 6

B. m < 6

C. $m \geq 6$

D. $m \leq 6$

Xem đáp án

Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y - 4 z + m = 0$ là phương trình mặt cầu khi $1^{2} + 1^{2} + 2^{2} - m > 0 \Leftrightarrow m < 6.$

Chọn B.

Câu 42:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC với mặt phẳng (SAB) bằng $30^{0} .$ Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:

A. $\frac{8 a^{3}}{3}$

B. $\frac{8 \sqrt{2} a^{3}}{3}$

C. $\frac{2 \sqrt{2} a^{3}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{2} a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc (ảnh 1)

Ta có: $\{\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow S B$ là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAB)

$\Rightarrow ∠ (S C; (S A B)) = ∠ (S C; S B) = ∠ B S C = 30^{0} .$

Xét tam giác vuông SBC có $S B = B C . \cot 30^{0} = 2 a \sqrt{3} .$

Xét tam giác vuông $S A B : S A = \sqrt{S B^{2} - A B^{2}} = \sqrt{12 a^{2} - 4 a^{2}} = 2 \sqrt{2} a .$

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} .2 \sqrt{2} a . {(2 a)}^{2} = \frac{8 \sqrt{2} a^{3}}{3} .$

Chọn B.

Câu 43:

23/07/2024

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25.$ Từ điểm A thay đổi trên đường thẳng $(Δ) : \{\begin{cases} x = 10 + t \\ y = - t \\ z = 10 + t \end{cases},$ kẻ các tiếp tuyến AB, AC, AD tới mặt cầu (S) với B, C, D là các tiếp điểm. Biết mặt phẳng (BCD) luôn chứa một đường thẳng cố định. Góc giữa đường thẳng cố định với mặt phẳng (Oxy) bằng:

A. $60^{0}$

B. $30^{0}$

C. $45^{0}$

D. $90^{0}$

Xem đáp án

Gọi M(x; y; z) là một tiếp điểm bất kì của tiếp tuyến kẻ từ A đến mặt cầu (S)

$M \in (S) \Rightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25.$

Vì $A \in Δ \Rightarrow A (10 + t; - t; 10 + t)$ .

Vì AM là tiếp tuyến của (S) có tâm O(0; 0; 0), bán kính R = 5 nên $A M ⊥ O M \Rightarrow \vec{A M} . \vec{O M} = 0$

Ta có: $\vec{A M} = (x - 10 - t; y + t; z - 10 - t), \vec{O M} = (x; y; z)$

$\Rightarrow x (x - 10 - t) + y (y + t) + z (z - 10 - t) = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 10 x - t x + y^{2} + t y + z^{2} - 10 z - t z = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 10 x - 10 z - t (x - y + z) = 0$

$\Leftrightarrow 25 - 10 x - 10 z - t (x + y + z) = 0$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 10 z + 10 z = 25 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2 x + 2 z = 5 \end{cases}$

$\Rightarrow (P)$ chứa đường thẳng $d : \{\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2 x + 2 y = 5 \end{cases}$ cố định.

Ta có: $d : \{\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2 x + 2 z = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} z = t \\ y = x + t \\ 2 x = - 2 z + 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x = - 2 t + 5 \\ y = x + t \\ z = t \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{5}{2} - t \\ y = \frac{5}{2} \\ z = t \end{cases}$

$\Rightarrow d$ có 1 VTCP là $\vec{u} = (- 1; 0; 1) .$

Khi đó ta có $\sin (d; (O x y)) = \cos (\vec{u}; \vec{i}) = \frac{|\vec{u} . \vec{i}|}{|\vec{u}| . |\vec{i}|} = \frac{|- 1.1 + 0.0 + 1.0|}{\sqrt{2} .1} = \frac{1}{\sqrt{2}} .$

Vậy $∠ (d; (O x y)) = 45^{0} .$

Chọn C.

Câu 44:

Cho hàm số $y = |2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 (m^{2} + 1) x + 2021|$ . Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên

[-1; 0] đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng bình phương tất cả các phần tử của S bằng:

A. 2021

B. 0

C. 335

D. 670

Xem đáp án

Xét hàm số $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 (m^{2} + 1) x + 2021$ ta có $f' (x) = 6 x^{2} - 6 x + 6 (m^{2} + 1) .$

Ta có $f' (x) = 6 (x^{2} - x + 1 + m^{2}) > 0 \forall x \in (- 1; 0), \forall m$ do đó hàm số f(x) đồng biến trên [-1; 0].

