50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (Đề 23)

Cho hai số phức $z_{1} = 5 - 3 i, z_{2} = - 1 + 2 i .$ Tổng phần thực và phần ảo của số phức $z_{1} + z_{2}$ bằng

A. 5

B. 4

C. 3

D. 7

Xem đáp án

Ta có $z_{1} + z_{2} = 4 - i .$ Tổng phần thực và phần ảo của $z_{1} + z_{2}$ bằng 3.

Chọn C.

Câu 2:

Số phức nghịch đảo của z = 3 + 4i là

A. $\frac{3}{25} - \frac{4}{25} i .$

B. $\frac{3}{25} + \frac{4}{25} i .$

C. 4 + 3i

D. 3 - 4i

Xem đáp án

Số phức nghịch đảo của z = 3 + 4i là $\frac{1}{3 + 4 i} = \frac{3 - 4 i}{3^{2} + 4^{2}} = \frac{3}{25} - \frac{4}{25} i .$

Chọn A.

Câu 3:

$\int_{0}^{1} x^{2} d x$ bằng

A. $\frac{1}{3}$

B. -1

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Ta có $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3} |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} = \frac{1}{3} .$

Chọn A.

Câu 4:

$\int_{0}^{1} x^{2} d x$ bằng

A. $\frac{1}{3}$

B. -1

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Ta có $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3} |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} = \frac{1}{3} .$

Chọn A.

Câu 5:

Với x > 0 đạo hàm của hàm số $y = \log_{5} x$ là

A. $y' = \frac{x}{\ln 5} .$

B. $y' = \frac{1}{x} .$

C. $y' = \frac{1}{x \ln 5} .$

D. $y' = \frac{\ln 5}{x} .$

Xem đáp án

Ta có: $y' = (\log_{5} x)' = \frac{1}{x \ln 5} .$

Chọn C.

Câu 6:

Cho hàm số f(x) = sinx - 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $\int_{}^{} f (x) d x = \cos x - x + C .$

B. $\int_{}^{} f (x) d x = - \cos x + x + C .$

C. $\int_{}^{} f (x) d x = \cos x + x + C .$

D. $\int_{}^{} f (x) d x = - \cos x - x + C .$

Xem đáp án

Ta có: $\int_{}^{} f (x) d x = \int_{}^{} (\sin x - 1) d x = \int_{}^{} \sin x d x - \int_{}^{} d x = - \cos x - x + C .$

Chọn D.

Câu 7:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình bên.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. (1; 2)

B. (-1; 1)

C. (-7; -5)

D. $(- \infty; - 5) .$

Xem đáp án

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng (-1; 0) và $(1; + \infty)$ .

Suy ra chọn phương án A.

Chọn A.

Câu 8:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x + 2 y + 1 = 0.$ Tâm của mặt cầu (S) có tọa độ là

A. (8; -2; 0)

B. (4; -1; 0)

C. (-8; 2; 0)

D. (-4; 1; 0)

Xem đáp án

Tâm của mặt cầu (S) là (4; -1; 0)

Chọn B.

Câu 9:

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 - x}{x + 1}$ là đường thẳng?

A. y = 2

B. y = -1

C. x = 2

D. x = -1

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 - x}{x + 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{2}{x} - 1}{1 + \frac{1}{x}} = - 1.$

Vậy: y = -1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Chọn B.

Câu 10:

Cho khối lăng trụ đứng có độ dài cạnh bên bằng 7, diện tích đa giác đáy bằng 9. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A. 16

B. $\frac{9}{7} .$

C. 63

D. 21

Xem đáp án

Ta có công thức tính thể tích khối lăng trụ: V = B.h = 9.7 = 63.

Chọn C.

Câu 11:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số đã cho đạt (ảnh 1)

A. x = 4

B. x = -1

C. x = 0

D. x = 1

Xem đáp án

Nhìn vào BBT. Ta có: hàm số đạt cực tiểu tại x = -1.

Chọn B.

Câu 12:

Có bao nhiêu véc-tơ khác véc-tơ không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của một tứ giác?

A. $4^{2}$

B. $A_{4}^{2}$

C. $C_{4}^{2}$

D. 2!

Xem đáp án

Muốn tạo thành một véc-tơ khác véc-tơ không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của một tứ giác. Ta chọn 2 đỉnh trong 4 đỉnh của tứ giác đó. Rồi sắp xếp theo thứ tự. Vậy số kết quả là số các chỉnh hợp 2 của 4 phần tử $A_{4}^{2} .$

Chọn B.

Câu 13:

21/07/2024

Thể tích V của khối trụ có chiều cao h = 3cm bán kính r = 2cm bằng

A. $12 π c m^{3} .$

B. $4 π c m^{3} .$

C. $2 π c m^{3} .$

D. $6 π c m^{3} .$

Xem đáp án

Thể tích khối trụ $V = π r^{2} h = π {.2}^{2} .3 = 12 π c m^{3} .$

Chọn A.

Câu 14:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{1} = 2$ và công bội q = 3. Giá trị của $u_{2}$ bằng

A. 5

B. 6

C. 9

D. 8

Xem đáp án

Ta có: $u_{2} = u_{1} q = 2.3 = 6.$

Chọn B.

Câu 15:

Thể tích khối chóp có chiều cao h = 4 và diện tích đáy B = 9 bằng

A. 36

B. 12

C.

\frac{9}{4}

D. 5

Xem đáp án

Thể tích khối chóp $V = \frac{1}{3} B h = \frac{1}{3} .9.4 = 12.$

Chọn B.

Câu 16:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ dưới đây?

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ (ảnh 1)

A. $y = \frac{x - 1}{x + 2} .$

B. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 2.$

C. $y = x^{3} - 3 x + 2.$

D. $y = x^{4} - 4 x^{2} + 2.$

Xem đáp án

Từ đồ thị suy ra đây là đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương nên loại phương án C, A.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (-1; 1) nên loại phương án D.

Chọn B.

Câu 17:

19/07/2024

Với a là một số thực dương tùy ý, $a^{\frac{3}{4}}$ bằng

A. $\frac{a^{3}}{a^{4}} .$

B. $\sqrt[3]{a^{4}}$

C. $\sqrt[4]{a^{3}}$

D. a

Xem đáp án

Với a > 0 thì $a^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{a^{3}} .$

Chọn C.

Câu 18:

Cho số phức z = -5 + 2i. Phần thực của $\bar{z}$ là

A. -2

B. 2i

C. 5

D. -5

Xem đáp án

Vì z = -5 + 2i nên $\bar{z} = - 5 - 2 i .$

Vậy phần thực của $\bar{z}$ là -5.

Chọn D.

Câu 19:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A (10; - 4; 0), B (- 4; 6; 0), C (0; 4; 6) .$ Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là

A. (2; 2; -4)

B. (2; 2; 2)

C. (2; 4; 2)

D. (4; 0; 2)

Xem đáp án

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\{\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \frac{10 + (- 4) + 0}{3} = 2 \\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \frac{- 4 + 6 + 4}{3} = 2 \\ z_{G} = \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \frac{0 + 0 + 6}{3} = 2 \end{cases}$ .

Vậy G(2; 2; 2)

Chọn B.

Câu 20:

Điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ là

A. x = 1

B. y = 1

C. x = 0

D. (0; 1)

Xem đáp án

Ta có $y' = 4 x^{3} - 8 x$ và $y " = 12 x^{2} - 8.$

Khi đó $y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \end{array} .$

Lại có $\{\begin{cases} y " (0) = - 8 < 0 \\ y " (\pm \sqrt{2}) = 16 > 0 \end{cases}$ nên hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại $x = \pm \sqrt{2} .$

Vậy điểm cực đạ của đồ thị hàm số là (0; 1)

Chọn D.

Câu 21:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$ và có đạo hàm $f' (x) = (x^{2} + 4 x + 3) (x^{2} - 1) .$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $f (- 3) < f (- 2) < f (- 1) .$

B. $f (- 3) < f (- 1) < f (1) .$

C. $f (1) > f (2) > f (3) .$

D. $f (- 3) > f (- 1) > f (1) .$

Xem đáp án

Xét $f' (x) = 0 \Leftrightarrow (x^{2} + 4 x + 3) (x^{2} - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 3 \\ x = - 1 \\ x = 1 \end{array}$ (trong đó x = -1 là nghiệm kép).

Bảng xét dấu

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và có đạo hàm (ảnh 1)

Dựa vào bảng xét dấu, ta suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (-3; 1)

Mà $- 3 < - 1 < 1 \Leftrightarrow f (- 3) > f (- 1) > f (1) .$

Chọn D.

Câu 22:

Nếu $\int_{- 1}^{4} f (x) d x = 2$ và $\int_{- 1}^{0} f (x) d x = 3$ thì $\int_{0}^{4} [4 e^{2 x} + 2 f (x)] d x$ bằng

A. $2 e^{8} - 4.$

B. $2 e^{8} - 2 .$

C. $2 e^{8} + 2 .$

D. $2 e^{8} + 1 .$

Xem đáp án

Ta có $\int_{- 1}^{4} f (x) d x = \int_{- 1}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{4} f (x) d x \Leftrightarrow \int_{0}^{4} f (x) d x = \int_{- 1}^{4} f (x) d x - \int_{- 1}^{0} f (x) d x = 2 - 3 = - 1.$

Khi đó $\int_{0}^{4} [4 e^{2 x} + 2 f (x)] d x = 4 \int_{0}^{4} e^{2 x} d x + 2 \int_{0}^{4} f (x) d x$

$= 2 e^{2 x} |\begin{array}{l} 4 \\ 0 \end{array} + 2. (- 1) = 2 e^{8} - 2 e^{0} - 2 = 2 e^{8} - 4.$

Chọn A.

Câu 23:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{5} (x^{2} - 3 x + 2) + \log_{\frac{1}{5}} (x - 1) \leq 1$ là

A. S = (2; 7]

B. S = [1; 7]

C. $S = (2; + \infty) .$

D. $S = (1; + \infty) .$

Xem đáp án

Điều kiện: $\{\begin{cases} x^{2} - 3 x + 2 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x > 2.$

Ta có $\log_{5} (x^{2} - 3 x + 2) + \log_{\frac{1}{5}} (x - 1) \leq 1 \Leftrightarrow \log_{5} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x - 1} \leq 1$

$\Rightarrow \log_{5} (x - 2) \leq 1 \Leftrightarrow x - 2 \leq 5 \Leftrightarrow x \leq 7$ (do x > 2)

Kết hợp điều kiện, ta được $2 < x \leq 7.$

Chọn A.

Câu 24:

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 35$ trên đoạn [-4; 4]. Giá trị M + m bằng

A. 55.

B. -1

C. 48.

D. 11.

Xem đáp án

Ta có $y' = 3 x^{2} - 6 x - 9.$ Xét $y' = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x - 9 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3 \in [- 4; 4] \\ x = - 1 \in [- 4; 4] \end{array} .$

Mà $y (- 4) = - 41, y (- 1) = 40, y (3) = 8, y (4) = 15.$

Suy ra $m = \min_{x \in [- 4; 4]} y = y (- 4) = - 41$ và $M = \max_{x \in [- 4; 4]} y = y (- 1) = 40.$

Vậy $M + m = - 41 + 40 = - 1.$

Chọn B.

Câu 25:

17/07/2024

Trong không gian Oxyz, đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 + t \\ z = - 2 + t \end{cases}$ đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

A. C(3; -2; -1)

B. A(1; 2; -1)

C. B(3; 2; -1)

D. D(-3; -2; 1)

Xem đáp án

Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình d ta có

Với điểm C(3; -2; -1) ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} 3 = 2 + t \\ - 2 = 1 + t \\ - 1 = - 2 + t \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} t = 1 \\ t = - 3 \\ t = 1 \end{cases} \Rightarrow$ hệ vô nghiệm nên đường thẳng d không đi qua

C(3; -2; -1)

Với điểm A(1; 2; -1) ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} 1 = 2 + t \\ 2 = 1 + t \\ - 1 = - 2 + t \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} t = - 1 \\ t = 1 \\ t = 1 \end{cases} \Rightarrow$ hệ vô nghiệm nên đường thẳng d không đi qua B(1; 2; -1)

Với điểm D(-3; -2; 1) ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} - 3 = 2 + t \\ - 2 = 1 + t \\ 1 = - 2 + t \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} t = - 5 \\ t = - 3 \\ t = 3 \end{cases}$ hệ vô nghiệm nên đường thẳng d không đi qua

D(-3; -2; 1)

Với điểm B(3; 2; -1) ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} 3 = 2 + t \\ 2 = 1 + t \\ - 1 = - 2 + t \end{cases} \Leftrightarrow t = 1$ nên đường thẳng d đi qua B(3; 2; -1)

Chọn C.

Câu 26:

17/07/2024

Tích các nghiệm thực của phương trình $3^{x^{2} - 4 x + 5} = 9$ bằng

A. 3

B. 2

C. 4

D. -2

Xem đáp án

Ta có: $3^{x^{2} - 4 x + 5} = 9 \Leftrightarrow 3^{x^{2} - 4 x + 5} = 3^{2} \Leftrightarrow x^{2} - 4 x + 5 = 2 \Leftrightarrow x^{2} - 4 x + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 3 \end{array} .$

Vậy tích các nghiệm thực của phương trình $3^{x^{2} - 4 x + 5} = 9$ bằng 3.

Chọn A.

Câu 27:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x + cos2x thỏa mãn F(0) = 1. Giá trị $F (π)$ bằng

A. $π^{2} - 1.$

B. $2 π^{2} + 1.$

C. $π^{2} + 1.$

D. $2 π^{2} - 1.$

Xem đáp án

Ta có F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = 4 x + \cos 2 x$ nên F(x) có dạng $F (x) = 2 x^{2} + \frac{1}{2} \sin 2 x + C$

Từ $F (0) = 1 \Leftrightarrow C = 1$ suy ra $F (x) = 2 x^{2} + \frac{1}{2} \sin 2 x + 1.$

Vậy $F (π) = 2 π^{2} + 1.$

Chọn B.

Câu 28:

23/07/2024

Cho hàm số $f (x) = \frac{a x - 2}{b x + c}$ với $a, b, c \in ℝ$ có bảng biến thiên như hình vẽ bên.

Cho hàm số f(x) = ax - 2/bx + c với a, b, c thuộc R có bảng biến thiên (ảnh 1)

Giá trị a + c thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $(3; + \infty)$

B. (0; 3)

C. $(- \infty; - 3)$

D. (-3; 0)

Xem đáp án

Từ bảng biến thiên hàm số ta suy ra

$\{\begin{cases} \frac{a}{b} = - 2 \\ a c + 2 b < 0 \\ - \frac{c}{b} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 2 b \\ 2 b^{2} + 2 b < 0 \\ c = - b \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 2 b \\ - 1 < b < 0 \\ c = - b \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 0 < a < 2 \\ 0 < c < 1 \end{cases} \Rightarrow 0 < a + c < 3.$

Chọn B.

Câu 29:

Nếu $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2$ và $\int_{0}^{1} g (x) d x = 3$ thì $\int_{0}^{1} [2020 f (x) - 2021 g (x)] d x$ bằng

A. -2020

B. -1

C. -2023

D. -2021

Xem đáp án

Ta có $\int_{0}^{1} [2020 f (x) - 2021 g (x)] d x = 2020 \int_{0}^{1} f (x) d x - 2021 \int_{0}^{1} g (x) d x$

$= 2020.2 - 2021.3 = - 2023.$

Chọn C.

Câu 30:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm P(5; -2; 3), Q(3; -3; 1). Mặt cầu tâm Q và đi qua điểm P có phương trình là

A. ${(x + 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 3.$

B. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 3.$

C. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9 .$

D. ${(x + 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9 .$

Xem đáp án

Ta có bán kính mặt cầu là $R = Q P = \sqrt{{(5 - 3)}^{2} + {(- 2 + 3)}^{2} + {(3 - 1)}^{2}} = 3.$

Phương trình mặt cầu tâm Q(3; -3; 1) bán kính bằng R = 3 là ${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9.$

Chọn C.

Câu 31:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = - 1 + t \\ y = 2 - 3 t \\ z = t \end{cases}$ và điểm A(2; 3; 1). Mặt phẳng (P) đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng d có phương trình là

A. $2 x + 3 y + z + 6 = 0.$

B. $x - 3 y + z + 6 = 0.$

C. $x - 3 y + z - 6 = 0.$

D. $- x + 3 y - z + 5 = 0.$

Xem đáp án

Vì $d ⊥ (P)$ nên mặt phẳng (P) có vec tơ pháp tuyến là $\vec{n} = \vec{u_{d}} = (1; - 3; 1) .$

Phương trình mặt phẳng (P) là $1 (x - 2) - 3 (y - 3) + 1 (z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow x - 2 - 3 y + 9 + z - 1 = 0$

$\Leftrightarrow x - 3 y + z + 6 = 0.$

Chọn B.

Câu 32:

Tổng các nghiệm của phương trình $\log_{2}^{2} x - 4 \log_{2} x + 3 = 0$ bằng

A. 4

B. -4

C. 10

D. 6

Xem đáp án

$\log_{2}^{2} x - 4 \log_{2} x + 3 = 0 (x > 0) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \log_{2} x = 1 \\ \log_{2} x = 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 8 \end{array} .$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 10.

Chọn C.

Câu 33:

Từ một tổ gồm 8 nam và 7 nữ chọn ra một đoàn đại biểu gồm 5 người để tham dự hội nghị. Xác suất để đoàn đại biểu được chọn có đúng 3 nữ bằng

A. $\frac{14}{129} .$

B. $\frac{28}{715} .$

C. $\frac{140}{429} .$

D. $\frac{3}{143} .$

Xem đáp án

Số phần tử của không gian mẫu là $|Ω| = C_{15}^{5} = 3003.$

Gọi biến cố A “đoàn đại biểu 5 người có đúng 3 nữ”. Khi đó $|Ω_{A}| = C_{7}^{3} . C_{8}^{2} = 980.$

Vậy $P_{A} = \frac{980}{3003} = \frac{140}{429} .$

Chọn C.

Câu 34:

Số phức liên hợp của số phức

Cho hai số phức

z_{1} = 1 - 2 i

và

z_{2} = 3 - i .

z = \frac{z_{2}}{z_{1}}

là

A. $\bar{z} = 1 + i .$

B. $\bar{z} = - 1 - i .$

C. $\bar{z} = 1 - i .$

D. $\bar{z} = - 1 + i .$

Xem đáp án

$z = \frac{z_{2}}{z_{1}} \Rightarrow \bar{z} = \frac{\bar{z_{2}}}{\bar{z_{1}}} = \frac{3 + i}{1 + 2 i} = 1 - i .$

Chọn C.

Câu 35:

Với các số thực dương a, b và $a \neq 1, a^{2 - 3 \log_{a} b}$ bằng

A. $a^{2} b^{- 3} .$

B. $a^{3} b^{2} .$

C. $a^{2} b^{3} .$

D. $a b^{2} .$

Xem đáp án

Ta có $a^{2 - 3 \log_{a} b} = a^{2} . a^{- 3 \log_{a} b} = a^{2} . a^{\log_{a} b^{- 3}} = a^{2} b^{- 3} .$

Chọn A.

Câu 36:

Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm trên $ℝ \ \{- 1; 0\}$ thỏa mãn $f (1) = \frac{1}{2}, f (x) \neq 0$ và $x f' (x) + f^{2} (x) = f (x)$ với mọi $x \in ℝ \ \{- 1; 0\} .$ Giá trị biểu thức $P = f (1) . f (2) ... f (2021)$ bằng

A. 2021!

B. $\frac{1}{2022} .$

C. $\frac{2020}{2021} .$

D. $\frac{1}{2021!} .$

Xem đáp án

Ta có $x f' (x) + f^{2} (x) = f (x) \Leftrightarrow \frac{f (x) - x f' (x)}{f^{2} (x)} = 1 \Leftrightarrow {(\frac{x}{f (x)})}^{'} = 1.$

Lấy nguyên hàm hai vế ta được $\frac{x}{f (x)} = x + C \Rightarrow f (x) = \frac{x}{x + C} .$

Vì $f (1) = \frac{1}{2}$ nên C = 1 suy ra $f (x) = \frac{x}{x + 1} .$

Từ đó $P = f (1) . f (2) ... f (2021) = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} ... \frac{2021}{2022} = \frac{1}{2022} .$

Chọn B.

Câu 37:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; -1; -6) và đường thẳng $d : \frac{x - 4}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 11}{- 6} .$ Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) lớn nhất. Khoảng cách từ điểm M(5; 1; 1) đến mặt phẳng (P) bằng

A. 2.

B. 1.

C. 4.

D. 8.

Xem đáp án

Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A vuông góc với đường thẳng d là:

$2 (x - 0) + 1 (y + 1) - 6 (z + 6) = 0 \Leftrightarrow 2 x + y - 6 z - 35 = 0.$

Phương trình tham số của $d : \{\begin{cases} x = 4 + 2 t \\ y = 2 + t \\ z = - 11 - 6 t \end{cases} .$ Thay vào phương trình mặt phẳng (Q) ta được:

$2 (4 + 2 t) + (2 + t) - 6 (- 11 - 6 t) - 35 = 0 \Leftrightarrow 41 t = - 41 \Leftrightarrow t = - 1.$

Vậy tọa độ hình chiếu của A trên d là $B (2; 1; - 5) \Rightarrow \vec{A B} (2; 2; 1) .$

Gọi H là hình chiếu của A trên (P) khi đó $A H \leq A B$ . Khoảng cách lớn nhất từ A đến mặt phẳng (P) bằng AB hay $\vec{A B}$ là một véc tơ phép tuyến của mặt phẳng (P)

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:

$2 (x - 2) + 2 (y - 1) + 1 (z + 5) = 0 \Leftrightarrow 2 x + 2 y + z - 1 = 0.$

$d (M, (P)) = \frac{|2.5 + 2.1 + 1.1 - 1|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 4.$

Chọn C.

Câu 38:

23/07/2024

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 x + 2 y + z - 5 = 0$ và ba điểm $A (1; 2; 0); B (5; 6; 5); C (1; - 2; - 2) .$ Điểm M(a; b; c) thuộc (P) sao cho $M A^{2} + 2 M B^{2} + M C^{2}$ đặt giá trị nhỏ nhấ. Giá trị $2 a + 3 b + c$ bằng

A. 3.

B. 6.

C. -3

D. 4.

Xem đáp án

Gọi I là điểm thỏa mãn $\vec{I A} + 2 \vec{I B} + \vec{I C} = \vec{0} \Leftrightarrow 2 (\vec{I N} + \vec{I B}) = \vec{0}$ với N là trung điểm của AC. Ta có $N (1; 0; - 1) \Rightarrow I (3; 3; 2) .$

Ta có:

$M A^{2} + 2 M B^{2} + M C^{2} = {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} + 2 {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I C})}^{2} = 4 M I^{2} + I A^{2} + 2 I B^{2} + I C^{2}$

Biểu thức $M A^{2} + 2 M B^{2} + M C^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên (P). Đường thẳng d đi qua I vuông góc với (P) có phương trình:

$d : \{\begin{cases} x = 3 + 2 t \\ y = 3 + 2 t \\ z = 2 + t \end{cases} .$ Thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

$2 (3 + 2 t) + 2 (3 + 2 t) + (2 + t) - 5 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow M (1; 1; 1) .$

$\Rightarrow 2 a + 3 b + c = 2.1 + 3.1 + 1 = 6.$

Chọn B.

Câu 39:

Cho một miếng tôn mỏng hình chữ nhật ABCD, với AB = 4dm và AD = 9dm. Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho AE = 3dm trên cạnh BC lấy điểm F là trung điểm của BC (tham khảo hình 1 ). Cuộn miếng tôn lại một vòng sao cho cạnh AB và DC trùng khít nhau. Khi đó miếng tôn tạo thành mặt xung quanh của một hình trụ (tham khảo hình 2).

Cho một miếng tôn mỏng hình chữ nhật ABCD, với AB = 4dm và AD = 9dm (ảnh 1)

Thể tích V của tứ diện ABEF trong hình 2 bằng

A. $\frac{3 \sqrt{3}}{2 π^{2}} d m^{2} .$

B. $\frac{27 \sqrt{3}}{2 π^{2}} d m^{2} .$

C. $\frac{9 \sqrt{3}}{2 π^{2}} d m^{2} .$

D. $\frac{81 \sqrt{3}}{2 π^{2}} d m^{2} .$

Xem đáp án

Cho một miếng tôn mỏng hình chữ nhật ABCD, với AB = 4dm và AD = 9dm (ảnh 2)

Khi cuộn miếng tôn (hình 1) thành mặt xung quanh của hình trụ (hình 2) thì chiều cao của hình trụ bằng h = 4dm và chu vi đáy của hình trụ là 9dm

Gọi r là bán kính đáy của hình trụ $\Rightarrow 2 π r = 9 \Rightarrow r = \frac{9}{2 π} d m .$

Độ dài đường kính $B F = 2 r = \frac{9}{π} d m .$

Kẻ $E M / / A B (M \in \vec{B F}),$ vì $A E = \frac{1}{3} A D \Rightarrow \vec{A E} = \vec{B M} = \frac{2}{3} \vec{B F} \Rightarrow \hat{B F M} = 60^{0}$ và $\hat{M B F} = 30^{0}$

Tam giác BMF vuông tại $M \Rightarrow B M = B F . \sin \hat{B F M} = \frac{9 \sqrt{3}}{2 π} d m \Rightarrow A E = \frac{9 \sqrt{3}}{2 π} d m .$

Ta có $B M / / A E \Rightarrow \hat{(A E, B F)} = \hat{M B F} = 30^{0}$

$\Rightarrow V_{A B E F} = \frac{1}{6} A E . B F . d (A E, B F) . \sin \hat{(A E, B F)} = \frac{1}{6} . A E . B F . A B . \sin \hat{M B F}$

$\Rightarrow V_{A B E F} = \frac{27 \sqrt{3}}{2 π^{2}} d m^{3} .$

Chọn B.

Câu 40:

19/07/2024

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 3 và độ dài cạnh bên bằng $\sqrt{6}$ (thao khảo hình sau).

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 3 và độ dài cạnh bên (ảnh 1)

Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng

A. $90^{0} .$

B. $45^{0} .$

C. $30^{0} .$

D. $60^{0} .$

Xem đáp án

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 3 và độ dài cạnh bên (ảnh 2)

Gọi $O = A C \cap B D,$ vì S.ABCD là chóp đều $\Rightarrow S O ⊥ (A B C D) .$

Ta có $S B \cap (A B C D) = B \Rightarrow (S B, (A B C D)) = \hat{S B O}$

ABCD là hình vuông cạnh $3 \Rightarrow B D = 3 \sqrt{2} \Rightarrow O B = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Tam giác SOB vuông tại O có $O B = \frac{3 \sqrt{2}}{2}; S B = \sqrt{6}$

$\Rightarrow \cos \hat{S B O} = \frac{O B}{S B} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \hat{S B O} = 30^{0} .$

Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng $30^{0} .$

Chọn C.

Câu 41:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

A, B C = \sqrt{2} a,

cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SA và mặt phẳng (SBC) bằng

30^{0}

(tham khảo hình bên). Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A (ảnh 1)

A. $\frac{\sqrt{6} a^{3}}{36} .$

B. $\frac{\sqrt{6} a^{3}}{12} .$

C. $\frac{\sqrt{2} a^{3}}{12} .$

D. $\frac{\sqrt{6} a^{3}}{4} .$

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A (ảnh 2)

Gọi M là trung điểm của BC. Nối SM kẻ AH vuông góc với SM tại H

Ta có:

$B C ⊥ A M$ (do M là trung điểm của BC và tam giác ABC vuông cân tại A)

$B C ⊥ S A$ (do $S A ⊥ (A B C), B C \subset (A B C)$ )

Nên: $B C ⊥ (S A M) \Rightarrow B C ⊥ A H$ (vì $A H \subset (S A M)$ )

Lại có: $A H ⊥ S M$ (cách dựng)

Suy ra: $A H ⊥ (S B C)$ tại H

$\Rightarrow H$ là hình chiếu của A trên (SBC).

$\Rightarrow S H$ là hình chiếu của SA trên (SBC).

$\Rightarrow \hat{(S A, (S B C))} = \hat{(S A, S H)} = \hat{A S H} = \hat{A S M} \Rightarrow \hat{A S M} = 30^{0}$

+) Tam giác ABC vuông cân tại $A \Rightarrow 2 A B^{2} = B C^{2} = 2 a^{2} \Rightarrow A B = a \Rightarrow A C = A B = a$

$\Rightarrow S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = \frac{a^{2}}{2}$

Có: $A M = \frac{1}{2} B C = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Tam giác SAM vuông tại $A \Rightarrow S A = \frac{A M}{\tan 30^{0}} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$

Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là: $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{6}}{2} . \frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12} .$

Chọn B.

Câu 42:

Cho hàm số $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + m .$ Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số $m \in [- 10; 10]$ sao cho

$\max_{[1; 2]} |f (x)| + \min_{[1; 2]} |f (x)| \geq 10.$ Số phần tử của S bằng

A. 9

B. 10

C. 12

D. 11

Xem đáp án

Xét hàm f(x)

TXĐ: $D = ℝ .$

Có: $f' (x) = 4 x^{2} - 4 x; f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \notin [1; 2] \\ x = 1 \in [1; 2] \\ x = - 1 \notin [1; 2] \end{array}$

$f (1) = m - 1; f (2) = m + 8.$

Có $f (2) > f (1) \Rightarrow \underset{x \in [1; 2]}{M a x} f (x) = f (2) = m + 8; \underset{x \in [1; 2]}{M i n} f (x) = f (1) = m - 1.$

TH1: $\underset{x \in [1; 2]}{M a x} |f (x)| = |f (2)| = |m + 8| = m + 8; \underset{x \in [1; 2]}{M i n} |f (x)| = |f (1)| = |m - 1| = m - 1$

$\Rightarrow \underset{x \in [1; 2]}{M a x} |f (x)| + \underset{x \in [1; 2]}{M i n} |f (x)| \geq 10 \Leftrightarrow m + 8 + m - 1 \geq 10 \Leftrightarrow m \geq \frac{3}{2} .$

Kết hợp với $m \geq 1$ ta được $m \geq \frac{3}{2} .$

TH2: $m + 8 \leq 0 \Leftrightarrow m \leq - 8.$

Khi đó: $\underset{x \in [1; 2]}{M a x} |f (x)| = |f (1)| = |m - 1| = 1 - m; \underset{x \in [1; 2]}{M i n} |f (x)| = |f (2)| = |m + 8| = - m - 8$

$\Rightarrow \underset{x \in [1; 2]}{M a x} |f (x)| + \underset{x \in [1; 2]}{M i n} |f (x)| \geq 10 \Leftrightarrow - 7 - 2 m \geq 10 \Leftrightarrow m \leq - \frac{17}{2} .$

Kết hợp với $m \leq - 8$ ta được $m \leq - \frac{17}{2} .$

TH3: $m - 1 < 0 < m + 8 \Leftrightarrow - 8 < m < 1$

Khi đó: $\underset{x \in [1; 2]}{M a x} |f (x)| = M a x \{|m - 1|; |m + 8|\}; \underset{x \in [1; 2]}{M i n} |f (x)| = 0$

$\Rightarrow \underset{x \in [1; 2]}{M a x} |f (x)| + \underset{x \in [1; 2]}{M i n} |f (x)| \geq 10 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} |m + 8| \geq 10 \\ |m + 8| \geq |m - 1| \end{cases} \\ \{\begin{cases} |m - 1| \geq 10 \\ |m + 8| < |m - 1| \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m \geq 2 \\ m \leq - 18 \end{array} \\ m \geq - \frac{63}{18} \end{cases} \\ \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m \geq 11 \\ m \leq - 9 \end{array} \\ m < - \frac{63}{18} \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \geq 2 \\ m \leq - 9 \end{array}$

Kết hợp với -8 < m < 1 ta được $m \in \emptyset .$

Từ 3 trường hợp trên kết hợp với điều kiện $m \in [- 10; 10]$ ta được $m \in [- 10; - \frac{17}{2}] \cup [\frac{3}{2}; 10] .$

Vậy các giá trị nguyên của m thỏa mãn là $m \in \{- 10; - 9; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10\}$ .

Do đó có 11 giá trị nguyên m thỏa mãn.

Chọn D.

Câu 43:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Gọi M là trung điểm của BC biết góc giữa đường thẳng A'M và mặt phẳng (ABC) bằng $60^{0}$ (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ điểm A' đến mặt phẳng (ABC) bằng

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Gọi (ảnh 1)

A. $\sqrt{3} a .$

B. 2a

C. a

D. 3a

Xem đáp án

Ta có $A M = \sqrt{A C^{2} - C M^{2}} = \sqrt{3} a,$ góc giữa đường thẳng A'M và mặt phẳng (ABC) là $\hat{A' M A} = 60^{0} .$ Khi đó $\tan \hat{A' M A} = \tan 60^{0} = \frac{A' A}{A M} \Rightarrow A' A = A M . \tan 60^{0} = 3 a .$

Vậy khoảng cách từ điểm A' đến mặt phẳng (ABC) bằng 3a.

Chọn D.

Câu 44:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $|z| (z - 4 - i) + 2 i = (5 - i) z ?$

A. 3.

B. 1.

C. 0.

D. 2.

Xem đáp án

Phương trình $z (5 - i - |z|) = - 4 |z| + (2 - |z|) i$

Lấy Môđun hai vế, ta được $|z| |5 - i - |z|| = |- 4 |z| + (2 - |z|) i|$

Đặt $|z| = t (t \geq 0),$ ta có

$t |5 - i - t| = |- 4 t + (2 - t) i|$

$\Leftrightarrow t \sqrt{{(5 - t)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{16 t^{2} + {(2 - t)}^{2}}$

$\Leftrightarrow t^{4} - 10 t^{3} + 9 t^{2} + 4 t - 4 = 0$

$\Leftrightarrow (t - 1) (t^{3} - 9 t^{2} + 4) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t \approx 8, 95 \\ t \approx 0, 69 \\ t \approx - 0, 64 (l) \end{array}$

Ứng với mỗi $t \geq 0$ thì đều có 1 số phức z tương ứng. Vậy có tất cả 3 số phức z thỏa mãn bài.

Chọn D.

Câu 45:

21/07/2024

Cho bất phương trình ${(3 + \sqrt{5})}^{x} + (9 - m) {(3 - \sqrt{5})}^{x} \geq (m - 1) 2^{x}$ với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn [0; 2]?

A. 5.

B. 7.

C. 9.

D. 8.

Xem đáp án

Bất phương trình đã cho tương đương với ${(\frac{3 + \sqrt{5}}{2})}^{x} + (9 - m) {(\frac{3 - \sqrt{5}}{2})}^{x} - (m - 1) \geq 0.$

Đặt $t = {(\frac{3 + \sqrt{5}}{2})}^{x}$ , với $x \in [0; 2] \Rightarrow t \in [1; \frac{7 + 3 \sqrt{5}}{2}],$ ta được bất phương trình

$t^{2} - (m - 1) t + 9 - m \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^{2} + t + 9}{t + 1} \geq m .$

Bất phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn [0; 2] khi và chỉ khi $m \leq \min_{[1; \frac{7 + 3 \sqrt{5}}{2}]} \frac{t^{2} + t + 9}{t + 1} .$

Xét hàm số $f (t) = \frac{t^{2} + t + 9}{t + 1}$ trên $[1; \frac{7 + 3 \sqrt{5}}{2}] \Rightarrow f' (t) = 1 - \frac{9}{{(t + 1)}^{2}}; f' (t) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 2 \\ t = - 4 (l) \end{array} .$

Dễ thấy $\min_{[1; \frac{7 + 3 \sqrt{5}}{2}]} \frac{t^{2} + t + 9}{t + 1} = f (2) = 5 \Rightarrow m \leq 5.$ Vậy có 5 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn.

Chọn A.

Câu 46:

19/07/2024

Gọi $z_{1}, z_{2}$ lần lượt là hai số phức thỏa mãn $|z_{1} + 4 + 2 i| = \sqrt{13}$ và $|z_{2} + 8 - 2 i| = |z_{2} - 4 - 10 i| .$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $|z_{1} - z_{2}| + |z_{2} + 5 - 4 i|$ thuộc khoảng nào dưới đây?

A. (6; 7)

B. (7; 8)

C. (8; 9)

D. (9; 10)

Xem đáp án

Gọi $M, N, I (- 4; - 2), A (- 8; 2), B (4; 10), C (- 5; 4)$ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức $z_{1}, z_{2}, - 4 - 2 i, - 8 + 2 i, 4 + 10 i, - 5 + 4 i .$

Từ giả thiết suy ra M thuộc đường tròn $(I; \sqrt{13}), N$ thuộc đường trung trực d của đoạn thẳng AB

Gọi z1, z2 lần lượt là hai số phức thỏa mãn |z1 + 4 + 2i| = căn bậc hai của 13 (ảnh 1)

Gọi C' là điểm đối xứng với C qua $d \Rightarrow C' (1; 8) .$

Ta có $|z_{1} - z_{2}| + |z_{2} + 5 - 4 i| = M N + N C = M N + N C' .$

Suy ra $|z_{1} - z_{2}| + |z_{2} + 5 - 4 i|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi M, N, C' thẳng hàng.

Khi đó $\min (|z_{1} - z_{2}| + |z_{2} + 5 - 4 i|) = I C' - \sqrt{13} = \sqrt{125} - \sqrt{13} \approx 7, 57.$

Chọn B.

Câu 47:

Có bao nhiêu giá trị nguyên $a \in [1; 20]$ sao cho bất phương trình $2 (x^{a} + \frac{1}{x^{a}} + 7) \geq 9 (x + \frac{1}{x})$ nghiệm đúng với mọi $x \in (0; + \infty) ?$

A. 17.

B. 18.

C. 20.

D. 19.

Xem đáp án

Trường hợp a = 1: bất phương trình đã cho trở thành

$2 (x + \frac{1}{x} + 7) \geq 9 (x + \frac{1}{x}) \Leftrightarrow x + \frac{1}{x} - 2 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} \leq 0 \Leftrightarrow x = 1$ (do x > 0)

$\Rightarrow a = 1$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp a = 2: bất phương trình đã cho trở thành

$2 (x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 7) \geq 9 (x + \frac{1}{x}) \Leftrightarrow 2 {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 9 (x + \frac{1}{x}) + 10 \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{1}{x} \geq \frac{5}{2} \\ x + \frac{1}{x} \leq 2 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x^{2} - 5 x + 2 \geq 0 \\ x^{2} - 2 x + 1 \leq 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \geq 2 \\ 0 < x \leq \frac{1}{2} \\ x = 1 \end{array}$ (do x > 0).

$\Rightarrow a = 2$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp $a \geq 3 :$

Xét hàm số $f (a) = 2 (x^{a} + \frac{1}{x^{a}} + 7) = 2 (x^{a} + x^{- a} + 7)$ với x là tham số dương.

Ta có: $f' (a) = 2 (x^{a} . \ln x - x^{- a} . \ln x) = 2 (x^{a} - \frac{1}{x^{a}}) \ln x .$

+) Nếu 0 < x < 1 thì $x^{a} \leq x^{3} < 1 < \frac{1}{x^{a}}$ và $\ln x < 0 \Rightarrow f' (a) > 0, \forall a \geq 3.$

+) Nếu x = 1 thì f'(a) = 0

+) Nếu x > 1 thì $x^{a} \geq x^{3} > 1 > \frac{1}{x^{a}}$ và $\ln x > 0 \Rightarrow f' (a) > 0, \forall a \geq 3.$

Từ đó suy ra $f' (a) \geq 0, \forall a \geq 3,$ tức là hàm số f(a) đồng biến trên nửa khoảng $[3; + \infty) .$

$\Rightarrow f (a) \geq f (3) \Leftrightarrow 2 (x^{a} + \frac{1}{x^{a}} + 7) \geq 2 (x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 7) = 2 {(x + \frac{1}{x})}^{3} - 6 (x + \frac{1}{x}) + 14.$

Đặt $t = x + \frac{1}{x}$ (điều kiện: $t \geq 2,$ do $x + \frac{1}{x} \geq 2 \sqrt{x . \frac{1}{x}} = 2),$ ta được:

$2 (x^{a} + \frac{1}{x^{a}} + 7) \geq 2 t^{3} - 6 t + 14 = (t - 2) (2 t^{2} + 4 t - 7) + 9 t \geq 9 t, \forall t \geq 2$

$\Rightarrow 2 (x^{a} + \frac{1}{x^{a}} + 7) \geq 9 (x + \frac{1}{x}), \forall x > 0.$

Suy ra với $a \geq 3$ thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x \in (0; + \infty) .$

Mặt khác, do a nguyên và $a \in [1; 20]$ nên $a \in \{3; ...; 20\} .$

Vậy có 18 giá trị nguyên của a thỏa mãn.

Chọn B.

Câu 48:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^{2} + x - 2$ và đường thẳng $y = (m + 1) + 2$ có giá trị nhỏ nhất bằng

A. 11

B. $\frac{21}{2} .$

C. $\frac{32}{3} .$

D. $\frac{23}{2} .$

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng đã cho là

$x^{2} + x - 2 = (m + 1) x + 2 \Leftrightarrow x^{2} - m x - 4 = 0 (1) .$

Do phương trình (1) có P = -4 < 0 nên nó luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu. Giả sử hai nghiệm đó là $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ . Theo định lí Vi-ét ta có:

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1} . x_{2} = - 4 \end{cases} .$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^{2} + x - 2$ và đường thẳng $y = (m + 1) x + 2$ là:

$S = \int_{x_{1}}^{x_{2}} |x^{2} + x - 2 - [(m + 1) x + 2]| d x = \int_{x_{1}}^{x_{2}} |x_{2} - m x - 4| d x = - \int_{x_{1}}^{x_{2}} (x^{2} - m x - 4) d x = \int_{x_{2}}^{x_{1}} (x^{2} - m x - 4) d x$

$= (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{m}{2} x^{2} - 4 x) |\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array} = \frac{1}{3} (x_{1}^{3} - x_{2}^{3}) - \frac{m}{2} (x_{1}^{2} - x_{2}^{2}) - 4 (x_{1} - x_{2})$

$= \frac{1}{6} (x_{1} - x_{2}) [2 (x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) - 3 m (x_{1} + x_{2}) - 24]$

$= \frac{1}{6} (x_{1} - x_{2}) [2 {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} - 3 m (x_{1} + x_{2}) - 24]$

$= \frac{1}{6} (x_{1} - x_{2}) (2 m^{2} + 8 - 3 m^{2} = 24) = \frac{1}{6} (x_{1} - x_{2}) (m^{2} + 16) .$

Suy ra $S^{2} = \frac{1}{36} {(x_{2} - x_{1})}^{2} {(m^{2} + 16)}^{2} = \frac{1}{36} [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}] {(m^{2} + 16)}^{2} = \frac{1}{36} {(m^{2} + 16)}^{3}$

$\Rightarrow S^{2} \geq \frac{1}{36} {.16}^{3} = \frac{1024}{9} \Rightarrow S \geq \frac{32}{3} .$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow m = 0$

Vậy $S_{\min} = \frac{32}{3}$ khi m = 0.

Chọn C.

Câu 49:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn

\log_{\sqrt{2}} 2021 = 1 + \log_{\sqrt{2}} (\sqrt{1 + x^{2}} + x) - \log_{2} (y^{2} - y \sqrt{y^{2} + 2} + 1) .

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y thuộc khoảng nào dưới đây?

A. (40; 41)

B. (42; 43)

C. (44; 45)

D. (46; 47)

Xem đáp án

$\log_{\sqrt{2}} 2021 = 1 + \log_{\sqrt{2}} (\sqrt{1 + x^{2}} + x) - \log_{2} (y^{2} - y \sqrt{y^{2} + 2} + 1)$

$\Leftrightarrow \log_{2} 2021^{2} + \log_{2} (y^{2} - y \sqrt{y^{2} + 2} + 1) = \log_{2} 2 + \log_{2} {(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}$

$\Leftrightarrow 2021^{2} (y^{2} - y \sqrt{y^{2} + 2} + 1) = 2 {(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}$

$\Leftrightarrow 2021^{2} (2 y^{2} - 2 y \sqrt{y^{2} + 2} + 2) = 4 {(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}$

$\Leftrightarrow 2021^{2} {(\sqrt{y^{2} + 2} - y)}^{2} = 4 {(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}$

$\Leftrightarrow 2021 (\sqrt{y^{2} + 2} - y) = 2 (\sqrt{1 + x^{2}} + x) \Rightarrow \{\begin{cases} (\sqrt{1 + x^{2}} + x) (\sqrt{1 + y^{2}} + y) = 2021 (1) \\ (\sqrt{1 + x^{2}} - x) (\sqrt{y^{2} + 2} - y) = \frac{2}{2021} (2) \end{cases}$

Cộng 2 vế (1) và (2) ta được:

$2021 + \frac{2}{2021} = 2 \sqrt{(1 + x^{2}) (y^{2} + 2)} + 2 x y \leq 1 + x^{2} + y^{2} + 2 + 2 x y = {(x + y)}^{2} + 3$

$\Rightarrow x + y \geq \sqrt{2021 + \frac{2}{2021} - 3} \approx 44, 922.$

Chọn C.

Câu 50: