Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left(1;1;1\right),B\left(2;1;0\right),C\left(2;0;2\right).$ Gọi (P) là mặt phẳng chứa BC và cách A một khoảng lớn nhất. Hỏi vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)? 

Đáp án đúng: D

 

*Lời giải:

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên (P), BC.

Ta có $AH\perp \left(P\right)\Rightarrow AH\perp HK\Rightarrow \Delta AHK$ vuông tại $H\Rightarrow AH\le AK$ hay $d\left(A;\left(P\right)\right)\le d\left(A;BC\right)$.

Do đó d(A; (P)) lớn nhất khi $AH\equiv AK\Rightarrow H\equiv K.$

Ta có $\overrightarrow{BC}=\left(0;-1;2\right)\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng $BC:\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1-t\\ z=2t\end{array}\right.$

Vì $K\in BC\Rightarrow K\left(2;1-t;2t\right)\Rightarrow \overrightarrow{AK}=\left(1;-t;2t-1\right).$

Ta có $\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{BC}=0\iff 1.0+t+2\left(2t-1\right)=0\iff t=\frac{2}{5}\Rightarrow \overrightarrow{AK}=\left(1;-\frac{2}{5};-\frac{1}{5}\right)//\left(5;-2;-1\right).$

Vậy khi d(A; (P)) lớn nhất thì (P) có 1 VTPT $\overrightarrow{n}=\left(5;-2;-1\right).$

*Phương pháp giải:

- Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên (P), BC Chứng minh $AH\le AK\Rightarrow d{\left(A;\left(P\right)\right)}_{\max }=AK.$

- Viết phương trình đường thẳng K tham số hóa tọa độ điểm $K\in BC.$

- Sử dụng $\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{BC}=0$ tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{AK}.$

*Cách giải và các dạng bài toán về hệ trục tọa độ trong không gian:

Phương trình tổng quát của mặt phẳng

    - Trong không gian Oxy , mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình:

    Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 ≠ 0

    - Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một VTPT là n→(A; B; C).

    - Phương trình mặt phẳng đi qua điểm Mo(xo; yo; zo) và nhận vectơ n→(A; B; C) khác 0→ là VTPT là: A(x - xo) + B(y - yo) + C(z - zo) = 0 .

    • Các trường hợp riêng

    Xét phương trình mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 ≠ 0

    - Nếu D = 0 thì mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O.

    - Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Ox.

    - Nếu A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oy.

    - Nếu A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oz.

    - Nếu A = B = 0, C ≠ 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxy).

    - Nếu A = C = 0, B ≠ 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxz).

    - Nếu B = C = 0, A ≠ 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oyz).

    Chú ý:

    - Nếu trong phương trình (α) không chứa ẩn nào thì (α) song song hoặc chứa trục tương ứng.

    - Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (α): . Ở đây (α) cắt các trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) với abc ≠ 0.

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

    • Trong không gian Oxyz, cho điểm Mo(xo; yo; zo) và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0

    Khi đó khoảng cách từ điểm Mo đến mặt phẳng (α) được tính:

Góc giữa hai mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (β): A2x + B2y + C2z + D2 = 0

    Góc giữa (α) và (β) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT nα→, nβ→. Tức là:

Một số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳng

    Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.

    Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

    Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua 1 điểm Mo(xo; yo; zo) và song song với 1 mặt phẳng (β): Ax + By + Cz + D = 0 cho trước.

    Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:

    1. VTPT của (β) là nβ→ = (A; B; C)

    2. (α) // (β) nên VTPT của mặt phẳng (α) là nα→ = nβ→ = (A; B; C)

    3. Phương trình mặt phẳng (α): A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

    Cách 2:

    1. Mặt phẳng (α) // (β) nên phương trình (P) có dạng: Ax + By + Cz + D' = 0 (*), với D' ≠ D.

    2. Vì (P) qua 1 điểm Mo(xo; yo; zo) nên thay tọa độ Mo(xo; yo; zo) vào (*) tìm được D'.

    Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.

    1. Tìm tọa độ các vectơ: AB→, AC→

    2. Vectơ pháp tuyến của (α) là: nα→ = [AB→, AC→]

    3. Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B hoặc C).

    4. Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT nα

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng Δ

    1. Tìm VTCP của Δ là uΔ→

    2. Vì (α) ⊥ Δ nên (α) có VTPT nα→ = uΔ→

    3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT nα→

    Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ, vuông góc với mặt phẳng (β)

    1. Tìm VTPT của (β) là nβ→

    2. Tìm VTCP của Δ là uΔ→

    3. VTPT của mặt phẳng (α) là: nα→ = [nβ→; uΔ→]

    4. Lấy một điểm M trên Δ

    5. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

    Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β)

    1. Tìm VTPT của (β) là nβ→

    2. Tìm tọa độ vectơ AB→

    3. VTPT của mặt phẳng (α) là: nα→ = [nβ→, AB→]

    4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Lý thuyết Hệ trục toạ độ trong không gian– Toán lớp 12 Kết nối tri thức

Trắc nghiệm Phương trình mặt phẳng có đáp án (Phần 1)

66 câu trắc nghiệm: Phương trình mặt phẳng có đáp án (P1)