$\Rightarrow \min_{[- 1; 0]} f (x) = f (- 1) = - 6 m^{2} + 2010$

$\max_{[- 1; 0]} f (x) = f (0) = 2021$

$\Rightarrow \max_{[- 1; 0]} |f (x)| = \max \{|- m^{2} + 2010|; 2021\} .$

TH1:

$\{\begin{cases} \max_{[- 1; 0]} |f (x)| = |- m^{2} + 2010| \\ |- 6 m^{2} + 2010| \geq 2021 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \max_{[- 1; 0]} |f (x)| = |- m^{2} + 2010| \\ [\begin{array}{l} - 6 m^{2} + 2010 \geq 2021 \\ - 6 m^{2} + 2010 \leq - 2021 \end{array} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \max_{[- 1; 0]} |f (x)| = |- 6 m^{2} + 2010| \\ [\begin{array}{l} 6 m^{2} \leq - 1 (v o n g h i e m) \\ - 6 m^{2} + 2010 \leq - 2010 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \max_{[- 1; 0]} |f (x)| = |- 6 m^{2} + 2010| \\ m^{2} \geq \frac{4031}{6} \end{cases}$

$\Rightarrow - 6 m^{2} + 2010 \leq - 2010$

$\Rightarrow \max_{[- 1; 0]} |f (x)| \geq 2021 \forall m^{2} \geq \frac{4031}{6}$

$\Rightarrow \min (\max_{[- 1; 0]} |f (x)|) = 2021 \Leftrightarrow m^{2} = \frac{4031}{6}$

TH2:

$\{\begin{cases} \max_{[- 1; 0]} |f (x)| = 2021 \\ 2021 \geq |- 6 m^{2} + 2010| \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \max_{[- 1; 0]} |f (x)| = 2021 \\ - 2021 \leq 6 m^{2} + 2010 \leq 2021 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \max_{[- 1; 0]} |f (x)| = 2021 \\ - \frac{1}{6} \leq m^{2} \leq \frac{4031}{6} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \max_{[- 1; 0]} |f (x)| = 2021 \\ 0 \leq m^{2} \leq \frac{4031}{6} \end{cases}$

$\Rightarrow \min (\max_{[- 1; 0]} |f (x)|) = 2021 \Leftrightarrow 0 \leq m^{2} \leq \frac{4031}{6}$

Vậy $S = [- \sqrt{\frac{4031}{6}}; \sqrt{\frac{4031}{6}}] .$

Do S là tập đối xứng nên tổng các phần tử của S bằng 0.

Chọn B.

Câu 45:

Cho hàm số $y = x^{4} - 3 x^{2} + m$ có đồ thị là $(C_{m})$ với m là số thực. Giả sử $(C_{m})$ cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ.

Cho hàm số y = x^4 - 3^2 + m có đồ thị là (Cm) với m là số thực. Giả sử (Cm) cắt (ảnh 1)

Gọi $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ lần lượt là diện tích các miền gạch chéo được cho như hình vẽ. Biết rằng tồn tại duy nhất giá trị $m = \frac{a}{b}$ với a, b là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ tối giản sao cho $S_{1} + S_{3} = S_{2} .$ Đặt T = a + b. Mệnh đề nào đúng?

A. $T \in (8; 10)$

B. $T \in (10; 13)$

C. $T \in (4; 6)$

D. $T \in (6; 8)$

Xem đáp án

Xét phương trình hoành độ giao điểm $x^{4} - 3 x^{2} + m = 0 (1) .$

Đặt $t = x^{2}$ ta có $t^{2} - 3 t + m = 0 (2) .$

Vì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt nên phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

$\Rightarrow \{\begin{cases} Δ = 9 - 4 m > 0 \\ S = 3 > 0 \\ P = m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow 0 < m < \frac{9}{4} .$

Giả sử $t_{1} < t_{2}$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (2) thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt $- \sqrt{t_{2}} < - \sqrt{t_{1}} < \sqrt{t_{1}} < \sqrt{t_{2}}$ .

Do tính đối xứng nên ta dễ có

$S_{1} = S_{3} = \int_{\sqrt{t_{1}}}^{\sqrt{t_{2}}} (- x^{4} + 3 x^{2} - m) d x$

$= (- \frac{x^{5}}{5} + x^{3} - m x) |\begin{array}{l} \sqrt{t_{2}} \\ \sqrt{t_{1}} \end{array}$

$= - \frac{1}{5} (t_{2}^{2} \sqrt{t_{2}} - t_{1}^{2} \sqrt{t_{1}}) + (t_{2} \sqrt{t_{2}} - t_{1} \sqrt{t_{1}}) - m (\sqrt{t_{2}} - \sqrt{t_{1}})$

