Phương pháp:

Dựa vào các đường tiệm cận và các điểm thuộc đồ thị hàm số.

Cách giải:

Đồ thị hàm số có TCN 

Điểm  thuộc đồ thị hàm số nên ta có  do đó

Vậy

Chọn A.

Phương pháp:

Dựa vào khái niệm tâm đối xứng của khối đa diện.

Cách giải:

Hình đa diện có tâm đối xứng trong các đáp án đã cho là hình lập phương.

Chọn D.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính thể tích chóp $V=\frac{1}{3}{S}_{day}h\Rightarrow h=\frac{3V}{S_{day}}$

Cách giải:

Chiều cao của khối chóp là $h=\frac{3V}{S_{day}}=\frac{3.\sqrt{3}{a}^3}{\frac{{\left(2a\right)}^2\sqrt{3}}{4}}=3a.$

Chọn C.

Phương pháp:

- Diện tích khối trụ có chiều cao h bán kính đáy r là $S_{xq}=2\pi rh$, từ đó tính bán kính đáy của hình trụ.

- Thể tích khối trụ có chiều cao h bán kính đáy r là $V=\pi r^{2}h.$

Cách giải:

Vì khoảng cách giữa hai đáy bằng 10 $\Rightarrow$ Chiều cao của hình trụ h = 10.

Gọi r là bán kính đáy hình trụ ta có $S_{xq}=2\pi rh=80\pi \iff r=4.$

Vậy thể tích khối trụ là $V=\pi r^{2}h=\pi {.4}^2.10=160\pi .$

Chọn A.

Phương pháp:

- Dựa vào phương trình mặt cầu xác định bán kính mặt cầu: Mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0$ có bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}.$

- Diện tích mặt cầu bán kính R là $S=4\pi R^2.$

Cách giải:

Mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2z-4y-6z+5=0$ có bán kính $R=\sqrt{1^2+2^2+3^2-5}=3.$

Vậy diện tích mặt cầu (S) là $S=4\pi R^2=4\pi .9=36\pi .$

Chọn D.

Phương pháp:

Đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có TCĐ $x=-\frac{d}{c}.$

Cách giải:

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{-3x+1}{x-1}$ có phương trình là x = 1.

Chọn C.

Phương pháp:

Sử dụng công thức ${\log }_a{x}^m=m{\log }_{a}x\left(0<a\ne 1,x>0\right)$.

Cách giải:

${\log }_2{a}^2=2{\log }_2\left|a\right|$

Chọn A.

- Hàm số y = f(x) nghịch biến trên TXĐ D khi và chỉ khi $f\text{'}\left(x\right)\le 0\forall x\in D$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

- Sử dụng $-\sqrt{a^2+b^2}\le a\sin x+b\cos x\le \sqrt{a^2+b^2}.$

- Cô lập m đưa bất phương trình về dạng $m\ge g\left(x\right)\forall x\in D\iff m\ge \underset{D}{\max }g\left(x\right).$

Cách giải:

Hàm số đã cho xác định trên $\mathrm{ℝ}$

Ta có $y\text{'}=\sqrt{3}\cos x-\sin x-m.$

Để hàm số đã cho nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$ thì $y\text{'}=\sqrt{3}\cos x-\sin x-m\le 0\forall x\in ℝ.$

$\iff m\ge \sqrt{3}\cos x-\sin x\forall x\in ℝ\left(*\right).$

Ta có $-2\le \sqrt{3}\cos x-\sin x\le 2\forall x\in ℝ$ nên $\left(*\right)\iff m\ge 2.$

Chọn A.

Phương pháp:

Số nghiệm của phương trình f(x) = m là số giao điểm của đồ thị hàm số  y = f(x) và đường thẳng y = m song song với trục hoành.

Cách giải:

Ta có $2f\left(x\right)-3=0\iff f\left(x\right)=\frac{3}{2}.$

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng $y=\frac{3}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 3 điểm phân biệt.

Vậy Số nghiệm thực của phương trình $2f\left(x\right)-3=0$ là 3.

Chọn B.

Phương pháp:

Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l là $S_{xq}=\pi rl.$

Cách giải:

Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy $r=\sqrt{3}$ và độ dài đường sinh l = 4 là

                                         $S_{xq}=\pi rl=\pi .\sqrt{3}.4=4\sqrt{3}\pi .$

Chọn A.

Phương pháp:

Sử dụng MTCT.

Cách giải:

Chọn B.

Phương pháp:

Số điểm cực trị của hàm số $y=\left|f\left(x\right)\right|=m+n$ với m là số điểm cực trị của hàm số y = f(x), n là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với trục hoành (không tính điểm tiếp xúc).

Cách giải:

Hàm số y = f(x) có 2 cực trị và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm nên hàm số $y=\left|f\left(x\right)\right|$ có 2 + 3 = 5 điểm cực trị.

Chọn B.

Phương pháp:

Cho hàm số $y=a^x.$

- Hàm số đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$ khi và chỉ khi a > 1.

- Hàm số nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$ khi và chỉ khi 0 < a < 1.

Cách giải:

Ta có $\sqrt[2020]{\pi }>1$ nên hàm số ${\left(\sqrt[2020]{\pi }\right)}^x$ hàm số đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$.

Chọn D.

Phương pháp:

- Số lẻ không chia hết cho 5 là số có tận cùng bằng {1; 3; 7}

- Sử dụng hoán vị và quy tắc nhân.

Cách giải:

Gọi số có 8 chữ số là $\overline{a_1{a}_2\mathrm{...}{a}_8}$

Vì số lập được là số lẻ không chia hết cho 5 nên $a_8\in \left\{1;3;7\right\}\Rightarrow$ Có 3 cách chọn $a_8$.

Số cách chọn $a_1,a_2,\mathrm{...},a_7$ từ tập 7 chữ số còn lại khác $a_8$ là 7! = 5040 cách.

Vậy số các số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số này lẻ và không chia hết cho 5 là $3.5040=15120$

Chọn D.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất tích phân: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx,\underset{a}{\overset{b}{\int }}kf\left(x\right)dx=k\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\left(k\ne 0\right)$.

Cách giải:

$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left[f\left(x\right)+3g\left(x\right)\right]dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx+3\underset{0}{\overset{2}{\int }}g\left(x\right)dx=3+3.7=24$.

Chọn D.

Phương pháp:

Sử dụng các định lí về cực trị của hàm số.

Cách giải:

Dễ thấy đáp án C sai.

Chọn C.

Phương pháp:

Khai triển nhị thức Niu-tơn: ${\left(a+b\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$

Cách giải:

Ta có: ${\left(x^3+xy\right)}^{15}=\sum _{k=0}^{15}{C}_{15}^k{\left(x^3\right)}^{15-k}{\left(xy\right)}^k=\sum _{k=0}^{15}{C}_{15}^k{x}^{45-2k}{y}^k$

Số hạng chứa $x^{25}{y}^{10}$ ứng với $\left\{\begin{array}{l}45-2k=25\\ k=10\end{array}\right.\iff k=10\left(tm\right).$

Vậy hệ số của $x^{25}{y}^{10}$ trong khai triển ${\left(x^3+xy\right)}^{15}$ là $C_{15}^{10}=3003.$

Chọn B.

Phương pháp:

Dựa vào BBT tìm M

Cách giải:

Dựa vào BBT ta thấy $M=\underset{\left[-1;3\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(0\right)=5.$

Chọn B.

Phương pháp:

Để tính tổng các hệ số trong một khai triển ta thay x = 1.

Cách giải:

Tổng các hệ số của đa thức nhận được khi khai triển nhị thức Niu-tơn ${\left(x+10\right)}^{10}$ thành đa thức là ${\left(1+1\right)}^{10}=1024.$

Chọn D.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính nguyên hàm: $\underset{}{\overset{}{\int }}{x}^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\left(n\ne -1\right),\underset{}{\overset{}{\int }}\sin xdx=-\cos x+C.$

Cách giải:

$\underset{}{\overset{}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{}{\overset{}{\int }}\left(3x-\sin x\right)dx=\frac{3x^2}{2}+\cos x+C.$

Chọn A.

Phương pháp:

Phân tích tử thành nhân tử, triệt tiêu với mẫu để khử dạng 0/0.

Cách giải:

$A=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^4-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=4.$

Chọn C.

Phương pháp:

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là $\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\end{array}\right.$.

Cách giải:

Tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB là $\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_O+x_A+x_B}{3}=\frac{0+1+2}{3}=1\\ y_G=\frac{y_O+y_A+y_B}{3}=\frac{0+2+4}{3}=2\\ z_G=\frac{z_O+z_A+z_B}{3}=\frac{0+4-1}{3}=1\end{array}\right.\Rightarrow G\left(1;2;1\right)$.

Chọn D.  

Phương pháp:

Hàm số $y={\left[f\left(x\right)\right]}^n$ với n là số nguyên âm xác định khi và chỉ khi f(x) xác định và $f\left(x\right)\ne 0.$

Cách giải:

Hàm số $y={\left(x^2-4x+3\right)}^{-2021}$ xác định $\iff x^2-4x+3\ne 0\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x\ne 3\end{array}\right..$

Vậy TXĐ của hàm số $y={\left(x^2-4x+3\right)}^{-2021}$ là $ℝ\backslash \left\{1;3\right\}.$

Chọn C.

Phương pháp:

Sử dụng chỉnh hợp

Cách giải:

Số cách chọn 3 học sinh giữa 3 chức vụ: lớp trưởng, lớp phó và bí thư từ 35 học sinh là $A_{35}^3.$

Chọn C.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính nguyên hàm: $\underset{}{\overset{}{\int }}{x}^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\left(n\ne -1\right),\underset{}{\overset{}{\int }}\cos xdx=\sin x+C,\underset{}{\overset{}{\int }}{e}^{kx}dx=\frac{1}{k}{e}^{kx}+C.$

Cách giải:

Dễ thấy đáp án A, B, C đúng.

Đáp án D sai vì $\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C.$

Chọn D.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}{S}_{day}.h.$

Cách giải:

Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A cạnh huyền bằng $a\sqrt{2}$ nên AB = AC = a.

$\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}{a}^2.$

Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}.\frac{1}{2}{a}^2=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}.$

Chọn C.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất tích phân: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx.$

Cách giải:

$\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{2}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=9+4=13.$

Chọn C.

Phương pháp:

Xác định số nghiệm của phương trình mẫu số không bị triệt tiêu bởi nghiệm của phương trình tử số.

Cách giải:

Phương trình $x^2-1=0\iff x=\pm 1.$

Xét $f^2\left(x\right)-5f\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=0\\ f\left(x\right)=5\end{array}\right..$

Phương trình f(x) = 0 có nghiệm $\left[\begin{array}{l}x=1\left(nghệmkép\right)\\ x=a<-1\end{array}\right.,$ nghiệm kép x = 1 không bị triệt tiêu bởi tử số.

Phương trình f(x) = 5 có nghiệm $x=b>1.$

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 tiệm cận đứng $x=1,x=a,x=b.$

Chọn A.

Phương pháp:

- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=f\text{'}\left(x\right)dx\end{array}\right..$

- Sử dụng giả thiết f(0) = 3 và $f\left(x\right)+f\left(2-x\right)=x^2-2x+2$ tính f(2)

- Từ $f\left(x\right)+f\left(2-x\right)=x^2-2x+2$ lấy tích phân từ 0 đến 2 hai vế, sau đó tính $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(2-x\right)dx$ bằng phương pháp đưa biến vào vi phân.

Cách giải:

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=f\text{'}\left(x\right)dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=dx\\ v=f\left(x\right)\end{array}\right..$

$\Rightarrow I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}x.f\text{'}\left(x\right)dx=xf\left(x\right)\left|\begin{array}{l}2\\ 0\end{array}\right.-\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$

     $=2f\left(2\right)-\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$

Theo bài ra ta có $f\left(x\right)+f\left(2-x\right)=x^2-2x+2.$ Thay $x=0\Rightarrow f\left(0\right)+f\left(2\right)=2\Rightarrow f\left(2\right)=2-f\left(0\right)=-1.$

Lấy tích phân từ 0 đến 2 hai vế ta có $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(2-x\right)dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-2x+2\right)dx=\frac{8}{3}.$

Mà $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(2-x\right)dx=-\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(2-x\right)d\left(2-x\right)=-\underset{2}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$

$\Rightarrow 2\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{8}{3}\iff \underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{4}{3}.$

Vậy $\Rightarrow I=2f\left(2\right)-\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=2.\left(-1\right)-\frac{4}{3}=-\frac{10}{3}.$

Chọn A.