Có bao nhiêu giá trị nguyên $a\in \left[1;20\right]$ sao cho bất phương trình $2\left(x^a+\frac{1}{x^a}+7\right)\ge 9\left(x+\frac{1}{x}\right)$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left(0;+\infty \right)?$ 

Trường hợp a = 1: bất phương trình đã cho trở thành

$2\left(x+\frac{1}{x}+7\right)\ge 9\left(x+\frac{1}{x}\right)\iff x+\frac{1}{x}-2\le 0\iff \frac{{\left(x-1\right)}^2}{2}\le 0\iff x=1$ (do x > 0)

$\Rightarrow a=1$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp a = 2: bất phương trình đã cho trở thành

$2\left(x^2+\frac{1}{x^2}+7\right)\ge 9\left(x+\frac{1}{x}\right)\iff 2{\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-9\left(x+\frac{1}{x}\right)+10\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}x+\frac{1}{x}\ge \frac{5}{2}\\ x+\frac{1}{x}\le 2\end{array}\right.$

 

$\iff \left[\begin{array}{l}2x^2-5x+2\ge 0\\ x^2-2x+1\le 0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x\ge 2\\ 0<x\le \frac{1}{2}\\ x=1\end{array}\right.$(do x > 0).

$\Rightarrow a=2$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp $a\ge 3:$

Xét hàm số $f\left(a\right)=2\left(x^a+\frac{1}{x^a}+7\right)=2\left(x^a+x^{-a}+7\right)$ với x là tham số dương.

Ta có: $f\text{'}\left(a\right)=2\left(x^a.\ln x-x^{-a}.\ln x\right)=2\left(x^a-\frac{1}{x^a}\right)\ln x.$

+) Nếu 0 < x < 1 thì $x^a\le x^3<1<\frac{1}{x^a}$ và $\ln x<0\Rightarrow f\text{'}\left(a\right)>0,\forall a\ge 3.$

+) Nếu x = 1 thì f'(a) = 0

+) Nếu x > 1 thì $x^a\ge x^3>1>\frac{1}{x^a}$ và $\ln x>0\Rightarrow f\text{'}\left(a\right)>0,\forall a\ge 3.$

Từ đó suy ra $f\text{'}\left(a\right)\ge 0,\forall a\ge 3,$ tức là hàm số f(a) đồng biến trên nửa khoảng $\left[3;+\infty \right).$

$\Rightarrow f\left(a\right)\ge f\left(3\right)\iff 2\left(x^a+\frac{1}{x^a}+7\right)\ge 2\left(x^3+\frac{1}{x^3}+7\right)=2{\left(x+\frac{1}{x}\right)}^3-6\left(x+\frac{1}{x}\right)+14.$

Đặt $t=x+\frac{1}{x}$ (điều kiện: $t\ge 2,$ do $x+\frac{1}{x}\ge 2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2),$ ta được:

$2\left(x^a+\frac{1}{x^a}+7\right)\ge 2t^3-6t+14=\left(t-2\right)\left(2t^2+4t-7\right)+9t\ge 9t,\forall t\ge 2$

$\Rightarrow 2\left(x^a+\frac{1}{x^a}+7\right)\ge 9\left(x+\frac{1}{x}\right),\forall x>0.$

 

Suy ra với $a\ge 3$ thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x\in \left(0;+\infty \right).$

Mặt khác, do a nguyên và $a\in \left[1;20\right]$ nên $a\in \left\{3;\mathrm{...};20\right\}.$

Vậy có 18 giá trị nguyên của a thỏa mãn.

Chọn B.