$S_{2} = \int_{- \sqrt{t_{1}}}^{\sqrt{t_{1}}} (x^{4} - 3 x^{2} + m) d x = (\frac{x^{5}}{5} - x^{3} + m x) |\begin{array}{l} \sqrt{t_{1}} \\ - \sqrt{t_{1}} \end{array}$

$= 2 (\frac{t_{1}^{2} \sqrt{t_{1}}}{5} - t_{1} \sqrt{t_{1}} + m \sqrt{t_{1}})$

Theo bài ra ta có: $S_{1} + S_{3} = 2 S_{2}$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{5} (t_{2}^{2} \sqrt{t_{2}} - t_{1}^{2} \sqrt{t_{1}}) + (t_{2} \sqrt{t_{2}} - t_{1} \sqrt{t_{1}}) - m (\sqrt{t_{2}} - \sqrt{t_{1}}) = \frac{t_{1}^{2} \sqrt{t_{1}}}{5} - t_{1} \sqrt{t_{1}} + m \sqrt{t_{1}}$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{5} t_{2}^{2} \sqrt{t_{2}} + t_{2} \sqrt{t_{2}} - m \sqrt{t_{2}} = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{t_{2}} (- \frac{1}{5} t_{2}^{2} + t_{2} - m) = 0$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{5} t_{2}^{2} + t_{2} - m = 0 (3)$ (do $t_{2} > 0$ )

Vì $t_{2}$ là nghiệm của phương trình (2) nên $t_{2}^{2} - 3 t_{2} + m = 0 \Leftrightarrow m = - t_{2}^{2} + 3 t_{2} .$

Thay vào (3) ta có:

$- \frac{1}{5} t_{2}^{2} + t_{2} + t_{2}^{2} - 3 t_{2} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{4}{5} t_{2}^{2} - 2 t_{2} = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} t_{2} = 0 (k t m) \\ t_{2} = \frac{5}{2} (t m) \end{array}$

Khi đó $m = - t_{2}^{2} + 3 t_{2} = - {(\frac{5}{2})}^{2} + 3. \frac{5}{2} = \frac{5}{4} (t m) \Rightarrow a = 5, b = 4.$

Vậy $T = a + b = 5 + 4 = 9 \in (8; 10) .$

Chọn A.

Câu 46:

Cho biết $\int_{0}^{1} x^{3} \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) d x = a + b \ln \frac{p}{q}$ với p, q là các số nguyên tố và p > q. Tính $S = 2 a b + p q .$

A. -45

B. 26

C. $\frac{45}{2}$

D. 30

Xem đáp án

Đặt $\{\begin{cases} u = \ln \frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}} \\ d v = x^{3} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{- 16 x}{16 - x^{4}} d x \\ v = \frac{x^{4}}{4} - 4 = \frac{x^{4} - 16}{4} \end{cases} .$

Khi đó ta có:

$\int_{0}^{1} x^{3} \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) d x = (\frac{x^{4} - 16}{4} \ln \frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} - \int_{0}^{1} 4 x d x$

$= \frac{- 15}{4} \ln \frac{3}{5} - 2 x^{2} |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} = \frac{- 15}{4} \ln \frac{3}{5} - 2 = a + b \ln \frac{p}{q}$

$\Rightarrow a = - 2, b = - \frac{15}{4}, p = 3, q = 5.$

Vậy $S = 2 a b + p q = 2. (- 2) . \frac{- 15}{4} + 3.5 = 30.$

Chọn D.

Câu 47:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn $\log \frac{\sqrt{x - 2}}{100 y} = (y - \sqrt{x - 2}) (y + \sqrt{x - 2} + 1) - 2.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{\ln (y^{2} + 2)}{\sqrt[2021]{x}}$ thuộc khoảng nào dưới đây?

A. (800; 900)

B. (500; 600)

C. (700; 800)

D. (600; 700)

Xem đáp án

ĐKXĐ: $\{\begin{cases} \frac{\sqrt{x - 2}}{100 y} > 0 \\ x - 2 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 2 \\ y > 0 \end{cases} .$

Ta có:

$\log \frac{\sqrt{x - 2}}{100 y} = (y - \sqrt{x - 2}) (y + \sqrt{x - 2} + 1) - 2$

$\Leftrightarrow \log \sqrt{x - 2} - \log y - 2 = y^{2} - (x - 2) + y - \sqrt{x - 2} - 2$

$\Leftrightarrow (x + 2) + \sqrt{x - 2} + \log \sqrt{x - 2} = y^{2} + y + \log y$

Xét hàm đặc trưng $f (t) = t^{2} + t + \log t (t > 0)$ ta có $f' (t) = 2 t + 1 + \frac{1}{t \ln 10} > 0 \forall t > 0$ , do đó hàm số đồng biến trên $(0; + \infty)$ .

Do đó $f (\sqrt{x - 2}) = f (y) \Leftrightarrow \sqrt{x - 2} = y \Leftrightarrow x - 2 = y^{2} \Leftrightarrow x = y^{2} + 2 > 2.$

Khi đó ta có: $P = \frac{\ln (y^{2} + 2)}{\sqrt[2021]{x}} = \frac{\ln x}{\sqrt[2021]{x}}$

Xét hàm số $P (x) = \frac{\ln x}{\sqrt[2021]{x}}$ với x > 2 ta có: $P' (x) = \frac{\frac{\sqrt[2021]{x}}{x} - \frac{1}{2021} . x^{\frac{- 2020}{2021}} \ln x}{{(\sqrt[2021]{x})}^{2}}$

$P' (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{\sqrt[2021]{x}}{x} - \frac{1}{2021} . \frac{1}{x^{\frac{2020}{2021}}} \ln x = 0 \Leftrightarrow 2021 x - x \ln x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 (k t m) \\ x = e^{2021} (t m) \end{array}$

BBT:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log căn bậc hai của x - 2/100y = (y - căn bậc hai của x - 2) (ảnh 1)

Vậy $P_{\max} \in (700; 800) .$

Chọn C.

Câu 48:

22/07/2024

Có một cốc thủy tính hình trụ, bán kính trong lòng cốc là 4cm, chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiệm cốc nước vừa lúc chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy.

Có một cốc thủy tính hình trụ, bán kính trong lòng cốc là 4cm, chiều cao trong lòng (ảnh 1)

A, $\frac{320}{3} c m^{3}$

B. $\frac{320 π}{3} c m^{3}$

C. $\frac{160 π}{3} c m^{3}$

D. $\frac{160}{3} c m^{3}$

Xem đáp án

Có một cốc thủy tính hình trụ, bán kính trong lòng cốc là 4cm, chiều cao trong lòng (ảnh 2)

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Thiết diện của mặt phẳng vuông với trục Ox tại x. Suy ra diện tích này là tam giác ABC vuông tại B.

Ta có

$A B = B C . \tan α = \sqrt{R^{2} - x^{2}} . \frac{h}{R} = \sqrt{4 - x^{2}} . \frac{10}{4}$

$\Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . B C = \frac{1}{2} (4 - x^{2}) . \frac{10}{4} = \frac{5}{4} (16 - x^{2})$

$\Rightarrow V = \frac{5}{3} \int_{- 4}^{4} (16 - x^{2}) d x = \frac{320}{3} (c m^{3})$

Chọn A.

Câu 49:

22/07/2024

Cho số phức z thỏa mãn $|z + \bar{z} + 2| + 2 |z - \bar{z} - 2 i| \leq 12.$ Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức $P = |z - 4 - 4 i| .$ Tính

M + m.

A. $\sqrt{5} + \sqrt{130}$

B. $5 + \sqrt{61}$

C. $\sqrt{10} + \sqrt{130}$

D. $\sqrt{10} + \sqrt{61}$

Xem đáp án

Đặt $z = x + y i \Rightarrow \bar{z} = x - y i$ và M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z.

Theo bài ra ta có:

$|z + \bar{z} + 2| + 2 |z - \bar{z} - 2 i| \leq 12 \Leftrightarrow |2 x + 2| + 2 |2 y i - 2 i| \leq 12$

$\Leftrightarrow 2 |x + 1| + 4 |(y - 1) i| \leq 12 \Leftrightarrow |x + 1| + 2 |y - 1| \leq 6 (1)$

$\Rightarrow$ Tập hợp các điểm M thỏa mãn (1) là miền trong (tính cả biên) của hình thoi ABCD với $A (- 7; 1), B (- 1; - 2),$ $C (5; 1), D (- 1; 4)$ như hình vẽ sau:

Cho số phức z thỏa mãn. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của (ảnh 1)

Gọi I(4; 4) là điểm biểu diễn số phức 4 + 4i khi đó ta có $P = |z - 4 - 4 i| = M I .$

Dựa vào hình vẽ ta thấy P đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I lên CD, với CD là đường thẳng có phương trình $x + 2 y - 7 = 0.$

Khi đó ta có $M I = d (I; C D) = \sqrt{5} \Rightarrow P_{\min} = \sqrt{5} = m .$

Tiếp tục ta thấy MI đạt GTLN khi $M \equiv A,$ khi đó $P_{\max} = I A = \sqrt{130} = M .$

Vậy $M + m = \sqrt{5} + \sqrt{130} .$

Chọn A.

Câu 50: