50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (Đề 3)

Có bao nhiêu cách chọn ra 9 học sinh từ một nhóm có 14 học sinh?

A. $A_{14}^{9}$

B. $14^{9}$

C. $C_{14}^{9}$

D. 14!

Xem đáp án

Mỗi cách chọn 9 học sinh từ 14 học sinh là một tổ hợp chập 9 của 14 phần tử, nên có cách chọn.

Chọn C.

Câu 2:

23/07/2024

Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm f'(x)như sau:

Hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Ta thấy f'(x) đổi dấu 2 lần nên hàm số y = f(x) có 2 điểm cực trị.

Chọn B.

Câu 3:

Nếu $\int_{1}^{2} [2 f (x) - 1] d x = 3$ thì $\int_{1}^{2} f (x) d x$ bằng

A. 1

B. -2

C. 0

D. 2

Xem đáp án

$\int_{1}^{2} [2 f (x) - 1] d x = 3 \Leftrightarrow 2 \int_{1}^{2} f (x) - \int_{1}^{2} d x = 3$

$\Leftrightarrow 2 \int_{1}^{2} f (x) - x |\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array} = 3 \Leftrightarrow 2 \int_{1}^{2} f (x) - (2 - 1) = 3$

$\Leftrightarrow \int_{1}^{2} f (x) = 2.$

Chọn D.

Câu 4:

21/07/2024

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = \cos (3 x + \frac{π}{6})

là

A. $\int f (x) d x = \frac{1}{3} \sin (3 x + \frac{π}{6}) + C$

B. $\int f (x) d x = - \frac{1}{3} \sin (3 x + \frac{π}{6}) + C$

C. $\int f (x) d x = \sin (3 x + \frac{π}{6}) + C$

D. $\int f (x) d x = \frac{1}{6} \sin (3 x + \frac{π}{6}) + C$

Xem đáp án

Áp dụng công thức $\int \cos a x d x = \frac{1}{a} \sin a x + C$

Chọn A.

Câu 5:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 1

và điểm M thay đổi trên mặt cầu. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng OM bằng

A. 2

B. 3

C. 1

D. 4

Xem đáp án

Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; -2) và bán kính R = 1.

OM lớn nhất khi và chỉ khi $O M = O I + R = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{2}} + 1 = 4.$

Chọn D.

Câu 6:

Đạo hàm của hàm số

y = 7^{x}

là:

A. $y^{'} = 6^{x} .$

B. $y^{'} = 7^{x} . \ln 7.$

C. $y^{'} = 7^{x - 1} \ln 7.$

D. $y^{'} = x {.7}^{x - 1} .$

Xem đáp án

Theo công thức đạo hàm của hàm số mũ: $(a^{x})' = a^{x} \ln a .$

Do đó, ta có: $y' = 7^{x} \ln 7.$

Chọn B.

Câu 7:

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt được lấy từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, xác suất chọn được số chứa đúng 3 chữ số lẻ là

A. $\frac{23}{42}$

B. $\frac{10}{21}$

C. $\frac{16}{42}$

D. $\frac{16}{21}$

Xem đáp án

+ Số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt được lấy từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có $n (Ω) = A_{9}^{6}$ (số)

+ Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt chứa đúng 3 số lẻ.

Chọn 3 số lẻ trong số $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ và chọn 3 số chẵn trong số $\{2, 4, 6, 8\}$ sau đó sắp xếp chúng thành một số tự nhiên gồm 6 chữ số, do đó $n (A) = C_{5}^{3} . C_{4}^{3} .6!$ (số).

Vậy $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{C_{5}^{3} . C_{4}^{3} .6!}{A_{9}^{6}} = \frac{10}{21} .$

Chọn B.

Câu 8:

Cho hình trụ (T)có chiều cao h, độ dài đường sinh l, bán kính đáy r. Ký hiệu $V_{(T)}$ là thể tích khối trụ (T). Công thức nào sau đây là đúng?

A. $V_{(T)} = 2 π r^{2} h$

B. $V_{(T)} = \frac{1}{3} π r h$

C. $V_{(T)} = π r l^{2}$

D. $V_{(T)} = π r^{2} h$

Xem đáp án

Thể tích khối trụ: $V_{(T)} = B . h$ với B là diện tích đáy, h là chiều cao của khối trụ.

Do đó $V_{(T)} = π r^{2} h .$

Chọn D.

Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua $A (1; - 2; 3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P) : x + 2 y - 2 z + 1 = 0 ?$

A. $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 2 + 2 t \\ z = - 3 - 2 t \end{cases} .$

B. $\{\begin{cases} x = t \\ y = - 4 + 2 t \\ z = 5 - 2 t \end{cases} .$

C. $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 t \\ z = 1 - 2 t \end{cases} .$

D. $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2 t \\ z = 3 - 2 t \end{cases} .$

Xem đáp án

Phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(P) : x + 2 y - 2 z + 1 = 0$ nên vectơ chỉ phương của đường thẳng chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) tức là $\vec{u} = \vec{n_{(P)}} = (1; 2; - 2) .$

Phương trình đường thẳng đi qua $A (1; - 2; 3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P) : x + 2 y - 2 z + 1 = 0$ cũng đi qua điểm $B (0; - 4; 5),$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 2; - 2)$ có phương trình là $\{\begin{cases} x = t \\ x = - 4 + 2 t \\ x = 5 - 2 t \end{cases} .$

Chọn B.

Câu 10:

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SB hợp với mặt phẳng đáy một góc $60 ° .$ Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) bằng

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với (ảnh 1)

A. $a \sqrt{3} .$

B. $\frac{a}{2} .$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{2} .$

D. $\frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Xem đáp án

Ta có $S B \cap (A B C D) = \{B\}$

Có $S A ⊥ (A B C D)$

Nên $(S B, (A B C D)) = (S B, B A) = \hat{S B A} = 60^{0} .$

Xét tam giác vuông SAB có $S A = A B . \tan 60^{0} = a \sqrt{3} .$

Ta có $A D / / B C \Rightarrow A D / / (S B C) \Rightarrow d (D, (S B C)) = d (A, (S B C))$

Chọn C.

Câu 11:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{6} = 9$ và $u_{7} = 15$ . Giá trị của $u_{8}$ bằng

A. 6

B. 24

C. 21

D. -6

Xem đáp án

Ta có $\{\begin{cases} u_{6} = u_{1} + 5 d \\ u_{7} = u_{1} + 6 d \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} + 5 d = 9 \\ u_{1} + 6 d = 15 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = - 21 \\ d = 6 \end{cases}$

Giá trị của $u_{8} = u_{1} + 7 d = - 21 + 7.6 = 21.$

Chọn C.

Câu 12:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; c] và a < b < c. Biết $\int_{a}^{b} f (x) d x = 10$ , $\int_{b}^{c} f (x) d x = 5$ . Tính $\int_{a}^{c} f (x) d x$

A. -15

B. 15

C. 5

D. -5

Xem đáp án

Do hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; c] và a < b < c nên ta có:

$\int_{a}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x = 10 + 5 = 15.$

Chọn B.

Câu 13:

Với a là số thực dương tùy ý, $\sqrt{a \sqrt{a}}$ bằng

A. $a^{\frac{1}{2}}$

B. $a^{\frac{5}{4}}$

C. $a^{\frac{1}{4}}$

D. $a^{\frac{3}{4}}$

Xem đáp án

Ta có $\sqrt{a \sqrt{a}} = \sqrt{a . a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{a^{\frac{3}{2}}} = a^{\frac{3}{4}} .$

Chọn D.

Câu 14:

Tập nghiệm S của bất phương trình ${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 4 x} < 8$ là

A. $S = (- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$

B. $S = (1; + \infty)$

C. $S = (1; 3)$

D. $S = (- \infty; 3)$

Xem đáp án

Ta có ${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 4 x} < 8 \Leftrightarrow 2^{- x^{2} + 4 x} < 2^{3} \Leftrightarrow - x^{2} + 4 x < 3 \Leftrightarrow - x^{2} + 4 x - 3 < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x < 1 \\ x > 3 \end{array} .$

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 4 x} < 8$ là $S = (- \infty; 1) \cup (3; + \infty) .$

Chọn A.

Câu 15:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 1; 0) và B(0; 1; 2). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB?

A. $\vec{c} = (- 1; 1; 2)$

B. $\vec{d} = (- 1; 0; - 2)$

C. $\vec{b} = (1; 2; 2)$

D. $\vec{a} = (- 1; 0; 2)$

Xem đáp án

Ta có $\vec{A B} = (- 1; 0; 2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Chọn D.

Câu 16:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:

A. x = 2

B. x = 0

C. x = 1

D. x = 5

Xem đáp án

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là x = 0.

Chọn B.

Câu 17:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $(P) : 3 x + 2 y - 13 = 0$ .

A. $I (3; 2; - 13)$

B. $N (- 2; - 3; 1)$

C. $Q (13; 2; 3)$

D. $M (1; 2; - 2)$

Xem đáp án

Thay tọa độ từng điểm của phương án A vào phương trình mặt phẳng (P) ta thấy 3.3 + 2.2 -13 = 0 (thỏa mãn). Vậy điểm I(3; 2; -13) thuộc mặt phẳng (P).

Chọn A.

Câu 18:

Tính tích phân

I = \int_{0}^{1} \frac{4}{2 x + 1} d x

A. I = 4ln2

B. I = 2ln3

C. I = 4ln3

D. I = 2ln2

Xem đáp án

$I = \int_{0}^{1} \frac{4}{2 x + 1} d x = 4 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x + 1} d x = 4. \frac{1}{2} \ln |2 x + 1| |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} = 2 (\ln 3 - \ln 1) = 2 \ln 3.$

Chọn B.

Câu 19:

Anh A vay trả góp ngân hàng số tiền 500 triệu đồng với lãi suất 0,8%/tháng. Mỗi tháng trả 10 triệu đồng. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì Anh A trả hết nợ, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất ngân hàng và số tiền trả hàng tháng của anh A là không thay đổi.

A. 61

B. 60

C. 63

D. 65

Xem đáp án

Đây là bài toán vay vốn trả góp.

Áp dụng công thức tính số tiền còn lại sau n tháng vay $(n \in ℕ^{*})$ là:

$S_{n} = A {(1 + r)}^{n} - X \frac{{(1 + r)}^{n} - 1}{r} .$

Trong đó số tiền vay là A = 500 triệu đồng, lãi suất r = 0,8%tháng, số tiền trả hàng tháng là X = 10 triệu đồng. Ta có $S_{n} = 500 {(1 + 0, 8 %)}^{n} - 10. \frac{{(1 + 0, 8 %)}^{n} - 1}{0, 8 %}$

Để sau đúng n tháng hết nợ thì $S_{n} = 0 \Leftrightarrow 500 {(1 + 0, 8 %)}^{n} - 10. \frac{{(1 + 0, 8 %)}^{n} - 1}{0, 8 %} = 0.$

$\Leftrightarrow {(1 + 0, 8 %)}^{n} (500 - \frac{10}{0, 8 %}) = - \frac{10}{0, 8 %}$

$\Leftrightarrow {(1 + 0, 8 %)}^{n} = \frac{5}{3}$

$\Leftrightarrow n = \log_{1, 008} \frac{5}{3} ≃ 64, 11$

Vậy sau 65 tháng, anh A trả hết nợ ngân hàng.

Chọn D.

Câu 20:

Họ nguyên hàm của hàm số: $y = x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}$ là

A. $\int f (x) d x = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \ln x + C$

B. $\int f (x) d x = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \ln |x| + C$

C. $\int f (x) d x = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2} x^{2} + \ln x + C$

D. $\int f (x) d x = 2 x - 3 - \frac{1}{x^{2}} + C$

Xem đáp án

$\int (x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}) d x = \int x^{2} d x - \int 3 x d x + \int \frac{1}{x} d x = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \ln |x| + C .$

Chọn B.

Câu 21:

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: $y = \frac{2 x - 3}{x - 2}$ là đường thẳng:

A. y = 2

B. $x = \frac{3}{2}$

C. x = -2

D. x = 2

Xem đáp án

Tập xác định của hàm số: $D = ℝ \ \{2\} .$

Ta có: $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 x - 3}{x - 2} = + \infty, \lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 3}{x - 2} = - \infty .$

Vậy đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có phương trình là x = 2.

Chọn D.

Câu 22:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 4$ . Tọa độ tâm của mặt cầu là

A. (1; -2; 1)

B. (1; 2; 2)

C. (1; -2; -1)

D. (-1; 2; 1)

Xem đáp án

Tọa độ tâm mặt cầu là (1; -2; -1)

Chọn C.

Câu 23:

Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC có diện tích bằng 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = 4. Thể tích của khối chóp là

A. 8

B. $\frac{16}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{8}{3}$

Xem đáp án

Thể tích của khối chóp $V = \frac{1}{3} B . h = \frac{1}{3} .2.4 = \frac{8}{3} .$

Vậy thể tích của khối chóp đã cho bằng $\frac{8}{3} .$

Chọn D.

Câu 24:

Số phức liên hợp của số phức: z = -1 + 2i là số phức:

A. $\bar{z} = - 1 - 2 i$

B. $\bar{z} = 1 - 2 i$

C. $\bar{z} = - 2 + i$

D. $\bar{z} = 2 - i$

Xem đáp án

Số phức z = -1 + 2i có số phức liên hợp là $\bar{z} = - 1 - 2 i .$

Chọn B.

Câu 25:

23/07/2024

Nghiệm của phương trình $\log_{3} (2 x) = 2$ là:

A. $x = \frac{9}{2}$

B. x = 3

C. x = 6

D. $x = \frac{5}{2}$

Xem đáp án

Ta có: $\log_{3} (2 x) = 2 \Leftrightarrow 2 x = 3^{2} \Leftrightarrow x = \frac{9}{2} .$

Chọn A.

Câu 26:

Cho số phức z = 6 + 7i. Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn là:

A. P(-6; 7)

B. P(6; 7)

C. P(6; -7)

D. (-6; -7)

Xem đáp án

Ta có: $z = 6 + 7 i \Rightarrow \bar{z} = 6 - 7 i$

Vậy điểm biểu diễn của $\bar{z}$ là: (6; -7).

Chọn C.

Câu 27:

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên

B B^{'} = a \sqrt{6} .

Hình chiếu vuông góc H của A trên mặt phẳng (A'B'C') trùng với trọng tâm của tam giác A'B'C' (tham khảo hình vẽ). Côsin của góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên (ảnh 1)

A. $\frac{\sqrt{2}}{6} .$

B. $\frac{\sqrt{3}}{6} .$

C. $\frac{\sqrt{2}}{3} .$

D. $\frac{\sqrt{15}}{15} .$

Xem đáp án

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên (ảnh 2)

Gọi M là trung điểm của $B' C' \Rightarrow A' M = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Ta có: $[\hat{A A', (A' B' C')}] = (\hat{A A', A' H}) = \hat{A A' H}$

Xét tam giác vuông AA'H có: $A' H = \frac{2}{3} A M = \frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3} .$

$\cos A A' H = \frac{A' H}{A A'} = \frac{a \sqrt{3}}{3} : a \sqrt{6} = \frac{\sqrt{2}}{6} .$

Chọn A.

Câu 28:

Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AC = a và BC = 2a. Tính diện tích xung quanh của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB.

A. $4 π a^{2}$

B. $2 π a^{2}$

C. $2 π a^{2} \sqrt{3}$

D. $π a^{2}$

Xem đáp án

Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AC = a và BC = 2a. Tính diện tích (ảnh 1)

Diện tích xung quanh của hình nón là $S_{x q} = π r l = π . A C . B C = π . a .2 a = 2 π a^{2} .$

Chọn B.

Câu 29:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên sau

Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?

A. $(0; + \infty)$

B. $(0; + \infty)$

C. $(- 1; 0)$

D. $(- \infty; 0)$

Xem đáp án

Theo lý thuyết.

Chọn B.

Câu 30:

Cho số phức z thỏa mãn $z - 1 = \frac{z - 18}{z - 2}$ và có phần ảo âm. Mô đun của số phức $\frac{z + 4 i}{\bar{z} - 2 i}$ bằng

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

$z - 1 = \frac{z - 18}{z - 2} \Leftrightarrow (z - 1) (z - 2) = z - 18 \Leftrightarrow z^{2} - 4 z + 20 = 0 \Leftrightarrow {(z - 2)}^{2} = - 16 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z = 2 + 4 i \\ z = 2 - 4 i \end{array} .$

Do số phức cần tìm có phần ảo âm nên z = 2 - 4i. Suy ra $\frac{z + 4 i}{\bar{z} - 2 i} = \frac{2}{2 + 2 i} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i .$

Như vậy $|\frac{z + 4 i}{\bar{z} - 2 i}| = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Chọn D.

Câu 31:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho $A (1; - 1; 3)$ , B(-1; 2; 1), C(-3; 5; -4). Khi đó tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

A. $G (- 1; 2; 0) .$

B. $G (- \frac{3}{2}; 3; 0) .$

C. G(-3; 6; 0)

D. $G (- \frac{1}{3}; \frac{2}{3}; 0) .$

Xem đáp án

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: $\{\begin{cases} x = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = 1 \\ y = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = 2 \\ z = \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = 0 \end{cases}$

Chọn A.

Câu 32:

20/07/2024

Nghiệm của phương trình $3^{2 x + 4} = 9$ là:

A. x = 3

B. x = -1

C. x = 1

D. x = 2

Xem đáp án

Ta có $3^{2 x + 4} = 9 \Leftrightarrow 3^{2 x + 4} = 3^{2} \Leftrightarrow 2 x + 4 = 2 \Leftrightarrow x = - 1.$

Chọn B.

Câu 33:

Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3cm, 4cm, 5cm. Thể tích của khối hộp chữ nhật là

A. $15 c m^{3}$

B. $20 c m^{3}$

C. $60 c m^{3}$

D. $12 c m^{3}$

Xem đáp án

$V = a . b . c = 3.4.5 = 60 c m^{3} .$

Chọn C.

Câu 34:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 .$

B. $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 2 .$

C. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 2 .$

D. $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 2 .$

Xem đáp án

Đồ thị hàm số có dạng là: $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ và có hệ số a < 0 nên loại A, C, D.

Chọn B.

Câu 35:

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = - x^{3} + 3 x + 2$ trên đoạn [0; 1]. Khi đó giá trị biểu thức $P = 2 M - 3 m$ là:

A. P = 38

B. P = -38

C. P = -52

D. P = 2

Xem đáp án

Ta có: $y' = - 3 x^{2} + 3.$ Cho $y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \notin (0; 1) \\ x = - 1 \notin (0; 1) \end{array}$

$y (0) = 2; y (1) = 4.$

Vậy $\max_{x \in [0; 1]} y = 4 = M; \min_{x \in [0; 1]} y = 2 = m$

$P = 2 M - 3 m = 2$

Chọn D.

Câu 36:

Với a là số thực dương tùy ý,

\log_{5} (\frac{25}{a})

bằng

A. $\frac{2}{\log_{5} a} .$

B. $3 - \log_{5} a .$

C. $2 - \log_{5} a .$

D. $2 + \log_{5} a .$

Xem đáp án

$\log_{5} (\frac{25}{a}) = \log_{5} 25 - \log_{5} a = 2 - \log_{5} a .$

Chọn C.

Câu 37:

10/10/2024

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên

ℝ

?

A. $y = \frac{4 x + 1}{x + 2}$

B. $y = x^{3} + 1$

C. $y = x^{4} + x^{2} + 1$

D. $y = \tan x$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

*Phương pháp giải:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

*Lời giải

Xét $B : y = x^{3} + 1 \Rightarrow y' = 3 x^{2} \geq 0 \forall x$

Vậy hàm số $y = x^{3} + 1$ luôn đồng biến trên $ℝ .$ --> B

* Một số phương pháp xác định sự đồng biến/nghịch biến của hàm số:

Quy tắc xét sự đơn điệu của hàm số:

- Bước 1. Tìm tập xác định.

- Bước 2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm x_i ( i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

- Bước 3. Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

- Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Phần I. Các bài toán không chứa tham số.

Dạng 1: Sử dụng đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

* Phương pháp giải.

Bước 1. Tìm tập xác định D.

Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f'(x). Tìm các giá trị x_i(i=1, 2, .., n) mà tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

Bước 4. Sắp xếp các giá trị x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 5. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số và chọn đáp án chính xác nhất.

Dạng 2: Từ bảng biến thiên, đồ thị hàm số của hàm số f’(x), xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đã cho.

* Phương pháp giải.

- Dựa vào bảng biến thiên có sẵn, kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến và chọn đáp án đúng.

- Từ đồ thị hàm số của hàm số f’(x), ta có:

+ Khoảng đồng biến của hàm số là khoảng mà tại đó giá trị f'(x) > 0 (nằm phía trên trục hoành).

+ Khoảng đồng biến của hàm số là khoảng mà tại đó f'(x) < 0 (nằm phía dưới trục hoành).

Dạng 3: xét sự đồng biến/nghịch biến của hàm hợp

* Phương pháp giải. Cho hàm y = f(x) hoặc hàm y = f '(x) xét sự biến thiên của hàm g(x) = f(u(x)).

- Tính đạo hàm $g' (x) = f' (u (x)) . u' (x)$

- Xét dấu $g' (x)$ dựa vào dấu của $f' (u (x))$ và $u' (x)$ theo quy tắc nhân dấu. Lưu ý khi xét dấu $f' (u (x))$ dựa vào dấu của $f' (x)$ như sau: Nếu $f' (x)$ không đổi dấu trên D thì $f' (u (x))$ không đổi dấu khi $u (x) \in D$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (có đáp án)

Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải

Câu 38:

Cho số phức z = 6 - 8i. Mô đun của số phức (3 - 4i)z bằng

A. $10 \sqrt{5}$

B. $5 \sqrt{10}$

C. 50

D. 10

Xem đáp án

$(3 - 4 i) z = (3 - 4 i) (6 - 8 i) = - 14 - 48 i \Rightarrow |- 14 - 48 i| = \sqrt{{(- 14)}^{2} + {(- 48)}^{2}} = 50.$

Chọn C.

Câu 39:

Phần ảo của số phức

z = (2 + 3 i) (2 - 3 i)

bằng

A. 13i

B. 13

C. 0

D. -9i

Xem đáp án

$z = (2 + 3 i) (2 - 3 i) = 13$

Vậy phần ảo của z bằng 0.

Chọn C.

Câu 40:

cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng?

Đồ thị hàm số

y = \frac{x + 2}{- x + 2}

A. -2

B. 0

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Đồ thị hàm số cắt trục tung $\Leftrightarrow$ thay $x = 0 \Rightarrow y = \frac{0 + 2}{- 0 + 2} = 1.$

Chọn D.

Câu 41:

Cho hàm số $y = f (x) = \{\begin{cases} x^{2} khi x \geq 2 \\ 2 + x khi x < 2 \end{cases}$ . Tính tích phân $\int_{0}^{5} \frac{f (\sqrt{3 x + 1})}{\sqrt{3 x + 1}} d x$ .

A. $\frac{133}{9}$

B. $\frac{56}{3}$

C. $\frac{59}{9}$

D. $\frac{37}{9}$

Xem đáp án

Dễ thấy, hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên $ℝ .$

Ta có: $\sqrt{3 x + 1} = 2 \Leftrightarrow 3 x + 1 = 4 \Leftrightarrow x = 1.$

Nhận xét: $3 x + 1 > 0 \forall x \in (0; 5),$ khi đó $I = \int_{0}^{5} \frac{f (\sqrt{3 x + 1})}{\sqrt{3 x + 1}} d x = \int_{0}^{1} \frac{2 + \sqrt{3 x + 1}}{\sqrt{3 x + 1}} d x + \int_{1}^{5} \sqrt{3 x + 1} d x .$

Xét $I_{1} = \int_{0}^{1} \frac{2 + \sqrt{3 x + 1}}{\sqrt{3 x + 1}} d x .$

Đặt $t = \sqrt{3 x + 1} \Rightarrow 2 t d t = 3 d x .$

Khi x = 0 thì t = 1, khi x = 1 thì t = 2

Khi đó: $I_{1} = \int_{1}^{2} (\frac{2 + t}{t} . \frac{2}{3} t) d t = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (2 + t) d t = \frac{2}{3} (2 t + \frac{t^{2}}{2}) |\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array} = \frac{2}{3} (2.2 - 2.1 + \frac{2^{2}}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{7}{3} .$

Xét $I_{2} = \int_{1}^{5} \sqrt{3 x + 1} d x = \int_{1}^{5} {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d (3 x + 1)}{3} = \frac{1}{3} [\frac{{(3 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}] |\begin{array}{l} 5 \\ 1 \end{array} = \frac{2}{9} [(3 x + 1) \sqrt{3 x + 1}] |\begin{array}{l} 5 \\ 1 \end{array}$

$= \frac{2}{9} [(3.5 + 1) \sqrt{3.5 + 1} - (3.1 + 1) \sqrt{3.1 + 1}] = \frac{112}{9} .$

Vậy: $I = I_{1} + I_{2} = \frac{7}{3} + \frac{112}{9} = \frac{133}{9} .$

Chọn A.

Câu 42:

23/07/2024

Tứ diện ABCD có $A B = A C = A D = a, \hat{B A C} = 120^{0}, \hat{B A D} = 60^{0}$ và tam giác BCD là tam giác vuông tại D. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{4} .$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6} .$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} .$

Xem đáp án

Tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a, góc BAC = 120 độ, góc BAD = 60 độ (ảnh 1)

Gọi H là hình chiếu của A lên (BCD).

Dễ thấy: $Δ A H B = Δ A H C = Δ A H D \Rightarrow H B = H C = H D$

Do đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ B C D \Rightarrow H$ là trung điểm của BC.

Xét tam giác ABC có $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B . A C . \cos \hat{B A C} = a^{2} + a^{2} - 2 a . a . \cos 120^{0} = 3 a^{2} .$

$\Rightarrow B C = a \sqrt{3} \Rightarrow B H = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Xét $Δ A H B$ vuông tại H có $A H = \sqrt{A B^{2} - B H^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}} = \frac{a}{2} .$

Xét $Δ A B D,$ có AB = AD = a và $\hat{B A D} = 60^{0} \Rightarrow Δ A B D$ là tam giác đều cạnh $a \Rightarrow B D = a .$

Xét $Δ B D C$ vuông tại D, có $C D = \sqrt{B C^{2} - B D^{2}} = \sqrt{3 a^{2} - a^{2}} = a \sqrt{2} .$

$\Rightarrow S_{Δ B D C} = \frac{1}{2} . a . a \sqrt{2} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{3} .$ (đvtt).

Vậy $V_{A B C D} = \frac{1}{3} A H . S_{Δ B C D} = \frac{1}{3} . \frac{a}{2} . \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$ (đvtt).

Chọn D.

Câu 43:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3a tam giác SBC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SBC) một góc $60^{0}$ . Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A. $2 a^{3} \sqrt{6} .$

B. $a^{3} \sqrt{6} .$

C. $3 a^{3} \sqrt{2} .$

D. $a^{3} \sqrt{3} .$

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3a tam giác SBC vuông tại S (ảnh 1)

Kẻ $S H ⊥ B H, H \in B C .$

Ta có $\{\begin{cases} (S B C) ⊥ (A B C D) \\ (S B C) \cap (A B C D) = B C \\ S H ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow S H ⊥ (A B C D) .$

Mà $\{\begin{cases} C D ⊥ B C \\ C D ⊥ S H \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ (S B C)$ và $S D \cap (S B C) = \{S\} .$

Suy ra SC là hình chiếu của SD lên (SBC).

Khi đó $\hat{(S D, (S B C))} = \hat{(S D, S C)} = \hat{C S D} = 60^{0}$ .

Tam giác SCD vuông tại C có $S C = \frac{C D}{\tan 60^{0}} = \frac{3 a}{\sqrt{3}} = a \sqrt{3} .$

Tam giác SBC vuông tại S có $S B = \sqrt{B C^{2} - S C^{2}} = a \sqrt{6} .$

Mà $S H = \frac{S B . S C}{B C} = \frac{a \sqrt{6} . a \sqrt{3}}{3 a} = a \sqrt{2} .$

Vậy thể tích của khối chóp đã cho là $V = \frac{1}{3} S H . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . a \sqrt{2} . {(3 a)}^{2} = 3 a^{3} \sqrt{2}$ (đvtt).

Chọn C.

Câu 44:

Cho hàm số y = f(x) là hàm số chẵn và xác định trên $ℝ$ , sao cho $f (0) \neq 0$ và phương trình $5^{x} - 5^{- x} = f (x)$ có đúng 5 nghiệm phân biệt. Khi đó số nghiệm của phương trình $5^{x} + 5^{- x} = f^{2} (\frac{x}{2}) + 2$ là

A. 5

B. 15

C. 10

D. 20

Xem đáp án

Ta có $5^{x} + 5^{- x} = f^{2} (\frac{x}{2}) + 2 \Leftrightarrow f^{2} (\frac{x}{2}) = 5^{x} + 5^{- x} - 2 = (5^{\frac{x}{2}} - 5^{- \frac{x}{2}})$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (\frac{x}{2}) = 5^{\frac{x}{2}} - 5^{- \frac{x}{2}} \\ f (\frac{x}{2}) = 5^{- \frac{x}{2}} - 5^{\frac{x}{2}} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (t) = 5^{t} - 5^{- t} \\ f (t) = 5^{- t} - 5^{t} \end{array}$ (với $t = \frac{x}{2}$ ).

Do f(x) là hàm số chẵn và xác định trên $ℝ$ nên $f (x) = f (- x), \forall x \in ℝ$

Khi đó từ phương trình $5^{x} - 5^{- x} = f (x),$ thay x bởi -x ta được $f (- x) = f (x) = 5^{- x} - 5^{x} .$

Vì phương trình $5^{x} - 5^{- x} = f (x)$ có đúng 5 nghiệm phân biệt nên phương trình $f (x) = 5^{- x} - 5^{x}$ cũng có đúng 5 nghiệm phân biệt.

Suy ra phương trình $f (t) = 5^{t} - 5^{- t}$ có 5 nghiệm phân biệt $t_{1}, t_{2}, ... t_{5}$ và phương trình $f (t) = 5^{- t} - 5^{t}$ cũng có 5 nghiệm phân biệt $t_{6}, t_{7}, ..., t_{10} (*)$ .

Giả sử phương trình $5^{x} - 5^{- x} = f (x)$ và $5^{- x} - 5^{x} = f (x)$ có nghiệm chung $x = x_{0}$

Khi đó $\{\begin{cases} f (x_{0}) = 5^{x_{0}} - 5^{- x_{0}} (1) \\ f (x_{0}) = 5^{- x_{0}} - 5^{x_{0}} (2) \end{cases} .$

Lấy (1) - (2) ta được $2 (5^{x_{0}} - 5^{- x_{0}}) = 0 \Leftrightarrow 5^{x_{0}} = 5^{- x_{0}} \Leftrightarrow x_{0} = 0$

Lấy (1) + (2) ta được $2 f (x_{0}) = 0 \Leftrightarrow f (x_{0}) = 0.$

Suy ra $x_{0} = 0$ là nghiệm của phương trình f(x) = 0 hay f(0) = 0 (mâu thuẫn với giả thiết).

Suy ra hai phương trình $f (t) = 5^{t} - 5^{- t}$ và $f (t) = 5^{- t} - 5^{t}$ không có nghiệm chung (**).

Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình $5^{x} + 5^{- x} = f^{2} (\frac{x}{2}) + 2$ có tổng cộng 10 nghiệm phân biệt.

Chọn C.

Câu 45:

Trong không gian tọa độ Oxyz cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có S(5; 4; 6), A(-1; 4; 3), B(5; -2; 3). K là trung điểm của AC và H là trực tâm của tam giác SAB. Tính độ dài đoạn thẳng KH

A. $\frac{3 \sqrt{3}}{2} .$

B. $\frac{3 \sqrt{2}}{5} .$

C. $2 \sqrt{3} .$

D. $\frac{3 \sqrt{5}}{2} .$

Xem đáp án

Trong không gian tọa độ Oxyz cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có S(5; 4; 6), A(-1; 4; 3), B(5; -2; 3) (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Dễ thấy $H \in S M$ (do tam giác SAB cân tại S mà là trung điểm của đoạn AB.

Theo giả thiết suy ra $S K ⊥ (A B C D) \Rightarrow S K ⊥ A B; S M ⊥ A B .$

Như vậy $A B ⊥ (S M K)$ nên $A B ⊥ S H (1) .$

Mặt khác, có $A K ⊥ B D; A K ⊥ S K$ nên $A K ⊥ (S B D) \Rightarrow A K ⊥ S B .$

Lại có $A H ⊥ S B$ (do H là trực tâm của tam giác SAB) nên $S B ⊥ (A K H) \Rightarrow S B ⊥ K H (2) .$

Từ (1) và (2) suy ra $(S A B) ⊥ K H \Rightarrow K H ⊥ S M .$

Khi đó, tam giác SKM có KH là đường cao. Mà tam giác SKM vuông tại K nên có:

$\frac{1}{K H^{2}} = \frac{1}{S K^{2}} + \frac{1}{K M^{2}} \Rightarrow K H = \frac{S K . K M}{\sqrt{S K^{2} + K M^{2}}}$

Ta có K là trung điểm của AC nên K(2; 1; 3) nên $S K = \sqrt{{(2 - 5)}^{2} + {(1 - 4)}^{2} + {(3 - 6)}^{2}} = 3 \sqrt{3} .$

Vì ABCD là hình vuông có $A C = \sqrt{{(5 + 1)}^{2} + {(- 2 - 4)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}} = 6 \sqrt{2}$ suy ra $K M = \frac{A C}{2 \sqrt{2}} = \frac{6 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} = 3.$

Vậy $K H = \frac{3 \sqrt{3} .3}{\sqrt{{(3 \sqrt{3})}^{2} + 3^{2}}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} .$

Chọn A.

Câu 46:

Trong không gian tọa độ Oxyz cho $A (2; 1; 0), B(1; 2; 2), C (1; 1; 0)$ và mặt phẳng $(P) : x + y + z - 32 = 0$ . D là một điểm thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P). Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng CD

A. $\{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 2 - t \\ z = 3 - 2 t \end{cases} .$

B. $\{\begin{cases} x = 4 + 3 t \\ y = 1 - t \\ z = 1 - 2 t \end{cases} .$

C. $\{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = - t \\ z = 1 + 2 t \end{cases} .$

D. $\{\begin{cases} x = 4 + 3 t \\ y = - t \\ z = - 2 - 2 t \end{cases} .$

Xem đáp án

Cách 1:

(P) nhận $\vec{n} = (1; 1; 1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có: $\vec{A B} (- 1; 1; 2)$

Đường thẳng AB qua A và nhận $\vec{A B} = (- 1; 1; 2)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là: $\{\begin{cases} x = 2 - a \\ y = 1 + a \\ y = 2 a \end{cases}, a \in ℝ .$

Vì $D \in A B \Rightarrow D (2 - a; 1 + a; 2 a) \Rightarrow \vec{C D} = (1 - a; a; 2 a) .$

Mặt khác, $C D / / (P) \Rightarrow \vec{n} . \vec{C D} = 0 \Leftrightarrow 1 - a + a + 2 a = 0 \Leftrightarrow a = - \frac{1}{2} \Rightarrow \vec{C D} = (\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}; - 1) .$

Đường thẳng CD nhận $\vec{u} = (3; - 1; - 2)$ làm vectơ chỉ phương nên loại đáp án C.

Thay tọa độ điểm C vào phương trình các đường thẳng còn lại thấy tọa độ điểm C thỏa mãn đáp án D.

Cách 2:

(P) nhận $\vec{n} = (1; 1; 1)$ làm vectơ pháp tuyến. Để $C D / / (P) \Rightarrow \{\begin{cases} \vec{u_{C D}} . \vec{n} = 0 \\ C \in C D \end{cases} .$

- Kiểm tra đáp án A: Đường thẳng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (3; - 1; - 2),$ có $\vec{u_{1}} . \vec{n} = 0.$

Thay tọa độ C vào phương trình đường thẳng được: $\{\begin{cases} t = 0 \\ t = 1 \\ t = \frac{3}{2} \end{cases} \Rightarrow$ không thỏa mãn.

- Kiểm tra đáp án B: Đường thẳng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (3; - 1; - 2),$ có $\vec{u_{1}} . \vec{n} = 0.$

Thay tọa độ C vào phương trình đường thẳng được: $\{\begin{cases} t = - 1 \\ t = 0 \\ t = \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow$ không thỏa mãn.

- Kiểm tra đáp án C: Đường thẳng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (3; - 1; 2),$ có $\vec{u_{1}} . \vec{n} = 4 \neq 0 \Rightarrow$ không thỏa mãn.

- Kiểm tra đáp án D: Đường thẳng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (3; - 1; - 2),$ có $\vec{u_{1}} . \vec{n} = 0.$

Thay tọa độ C vào phương trình đường thẳng được: $\{\begin{cases} t = - 1 \\ t = - 1 \\ t = - 1 \end{cases} \Rightarrow t = - 1 \Rightarrow$ thỏa mãn.

Chọn D.

Câu 47:

12/07/2024

Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = |x^{3} - x^{2} + (m^{2} + 1) x - 4 m - 7|$ trên đoạn [0; 2] đạt giá trị nhỏ nhất khi $m = m_{0} .$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $m_{0} \in (- 2; - 1) .$

B. $m_{0} \in [- 3; - 2] .$

C. $m_{0} \in [- 1; 0] .$

D. $m_{0} \in (0; 3) .$

Xem đáp án

Xét hàm số $y = x^{3} - x^{2} + (m^{2} + 1) x - 4 m - 7$ trên đoạn [0; 2]

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 2 x + m^{2} + 1$

$Δ' = {(- 1)}^{2} - 3 (m^{2} + 1) = 1 - 3 m^{2} - 3 = - 3 m^{2} - 2 < 0$ với $\forall m .$

$\Rightarrow y' > 0$ với mọi $\forall m .$

$\Rightarrow$ hàm số $y = x^{3} - x^{2} + (m^{2} + 1) x - 4 m - 7$ luôn đồng biến trên đoạn [0; 2]

$\Rightarrow \max_{[0; 2]} f (x) = \max \{f (0); f (2)\} = \max \{|4 m + 7|; |2 m^{2} - 4 m - 1|\} .$

Bất phương trình: $|4 m + 7| \geq |2 m^{2} - 4 m - 1| \Leftrightarrow {(4 m + 7)}^{2} \geq {(2 m^{2} - 4 m - 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow {(4 m + 7)}^{2} - {(2 m^{2} - 4 m - 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow (4 m + 7 - 2 m^{2} + 4 m + 1) (4 m + 7 + 2 m^{2} - 4 m - 1) \geq 0$

$\Leftrightarrow (- 2 m^{2} + 8 m + 8) (2 m^{2} + 6) \geq 0 \Leftrightarrow - 2 m^{2} + 8 m + 8 \geq 0$ (vì $2 m^{2} + 6 > 0$ với m)

$\Leftrightarrow m^{2} - 4 m - 4 \leq 0 \Leftrightarrow 2 - 2 \sqrt{2} \leq m \leq 2 + 2 \sqrt{2} .$

Ta xét hai trường hợp sau:

* Trường hợp 1: Nếu $2 - 2 \sqrt{2} \leq m \leq 2 \sqrt{2}$ thì $\max_{[0; 2]} f (x) = 4 m + 7.$

Ta có: $\min (4 m + 7) = 4 (2 - 2 \sqrt{2}) + 7 = 15 - 8 \sqrt{2}$ khi $m = 2 - 2 \sqrt{2} .$

* Trường hợp 2: Nếu $m \leq 2 - 2 \sqrt{2}$ hoặc $m \geq 2 + 2 \sqrt{2}$ thì $\max_{[0; 2]} f (x) = 2 m^{2} - 4 m - 1.$

Xét hàm số $h (m) = 2 m^{2} - 4 m - 1$ trên $D = (- \infty; 2 - 2 \sqrt{2}] \cup [2 + 2 \sqrt{2}; + \infty) .$

Ta có: $h' (m) = 4 m - 4 = 0 \Leftrightarrow 4 m = 4 \Leftrightarrow m = 1.$

Bảng biến thiên:

Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = |x^3 - x^2 + (m^2 + 1)x - 4m - 7| (ảnh 1)

$\Rightarrow \min_{D} h (m) = \min \{h (2 - 2 \sqrt{2}); h (2 + 2 \sqrt{2})\} = h (2 - 2 \sqrt{2}) = 15 - 8 \sqrt{2}$ khi $m = 2 - 2 \sqrt{2} .$

Vậy $m_{0} = 2 - 2 \sqrt{2} \in [- 1; 0]$

Chọn C.

Câu 48:

21/07/2024

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên $ℝ .$ Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số $g (x) = f (2 x) - 2 x$ trên đoạn $[- \frac{1}{2}; 1]$ bằng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên (ảnh 1)

A. f(0)

B. f(-1) + 1

C. f(2) - 2

D. f(-2) + 2

Xem đáp án

Xét hàm số $g (x) = f (2 x) - 2 x$ trên đoạn $[- \frac{1}{2}; 1] .$

Ta có: $g' (x) = 2 f' (2 x) - 2 = 0 \Leftrightarrow 2. f' (2 x) = 2 \Leftrightarrow f' (2 x) = 1$

Từ đồ thị của hàm số y = f'(x) suy ra $f' (2 x) = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x = - 1 \\ 2 x = 1 \\ 2 x = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \pm \frac{1}{2} \\ x = 1 \end{array} .$

Bảng biến thiên:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên (ảnh 2)

Từ bảng biến thiên suy ra $\max_{[- \frac{1}{2}; 1]} g (x) = g (- \frac{1}{2}) = f (2. \frac{- 1}{2}) - 2. \frac{- 1}{2} = f (- 1) + 1.$

Chọn B.

Câu 49:

Xét các số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn ${|z_{1} - 1|}^{2} - {|z_{1} + 2 i|}^{2} = 1$ ; $|z_{2} - 3 - i| = \sqrt{5} .$ Giá trị nhỏ nhất của $P = |z_{1} - z_{2}|$ bằng

A. $\sqrt{5} .$

B. $\frac{3 \sqrt{5}}{5} .$

C. $2 \sqrt{5} .$

D. $\frac{2 \sqrt{5}}{5} .$

Xem đáp án

Xét các số phức z1, z2 thỏa mãn |z1 - 1|^2 - |z1 +2i|^2 = 1 (ảnh 1)

Gọi $z_{1} = x_{1} + i y_{1}, (x_{1}, y_{1} \in ℝ), z_{2} = x_{2} + i y_{2} (x_{2}, y_{2} \in ℝ)$ khi đó $M (x_{1}; y_{1}), N (x_{2}; y_{2})$ là điểm biểu diễn của số phức $z_{1}, z_{2}$ trong mặt phẳng Oxy

Ta có ${|z_{1} - 1|}^{2} - {|z_{1} + 2 i|}^{2} = 1 \Leftrightarrow {|x_{1} - 1 + i y_{1}|}^{2} - {|x_{1} + i (y_{1} + 2)|}^{2} = 1 \Leftrightarrow x_{1} + 2 y_{1} + 2 = 0.$ Suy ra M thuộc đường thẳng $\Leftrightarrow Δ : x + 2 y + 2 = 0$ .

Mặt khác $|z_{2} - 3 - i| = \sqrt{5}$ suy ra N thuộc đường tròn tâm I(3; 1) bán kính $R = \sqrt{5}$ .

Ta có $d (I, Δ) = \frac{7 \sqrt{5}}{5} \Rightarrow Δ$ không cắt đường tròn.

Khi đó $P = |z_{1} - z_{2}| = M N \geq A H \Rightarrow M N_{\min} = A H = I H - I A = d (I, Δ) - R = \frac{7 \sqrt{5}}{5} - \sqrt{5} = \frac{2 \sqrt{5}}{5} .$

Chọn D.

Câu 50: