50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 25 đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải (đề 19)

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(P) : x + y + z - 3 = 0$ đi qua điểm nào dưới đây?

A. $C (2; 0; 0)$

B. $B (0; 1; 1)$

C. $D (0; 1; 0)$

D. $A (1; 1; 1)$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $1 + 1 + 1 - 3 = 0 \Rightarrow A (1; 1; 1) \in (P)$

Câu 2:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có bảng xét dấu như hình sau:

Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số có 4 điểm cực trị $x = - 1; x = 0; x = 2; x = 4$ .

Nhiều học sinh cho rằng x = 0 không phải là điểm cực trị do $y^{'} (0) \neq 0$ .

Lưu ý điều kiện $f^{'} (x_{0}) = 0$ chỉ là điều kiện cần để $x = x_{0}$ là điểm cực trị của hàm số.

Câu 3:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- 1; 1)$

B. $(- 3; + \infty)$

C. $(- \infty; 1)$

D. $(1; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án D

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$ .

Câu 4:

Cho a, b, c theo thứ tự này là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Biết $a + b + c = 15$ . Giá trị của b bằng:

A. b = 10

B. b = 8

C. b = 5

D. b = 6

Xem đáp án

Đáp án C

Do a, b, c theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng trên $a + c = 2 b$ .

Mà

a + b + c = 15 \Rightarrow 3 b = 15 \Leftrightarrow b = 5

.

Câu 5:

12/07/2024

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào dưới đây sai?

A. M(0;2) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

B. $x_{0} = 0$ là điểm cực đại của hàm số

C. $x_{0} = 1$ là điểm cực tiểu của hàm số

D. $f (- 1)$ là một giá trị cực tiểu của hàm số

Xem đáp án

Đáp án A

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

M (0; 2)

là điểm cực đại của đồ thị hàm số nên đáp án A sai

Câu 6:

Phương trình $5^{2 x + 1} = 125$ có nghiệm là:

A. $x = \frac{3}{2}$

B. $x = \frac{5}{2}$

C. $x = 3$

D. $x = 1$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:

5^{2 x + 1} = 125 \Leftrightarrow 2 x + 1 = \log_{5} 125 = 3 \Leftrightarrow x = 1

.

Câu 7:

20/07/2024

Trong không gian Oxyz, cho điểm A thỏa mãn $\vec{O A} = 2 \vec{i} + \vec{j}$ là hai véctơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox, Oy. Tọa độ điểm A là:

A. $A (2; 1; 0)$

B. $A (0; 2; 1)$

C. $A (0; 1; 1)$

D. $A (1; 1; 1)$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

\vec{O A} = 2 \vec{i} + \vec{j} \Rightarrow A (2; 1; 0)

Câu 8:

Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\log (3 a) = 3 \log a$

B. $\log a^{3} = 3 \log a$

C. $\log (3 a) = \frac{1}{3} \log a$

D. $\log a^{3} = \frac{1}{3} \log a$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\log (3 a) = \log 3 + \log a (a > 0) \Rightarrow$ Đáp án A và C sai.

$\log a^{3} = 3 \log a (a > 0) \Rightarrow$ Đáp án B đúng, đáp án D sai.

Sử dụng công thức $\log (a b) = \log a + \log b, \log a^{m} = m \log a (a, b > 0)$ .

Câu 9:

12/07/2024

Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông, độ dài hai cạnh góc vuông là 3a, 4a và chiều cao của khối lăng trụ là 6a. Thể tích của khối lăng trụ bằng:

A. $V = 27 a^{3}$

B. $V = 12 a^{3}$

C. $V = 72 a^{3}$

D. $V = 36 a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Thể tích lăng trụ là

V = S h = \frac{1}{2} .3 a .4 a .6 a = 36 a^{3}

.

Câu 10:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua 3 điểm $A (1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 3)$ có phương trình là:

A. $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$

B. $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 0$

C. $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = - 1$

D. $\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{3} = 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

(A B C) : \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1

.

Câu 11:

Cho $z = - 1 - 2 i$ . Điểm nào trong hình vẽ bên dưới là điểm biểu diễn số phức $\bar{z}$ ?

A. N

B. M

C. P

D. Q

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $z = - 1 - 2 i \Rightarrow \bar{z} = - 1 + 2 i \Rightarrow Q (- 1; 2)$ là điểm biểu diễn số phức $\bar{z}$ .

Câu 12:

Với $P = \log_{a} b^{3} + \log_{a^{2}} b^{6}$ , trong đó a, b là các số thực dương tùy ý và a khác 1. Khi đó mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $P = 27 \log_{a} b$

B. $P = 9 \log_{a} b$

C. $P = 6 \log_{a} b$

D. $P = 15 \log_{a} b$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $P = \log_{a} b^{3} + \log_{a^{2}} b^{6} = 3 \log_{a} b + \frac{6}{2} \log_{a} b = 6 \log_{a} b$ .

Sử dụng công thức $\log_{a^{n}} b^{m} = \frac{m}{n} \log_{a} b (0 < a \neq 1, b > 0)$

Câu 13:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2^{x} + \frac{2}{x}$ là:

A. $2^{x} \ln - \frac{2}{x^{2}} + C$

B. $2^{x} + 2 \ln x + C$

C. $\frac{2^{x}}{\ln 2} + 2 \ln |x| + C$

D. $\frac{2^{x}}{\ln 2} + 2 \ln x + C$

Xem đáp án

Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^x + 2/x là:

Câu 14:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[- 1; 3]$ và có đồ thị như hình vẽ. M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[- 1; 3]$ . Giá trị của $M + m$ là:

A. -5

B. 2

C. -6

D. -2

Xem đáp án

Đáp án D

Trên đoạn [-1;3], ta có:

\{\begin{cases} M = \max y = \underset{[- 1; 3]}{y} (- 1) = 2 \\ m = \min y = \underset{[- 1; 3]}{y} (2) = - 4 \end{cases} \Rightarrow M + m = 2 - 4 = - 2

.

Câu 15:

Đường cong trong hình là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $y = \frac{- x + 1}{x + 1}$

B. $y = x^{3} - 3 x + 2$

C. $y = \frac{- x}{x + 1}$

D. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Đồ thị trên là đồ thị của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, do đó loại đáp án B và D.

Đồ thị hàm số đi qua điểm

(0; 1) \Rightarrow

Loại đáp án C

Câu 16:

19/07/2024

Kí hiệu $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} - 3 x + 3 = 0$ . Giá trị của ${|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}$ bằng:

A. $2 \sqrt{3}$

B. $2 \sqrt{5}$

C. 6

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $z^{2} - 3 z + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z_{1} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \\ z_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \end{array} \Rightarrow {|z_{1}|}^{2} = {|z_{2}|}^{2} = 3$

Vậy ${|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2} = 6$ .

Câu 17:

18/07/2024

Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2$ . Khi đó $\int_{0}^{1} [2 f (x) + e^{x}] d x$ bằng:

A. $e + 3$

B. $5 + e$

C. $3 - e$

D. $5 - e$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

\int_{0}^{1} [2 f (x) + e^{x}] d x = 2 \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{0}^{1} e^{x} d x = {2.2 + e^{x}|}_{0}^{1} = 4 + e - 1 = 3 + e

Câu 18:

Chọn kết luận đúng?

A. $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$

B. $C_{n}^{0} = 0$

C. $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n + k)!}$

D. $A_{n}^{1} = 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$ là kết luận đúng.

Sử dụng công thức: $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}; C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ .

Câu 19:

Thể tích của khối cầu có bán kính R bằng:

A. $\frac{1}{3} π R^{3}$

B. $\frac{4}{3} π^{2} R^{3}$

C. $\frac{4}{3} π R^{3}$

D. $4 π R^{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Công thức tinh thể tích khối cầu bán kính R là

V = \frac{4}{3} π R^{3}

.

Câu 20:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 3 = 0$ . Bán kính mặt cầu bằng:

A. R = 3

B. R = 4

C. R = 2

D. R = 5

Xem đáp án

Đáp án C

Mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 3 = 0$ có

$a = 1; b = 0; c = 0; d = - 3 \Rightarrow R = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 0^{2} - (- 3)} = 2$ .

Mặt cầu có phương trình $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 a x + 2 b y + 2 c z + d = 0$ có tâm $I (a; b; c)$ bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$ .

Câu 21:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x - 1) > \log_{2} \frac{1}{x^{2} - 1}$ là:

A. $[2; + \infty)$

B. $\emptyset$

C. $(0; 1)$

D. $(1; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\log_{\frac{1}{2}} (x - 1) > \log_{2} \frac{1}{x^{2} - 1} \Leftrightarrow \log_{2} \frac{1}{x - 1} > \log_{2} \frac{1}{x^{2} - 1}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x - 1} > \frac{1}{x^{2} - 1} > 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{x + 1 - 1}{x^{2} - 1} > 0 \\ x^{2} - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ [\begin{array}{l} x > 1 \\ x < - 1 \end{array} \Leftrightarrow x > 1 \end{cases}$ .

\log_{a} f (x) > \log_{a} g (x) \Leftrightarrow f (x) > g (x) > 0

(với a > 1)

Câu 22:

Hàm số $y = \log_{2} \sqrt{x^{2} + x}$ có đạo hàm là:

A. $y^{'} = \frac{2 x + 1}{x^{2} + x}$

B. $y^{'} = \frac{2 x + 1}{2 (x^{2} + x) \ln 2}$

C. $y^{'} = \frac{2 x + 1}{(x^{2} + x) \ln 2}$

D. $y^{'} = \frac{(2 x + 1) \ln 2}{2 (x^{2} + x)}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y^{'} = {(\log_{2} \sqrt{x^{2} + x})}^{'} = \frac{{(\sqrt{x^{2} + x})}^{'}}{\sqrt{x^{2} + x} \ln 2} = \frac{\frac{2 x + 1}{2 \sqrt{x^{2} + x}}}{\sqrt{x^{2} + x} \ln 2} = \frac{2 x + 1}{2 (x^{2} + x) \ln 2}$ .

Cẩn thận khi tính đạo hàm của hàm hợp.

Sử dụng công thức ${(\log_{a} u)}^{'} = \frac{u^{'}}{u \ln a}$ .

Câu 23:

Một khu vườn dạng hình tròn có hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau, AB = 12m. Người ta làm một hồ cá có dạng hình elip với bốn đỉnh $M, N, M^{'}, N^{'}$ như hình vẽ, biết $M N = 10 m, M^{'} N^{'} = 8 m, P Q = 8 m .$ Diện tích phần trồng cỏ (phần gạch sọc) bằng:

A. $20,33 m^{2}$

B. $33,02 m^{2}$

C. $23,02 m^{2}$

D. $32,03 m^{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có $A B = 12 m \Rightarrow O A = 6 m .$

Phương trình đường tròn là $x^{2} + y^{2} = 36 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt{36 - x^{2}}$ .

Phương trình elip là: $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1 \Leftrightarrow y = \pm 4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{25}}$ .

Khi đó diện tích phần trồng cỏ là: $S = 2 \int_{- 4}^{4} (\sqrt{36 - x^{2}} - 4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{25}}) d x \approx 32,03 (m^{2})$ .

Câu 24:

Cho khối trụ (T) có đường cao h, bán kính đáy R và h = 2R. Một mặt phẳng qua trục cắt khối trụ theo thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng $16 a^{2}$ . Thể tích của khối trụ đã cho bằng:

A. $V = 27 π a^{3}$

B. $V = 16 π a^{3}$

C. $V = \frac{16}{3} π a^{3}$

D. $V = 4 π a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Một mặt phẳng qua trục cắt khối trụ theo thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng

$16 a^{2} \Rightarrow 2 R .2 R = 16 a^{2} \Leftrightarrow R^{2} = 4 a^{2} \Leftrightarrow R = 2 a \Rightarrow 2 R = 4 a$ .

Thể tích của khối trụ đã cho là $V = π R^{2} h = π . {(2 a)}^{2} .4 a = 16 π a^{3}$ .

Câu 25:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 2 z + 1 = 0$ và đường thẳng $Δ : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{1}$ . Khoảng cách giữa Δ và (P) bằng:

A. $\frac{8}{3}$

B. $\frac{7}{3}$

C. $\frac{6}{\sqrt{3}}$

D. $\frac{8}{\sqrt{3}}$

Xem đáp án

Đáp án A

(P) nhận $\vec{n} = (1; - 2; 2)$ là 1 véctơ pháp tuyến.

$Δ$ nhận $\vec{u} = (2; 2; 1)$ là 1 véctơ chỉ phương.

Ta có: $\vec{n} . \vec{u} = 1.2 - 2.2 + 2.1 = 0 \Leftrightarrow \vec{n} ⊥ \vec{u}$

Lấy $M (1; - 2; 1) \in Δ \Rightarrow 1 - 2 (- 2) + 2.1 + 1 = 8 \neq 0 \Rightarrow M \notin (P) \Rightarrow Δ // (P)$ .

Do đó $d (Δ; (P)) = d (M; (P)) = \frac{8}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + 2^{2}}} = \frac{8}{3}$ .

Câu 26:

Cho hàm số $y = f (x)$ thỏa mãn $f (0) = 0; (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ . Họ nguyên hàm của hàm số $g (x) = 4 x f (x)$ là:

A. $(x^{2} + 1) \ln (x^{2}) - x^{2} + c$

B. $x^{2} \ln (x^{2} + 1) - x^{2}$

C. $(x^{2} + 1) \ln (x^{2} + 1) - x^{2} + c$

D. $(x^{2} + 1) \ln (x^{2} + 1) - x^{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $f^{'} (x) = \frac{x}{x^{2} + 1} \Rightarrow f (x) = \int f^{'} (x) d x = \int \frac{x dx}{x^{2} + 1} = \frac{1}{2} \int \frac{d (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) + C$

$f (0) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \ln 1 + C = 0 \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow f (x) = \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1)$

$\Rightarrow g (x) = 4 x f (x) = 2 x \ln (x^{2} + 1) \Rightarrow \int g (x) d x = \int 2 x \ln (x^{2} + 1) d x$

Đặt $t = x^{2} + 1 \Rightarrow d t = 2 xdx$

$\Rightarrow \int g (x) d x = \int \ln t d t = t \ln t - \int t . \frac{1}{t} d t = t \ln t - \int d t = t \ln t - t + C$

$= (x^{2} + 1) \ln (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) + C$

Đặt

- 1 + C = c \Rightarrow \int g (x) d x = (x^{2} + 1) \ln (x^{2} + 1) - x^{2} + c

.

Câu 27:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Đáp án C

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

$\lim_{x \to - \infty} y = 0 \Rightarrow y = 0$ là TCN của đồ thị hàm số.

$\{\begin{cases} \lim_{x \to - 2^{-}} y = - \infty; \lim_{x \to - 2^{+}} y = + \infty \\ \lim_{x \to 2^{-}} y = - \infty; \lim_{x \to 2^{+}} y = + \infty \end{cases} \Rightarrow x = \pm 2$ là TCĐ của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.

Cho hàm số $y = f (x)$ .

Nếu $\lim_{x \to + \infty} y = y_{0} \Rightarrow y = y_{0}$ là TCN của đồ thị hàm số.

Nếu $\lim_{x \to x_{0}} y = \infty \Rightarrow x = x_{0}$ là TCĐ của đồ thị hàm số.

Câu 28:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (0; 1; 1), B (1; 0; 0)$ và mặt phẳng $(P) : x + y + z - 3 = 0$ . Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (P) đồng thời đường thẳng AB cắt (Q) tại C sao cho CA = 2CB. Mặt phẳng (Q) có phương trình là

A. $(Q) : x + y + z - \frac{4}{3} = 0$

B. $(Q) : x + y + z = 0$ hoặc $(Q) : x + y + z - 2 = 0$

C. $(Q) : x + y + z = 0$

D. $(Q) : x + y + z - \frac{4}{3} = 0$ hoặc $(Q) : x + y + z = 0$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $(P) // (Q) \Rightarrow$ Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng $x + y + z + c = 0 (c \neq - 3)$ .

TH1: Điểm C nằm giữa hai điểm A, B $\Rightarrow \vec{A C} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ .

$\Rightarrow \{\begin{cases} x_{C} = \frac{2}{3} (1 - 0) \\ y_{C} - 1 = \frac{2}{3} (0 - 1) \\ z_{C} - 1 = \frac{2}{3} (0 - 1) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{C} = \frac{2}{3} \\ y_{C} = \frac{1}{3} \\ z_{C} = \frac{1}{3} \end{cases} \Rightarrow C (\frac{2}{3}; \frac{1}{3}; \frac{1}{3})$

$C \in (Q) \Rightarrow \frac{2}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + c = 0 \Leftrightarrow c = - \frac{4}{3}$ (thỏa mãn) $\Rightarrow (Q) : x + y + z - \frac{4}{3} = 0$ .

TH2: Điểm C không nằm giữa hai điểm A, B $\Rightarrow \vec{A C} = 2 \vec{A B}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x_{C} = 2 (1 - 0) \\ y_{C} - 1 = 2 (0 - 1) \\ z_{C} - 1 = 2 (0 - 1) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{C} = 2 \\ y_{C} = - 1 \\ z_{C} = - 1 \end{cases} \Rightarrow C (2; - 1; - 1)$

$C \in (Q) \Rightarrow 2 - 1 - 1 + c = 0 \Leftrightarrow c = 0$ (thỏa mãn) $\Rightarrow (Q) : x + y + z = 0$ .

Câu 29:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 2 m}$ đồng biến trên $(- \infty; - 4]$ . Số phần tử của S là

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

TXĐ: $D = ℝ \ \{- 2 m\}$

Ta có: $y^{'} = \frac{2 m + 2}{{(x + 2 m)}^{2}}$

Để hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 4]$ thì

$\{\begin{cases} y^{'} > 0 \\ - 2 m > - 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 m + 2 > 0 \\ m < 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > - 1 \\ m < 2 \end{cases} \Leftrightarrow - 1 < m < 2$

Mà $m \in ℤ \Rightarrow S = \{0; 1\}$

Câu 30:

Cho hàm số $y = f (x)$ và hàm số bậc ba $y = g (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Diện tích phần gạch chéo được tính bởi công thức nào sau đây?

A. $S = \int_{- 3}^{- 1} [f (x) - g (x)] d x + \int_{- 1}^{2} [g (x) - f (x)] d x$

B. $S = |\int_{- 3}^{2} [f (x) - g (x)] d x|$

C. $S = \int_{- 3}^{- 1} [g (x) - f (x)] d x + \int_{- 1}^{2} [f (x) - g (x)] d x$

D. $S = \int_{- 3}^{- 1} [g (x) - f (x)] d x + \int_{- 1}^{2} [g (x) - f (x)] d x$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

S = \int_{- 3}^{2} |f (x) - g (x)| d x = \int_{- 3}^{- 1} |f (x) - g (x)| d x + \int_{- 1}^{2} |f (x) - g (x)| d x

= \int_{- 3}^{- 1} [g (x) - f (x)] d x + \int_{- 1}^{2} [f (x) - g (x)] d x

.

Câu 31:

14/07/2024

Người ta làm một dụng cụ sinh hoạt gồm hình nón và hình trụ như hình vẽ (không có nắp đậy trên). Cần bao nhiêu diện tích vật liệu để làm (các mối hàn không đáng kể, làm tròn kết quả đến một chữ số thập phân sau dấu phẩy)?

A. $5,6 m^{2}$

B. $6,6 m^{2}$

C. $5,2 m^{2}$

D. $4,5 m^{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Diện tích xung quanh hình trụ là: $S_{1} = 2 π . \frac{1,4}{2} .0,7 = 0,98 π (m^{2})$

Chiều cao hình nón bằng $1,6 - 0,7 = 0,9 (m)$

$\Rightarrow$ Độ dài đường sinh của hình nón bằng $\sqrt{{0,9}^{2} + {0,7}^{2}} = \frac{\sqrt{130}}{10}$

Diện tích xung quanh hình nón là: $S_{2} = π .0,7. \frac{\sqrt{130}}{10} \approx 2,507 (m^{2})$ .

Vậy diện tích vật liệu cần dùng là $S_{1} + S_{2} \approx 5,6 (m^{2})$

Câu 32:

Cho hàm số $y = f (x)$ có hàm biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình $2019 f (x) - 5 = 0$ là:

A. 3

B. 0

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $z = a + b i \Rightarrow \bar{z} = a - b i$

Theo bài ra ta có:

(a + b i) (1 + i) + (a - b i) - i = 0 \Leftrightarrow a - b + (a + b) i + a - b i - i = 0

\Leftrightarrow 2 a - b + (a - 1) i = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 a - b = 0 \\ a - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \end{cases} \Rightarrow z = 1 + 2 i

.

Câu 33:

Số phức z thỏa mãn $z (1 + i) + \bar{z} - i = 0$ là:

A. $z = 1 - 2 i$

B. $z = - 1 - 2 i$

C. $z = 1 + 2 i$

D. $(- \infty; - 2)$

Xem đáp án

Số phức z thỏa mãn z ( i + i ) + z ngang - i = 0 là

Câu 34:

19/07/2024

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Gọi $α$ là góc giữa đường thẳng $A^{'} C$ và mặt phẳng $(A B C^{'} D^{'})$ . Khi đó:

A. $\tan α = \sqrt{3}$

B. $\tan α = \sqrt{3}$

C. $\tan α = \frac{1}{\sqrt{3}}$

D. $\tan α = \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $O = A^{'} C \cap B \Rightarrow O = A^{'} C \cap (A B C^{'} D^{'})$

Gọi $H = A^{'} D \cap A$ ta có: $\{\begin{cases} A B ⊥ (A D D^{'} A^{'}) \Rightarrow A B ⊥ A^{'} H \\ A^{'} H ⊥ A D^{'} \end{cases} \Rightarrow A^{'} H ⊥ (A B C^{'} D^{'})$

$\Rightarrow$ HO là hình chiếu của A'O trên $(A B C^{'} D^{'})$ .

$\Rightarrow \hat{(A^{'} C, (A B C^{'} D^{'}))} = \hat{(A^{'} O, H O)} = \hat{A^{'} O H} = α$

Không mất tính tổng quát, ta đặt cạnh của hình lập phương bằng 1.

Xét tam giác vuông A'OH vuông tại H có:

$\{\begin{cases} O H = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} \\ A^{'} H = \frac{1}{2} A^{'} D = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} \Rightarrow \tan \hat{A^{'} O H} = \tan α = \frac{A H}{O H} = \sqrt{2}$

Câu 35:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2} + m$ . Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số có 3 cực trị:

A. m > 0

B. $m \geq 0$

C. m <0

D. $m \leq 0$

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2} + m$ có 3 cực trị $\Leftrightarrow 1. m < 0 \Leftrightarrow m < 0$ .

Hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có 3 cực trị $\Leftrightarrow a b < 0$ .

Câu 36:

Cho số thực a > 4. Gọi P là tích tất cả các nghiệm của phương trình $a^{\ln x^{2}} - a^{\ln (e x)} + a = 0$ . Khi đó:

A. $P = a e$

B. $P = e$

C. $P = a$

D. $P = a^{e}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $a^{\ln x^{2}} - a^{\ln (e x)} + a = 0 (x > 0) \Leftrightarrow a^{2 \ln x} - a^{1 + \ln x} + a = 0 \Leftrightarrow {(a^{\ln x})}^{2} - a . a^{\ln x} + a = 0$

Đặt $t = a^{\ln x} (t > 0)$ , phương trình trở thành $t^{2} - a t + a = 0$ (*)

$\{\begin{cases} Δ = a^{2} - 4 a = a (a - 4) > 0 \forall a > 4 \\ S = a > 0 \\ P = a > 0 \end{cases}$

$\Rightarrow$ phương trình (*) có 2 nghiệm $t_{1}, t_{2}$ dương phân biệt.

Suy ra phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt.

Ta có: $t = a^{\ln x} \Leftrightarrow \ln x = \log_{a} t \Leftrightarrow x = e^{\log_{a} t}$

$\Rightarrow x_{1} x_{2} = e^{\log_{a} t_{1}} . e^{\log_{a} t_{2}} = e^{\log_{a} t_{1} + \log_{a} t_{2}} = e^{\log_{a} (t_{1} t_{2})} = e^{\log_{a} a} = e \Rightarrow P = e$

Câu 37:

Cho $\int_{1}^{4} \frac{1}{2 \sqrt{x}} {(\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1})}^{2} d x = \frac{a}{b} + 2 \ln \frac{c}{d}$ với a, b, c, d là các số nguyên, $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Giá trị của $a + b + c + d$ bằng:

A. 16

B. 18

C. 25

D. 20

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt

t = \sqrt{x} \Rightarrow d t = \frac{d x}{2 \sqrt{x}}

. Đổi cận

\{\begin{cases} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = 4 \Rightarrow t = 2 \end{cases}

\Rightarrow \int_{1}^{4} \frac{1}{2 \sqrt{x}} {(\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1})}^{2} d x = \int_{1}^{2} {(\frac{t + 2}{t + 1})}^{2} d t = \int_{1}^{2} {(1 + \frac{1}{t + 1})}^{2} d t

= \int_{1}^{2} (1 + \frac{2}{t + 1} + \frac{1}{{(t + 1)}^{2}}) d t = {(t + 2 \ln |t + 1| - \frac{1}{t + 1})|}_{1}^{2}

= 2 + 2 \ln 3 - \frac{1}{3} - 1 - 2 \ln 2 + \frac{1}{2} = \frac{7}{6} + 2 \ln \frac{3}{2} = \frac{a}{b} + 2 \ln \frac{c}{d}

\Rightarrow a = 7; b = 6; c = 3; d = 2 \Rightarrow a + b + c + d = 7 + 6 + 3 + 2 = 18

Câu 38:

Xét z số phức thỏa mãn $\frac{2019 z}{z - 2}$ là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn (C) trừ đi một điểm N(2;0). Bán kính của (C) bằng:

A. $\sqrt{3}$

B. 1

C. 2

D. $\sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $z = a + b i$ ta có: $\frac{2019 z}{z - 2} = \frac{2019 (a + b i)}{a + b i - 2} = \frac{2019 (a + b i) (a - 2 - b i)}{{(a - 2)}^{2} + b^{2}}$

$= \frac{2019 [a (a - 2) + b^{2} + [- a b + (a - 2) b] i]}{{(a - 2)}^{2} + b^{2}}$

$= \frac{2019 [a (a - 2) + b^{2}]}{{(a - 2)}^{2} + b^{2}} + \frac{2019 [- a b + (a - 2) b]}{{(a - 2)}^{2} + b^{2}} i (z \neq 2)$

Để $\frac{2019 z}{z - 2}$ là số thuần ảo $\Rightarrow 2019 [a (a - 2) + b^{2}] = 0 \Leftrightarrow a^{2} - 2 a + b^{2} = 0$ .

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn $(C) : x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ trừ đi một điểm $N (2; 0)$ có tâm $I (1; 0)$ , bán kính $R = \sqrt{1^{2} + 0^{2} - 0} = 1$ .

Câu 39:

12/07/2024

Anh A gửi ngân hàng 900 triệu (VNĐ) với lãi suất 0,4% mỗi tháng theo hình thức lãi kép, ngân hàng tính lãi trên số dư thực tế của tháng đó. Cứ mỗi tháng anh ta rút ra 10 triệu để chi trả sinh hoạt phí. Hỏi sau bao lâu thì số tiền trong ngân hàng của anh ta sẽ hết (tháng cuối cùng có thể rút dưới 10 triệu để cho hết tiền).

A. 111 tháng

B. 113 tháng

C. 112 tháng

D. 110 tháng

Xem đáp án

Đáp án C

Số tiền còn lại cuối tháng thứ nhất là: $A_{1} = 900 (1 + 0,4 %) - 10$

Số tiền còn lại cuối tháng thứ hai là:

$A_{2} = A_{1} (1 + 0,4 %) - 10 = 900 {(1 + 0,4 %)}^{2} - 10 (1 + 0,4 %) - 10$

…

Cứ như vậy ta tính được số tiền còn lại sau tháng thứ n là:

$A_{n} = 900 {(1 + 0,4 %)}^{n} - 10 {(1 + 0,4 %)}^{n - 1} - ... - 10$

$A_{n} = 900 {(1 + 0,4 %)}^{n} - 10 [{(1 + 0,4 %)}^{n - 1} + {(1 + 0,4 %)}^{n - 2} + ... + 1]$

$A_{n} = 900 {(1 + 0,4 %)}^{n} - 10. \frac{1 - {(1 + 0,4 %)}^{n}}{1 - {(1 + 0,4 %)}^{n}}$

Do tháng cuối cùng có thể rút dưới 10 triệu để hết tiền nên n là số tự nhiên nhỏ nhất để $A_{n} \leq 0$ .

Ta có: $A_{111} \approx 7,9; A_{112} \approx - 2,05 \Rightarrow$ Sau 112 tháng thì số tiền trong ngân hàng của anh ta sẽ hết

Câu 40:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = 2a, BC = a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SDB) bằng

A. $\frac{a \sqrt{57}}{19}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{2 a \sqrt{57}}{19}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều $\Rightarrow S H ⊥ A B$ .

Ta có: $\{\begin{cases} (S A B) \cap (A B C D) = A B \\ (S A B) ⊥ (A B C D) \\ (S A B) \supset S H ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow S H ⊥ (A B C D)$

Ta có: $A H \cap (S D B) \Rightarrow B \Rightarrow \frac{d (A; (S D B))}{d (H; (S D B))} = \frac{A B}{H B} = 2 \Rightarrow d (A; (S D B)) = 2 d (H; (S D B))$

Trong $(A B C D)$ kẻ $H M ⊥ B D (M \in B D)$ , trong $(S H M)$ kẻ $H K ⊥ S M (K \in S M)$

Ta có: $\{\begin{cases} B D ⊥ H M \\ B D ⊥ SH (S H ⊥ (A B C D)) \end{cases} \Rightarrow B D ⊥ (S H M) \Rightarrow B D ⊥ H K$

$\{\begin{cases} H K ⊥ S M \\ H K ⊥ B D \end{cases} \Rightarrow H K ⊥ (S D B) \Rightarrow d (H; (S D B)) = H K$

Trong $(A B C D)$ kẻ $A E ⊥ B D (E \in B D) \Rightarrow A E // HM$

Ta có $A E = \frac{A B . A D}{\sqrt{A B^{2} + A D^{2}}} = \frac{2 a . a}{\sqrt{4 a^{2} + a^{2}}} = \frac{2 a}{\sqrt{5}}$

Có HM là đường trung bình của tam giác ABE $\Rightarrow H M = \frac{1}{2} A E = \frac{a}{\sqrt{5}}$

Tam giác SAB đều cạnh $A B = 2 a \Rightarrow S H = \frac{2 a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}$ .

Xét tam giác vuông SHM: $H K = \frac{S H . H M}{\sqrt{S H^{2} + H M^{2}}} = \frac{a \sqrt{3} . \frac{a}{\sqrt{5}}}{\sqrt{3 a^{2} + \frac{a^{2}}{5}}} = \frac{a \sqrt{3}}{4}$

Vậy $d (A; (S D B)) = 2. \frac{a \sqrt{3}}{4} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Câu 41:

Cho hàm số $y = f (x)$ . Hàm số $y = f^{'} (x)$ có bảng biến thiên:

Bất phương trình $f (x) < 3 e^{x + 2} + m$ có nghiệm trên $(- 2; 2)$ khi và chỉ kh

A. $m \geq f (- 2) - 3$

B. $m > f (2) - 3 e^{4}$

C. $m \geq f (2) - 3 e^{4}$

D. $m > f (- 2) - 3$

Xem đáp án

Đáp án B

Bài toán tương đương với: $m > f (x) - 3 e^{x + 2}$ có nghiệm trên $(- 2; 2)$ .

Xét hàm số $g (x) = f (x) - 3 e^{x + 2}$ trên $(- 2; 2)$ .

Bài toán trở thành tìm m để $m > g (x)$ có nghiệm trên $(- 2; 2) \Leftrightarrow m > \min_{[- 2; 2]} g (x)$ .

Ta có $g^{'} (x) = f^{'} (x) - 3 e^{x + 2}$ .

Nhận xét: $x \in (- 2; 2) \Rightarrow \{\begin{cases} 1 < f^{'} (x) < 3 \\ - 3 e^{4} < - 3 e^{x + 2} < - 3 \end{cases} \Rightarrow g^{'} (x) < 0$

Do đó ta có $\Leftrightarrow m > \min_{[- 2; 2]} g (x) = g (2) = f (2) - 3 e^{4}$

Vậy

m > f (2) - 3 e^{4}

Câu 42:

18/07/2024

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình $f (2 + f (e^{x})) = 1$ là?

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình f( 2 + f (e^x)) = 1 là (ảnh 1)

A. $\frac{3 a \sqrt{6}}{4}$

B. $\frac{a \sqrt{6}}{12}$

C. $\frac{a \sqrt{6}}{4}$

D. $\frac{a \sqrt{6}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Số nghiệm của phương trình $f (2 + f (e^{x})) = 1$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f (2 + f (e^{x}))$ và đường thẳng y = 1.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

$f (2 + f (e^{x})) = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 + f (e^{x}) = - 1 \\ 2 + f (e^{x}) = x_{0} \in (2; 3) \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (e^{x}) = - 3 \\ f (e^{x}) = x_{0} - 2 \in (0; 1) \end{array}$

Tương tự ta có: $f (e^{x}) = - 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} e^{x} = 1 \\ e^{x} = x_{1} < - 1 (vo nghiem) \end{array} \Leftrightarrow x = 0$

$f (e^{x}) = x_{0} - 2 \in (0; 1) \Rightarrow$ Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khác 0

$\Rightarrow [\begin{array}{l} e^{x} = a < 0 (vo nghiem) \\ e^{x} = b < 0 (vo nghiem) \\ e^{x} = c > 0 \Leftrightarrow x = \ln c \neq 0 \end{array}$

Vậy phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 43:

Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp chóp đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng a là:

A. $\frac{3 a \sqrt{6}}{4}$

B. $\frac{a \sqrt{6}}{12}$

C. $\frac{a \sqrt{6}}{4}$

D. $\frac{a \sqrt{6}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC $\Rightarrow S O ⊥ (A B C)$ .

Gọi M là trung điểm của SA.

Trong (SOA) kẻ $I M ⊥ S A (I \in S O)$ ta có $IS = I A$ .

Lại có $I \in S O \Rightarrow I A = I B = I C \Rightarrow I A = I B = I C = I S \Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.

Tam giác ABC đều cạnh $\Rightarrow A E = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow A O = \frac{2}{3} A E = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

Xét tam giác vuông SOA: $S O = \sqrt{S A^{2} - O A^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{3}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

Dễ thấy $Δ S O A ~ Δ SMI (g . g) \Rightarrow \frac{S I}{S A} = \frac{S M}{S O} \Rightarrow S I = \frac{S A . S M}{S O} = \frac{a . \frac{a}{2}}{\frac{a \sqrt{6}}{3}} = \frac{a \sqrt{6}}{4}$

Vậy $R = \frac{a \sqrt{6}}{4}$ .

Câu 44:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (0; 0; 2), B (1; 1; 0)$ và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = \frac{1}{4}$ . Xét điểm M thay đổi thuộc (S). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M A^{2} + 2 M B^{2}$ bằng:

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{3}{4}$

C. $\frac{21}{4}$

D. $\frac{19}{4}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $I (a; b; c)$ là điểm thỏa mãn $\vec{I A} + 2 \vec{I B} = \vec{0}$

Ta có $\{\begin{cases} - a + 2 - 2 a = 0 \\ - b + 2 - 2 b = 0 \\ 2 - c - 2 c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{2}{3} \\ b = \frac{2}{3} \\ c = \frac{2}{3} \end{cases} \Rightarrow I (\frac{2}{3}; \frac{2}{3}; \frac{2}{3})$

Ta có: $M A^{2} + 2 M B^{2} = {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} + 2 {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2}$

$= M I^{2} + 2 \vec{M I} . \vec{M A} + I A^{2} + 2 M I^{2} + 4 \vec{M I} . \vec{I B} + I B^{2}$

$= 3 M I^{2} + I A^{2} + 2 I B^{2} + 2 \vec{M I} \underset{0}{\underset{⏟}{(\vec{I A} + 2 \vec{I B})}} = 3 M I^{2} + \underset{c o n s t}{\underset{⏟}{I A^{2} + 2 I B^{2}}}$

Do $\{\begin{cases} I A^{2} = {(- \frac{2}{3})}^{2} + {(- \frac{2}{3})}^{2} + {(2 - \frac{2}{3})}^{2} = \frac{8}{3} \\ I B^{2} = {(1 - \frac{2}{3})}^{2} + {(1 - \frac{2}{3})}^{2} + {(- \frac{2}{3})}^{2} = \frac{2}{3} \end{cases} \Rightarrow I A^{2} + 2 I B^{2} = 4$ không đổi, nên

${(M A^{2} + 2 M B^{2})}_{\min} \Leftrightarrow M I_{\min}$ với $I (\frac{2}{3}; \frac{2}{3}; \frac{2}{3}), M \in (S)$ .

Ta có ${(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3} - 1)}^{2} = 1 > \frac{1}{4} \Rightarrow I$ nằm ngoài (S)

Khi đó $M I_{\min} = I J - R$ với $J (0; 0; 1)$ là tâm mặt cầu, $R = \frac{1}{2}$ là bán kính mặt cầu.

Ta có: $IJ = \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(- \frac{2}{3})}^{2} + {(1 - \frac{2}{3})}^{2}} = 1 \Rightarrow M I_{\min} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Vậy ${(M A^{2} + 2 M B^{2})}_{\min} = 3 M I_{\min}^{2} + 4 = 3. {(\frac{1}{2})}^{2} + 4 = \frac{19}{4}$ .

Câu 45:

15/07/2024

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ . Biết rằng hàm số $y = f^{'} (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số $y = f (2 x - x^{2})$ có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 5

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y = f (2 x - x^{2}) = g (x) \Rightarrow g^{'} (x) = (2 - 2 x) f^{'} (2 x - x^{2}) = 0$

$\Rightarrow [\begin{array}{l} 2 - 2 x = 0 \\ f^{'} (2 x - x^{2}) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ 2 x - x^{2} = - 4 \\ 2 x - x^{2} = 1 \\ 2 x - x^{2} = 4 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 1 \pm \sqrt{5} \\ x = 1 (k e p) \end{array}$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số

y = f (2 x - x^{2})

có 2 điểm cực đại

Câu 46:

Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau có nghiệm trên [0;1]: $4^{x + 1} + 4^{1 - x} = (m + 1) (2^{2 + x} - 2^{2 - x}) + 16 - 8 m$ ?

A. 2

B. 5

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình tương đương với: $4 (4^{x} + 4^{- x}) = 4 (m + 1) (2^{x} - 2^{- x}) + 16 - 8 m$

Đặt $t = 2^{x} - 2^{- x}$ .

Ta có: $t^{'} = 2^{x} + 2^{- x} > 0 .$

Do đó $\forall x \in [0; 1]$ thì $t \in [0; \frac{3}{2}]$ .

Ta có: $t^{2} = 4^{x} + 4^{- x} - {2.2}^{x} {.2}^{- x} \Rightarrow 4^{x} + 4^{- x} = t^{2} + 2$

Phương trình trở thành: $4 (t^{2} + 2) = 4 t (m + 1) + 16 - 8 m$

$\Leftrightarrow m (t - 2) = (t - 2) (t + 1) \Leftrightarrow m = t + 1$ (vì $t \in [0; \frac{3}{2}]$ ).

Để phương trình đã cho có nghiệm trên [0;1] thì phương trình m = t + 1 phải có nghiệm $t \in [0; \frac{3}{2}]$ .

Suy ra $m \in [1; \frac{5}{2}]$ .

Chú ý giả thiết các bi cùng màu giống nhau.

Câu 47:

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $d : \frac{x}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z + 3}{- 1}$ và mặt cầu $(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 36$ . Gọi Δ là đường thẳng đi qua $A (2; 1; 3)$ vuông góc với đường thẳng (d) và cắt (S) tại 2 điểm có khoảng cách lớn nhất. Khi đó đường thẳng Δ có một vécơt chỉ phương là $\vec{u} (1; a; b)$ . Tính a + b?

A. 4

B. -2

C. $- \frac{1}{2}$

D. 5

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với $d \Rightarrow \vec{n_{p}} = \vec{u_{d}} = (2; 2; - 1)$ .

Phương trình mặt phẳng $(P) : 2 (x - 2) + 2 (y - 1) - 1 (z - 3) = 0 \Leftrightarrow 2 x + 2 y - z - 3 = 0$ .

Δ là đường thẳng đi qua $A (2; 1; 3)$ vuông góc với đường thẳng $(d) \Rightarrow Δ \subset (P)$ .

Để (Δ) cắt (S) tại 2 điểm có khoảng cách lớn nhất $\Rightarrow Δ$ là đường thẳng đi qua tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và (S).

Gọi J là tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và $(S) \Rightarrow J$ là hình chiếu của $I (3; 2; 5)$ là tâm của (S) trên (P).

Gọi d' là đường thẳng đi qua I và vuông góc với $(P) \Rightarrow d^{'} : \{\begin{cases} x = 3 + 2 t \\ y = 2 + 2 t \\ z = 5 - t \end{cases}$

$J \in \Rightarrow J (3 + 2 t; 2 + 2 t; 5 - t)$

$J \in (P) \Rightarrow 2 (3 + 2 t) + 2 (2 + 2 t) - (5 - t) - 3 = 0$

$\Leftrightarrow 9 t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{2}{9} \Rightarrow J (\frac{23}{9}; \frac{14}{9}; \frac{47}{9})$

Δ đi qua $J, A \Rightarrow Δ$ nhận $\vec{J A} = (- \frac{5}{9}; - \frac{5}{9}; - \frac{20}{9}) = - \frac{5}{9} (1; 1; 4)$ là 1 véctơ chỉ phương.

$\Rightarrow \vec{u} = (1; 1; 4)$ cũng là 1 véctơ chỉ phương của $Δ \Rightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 4 \end{cases} \Rightarrow a + b = 1 + 4 = 5$

Câu 48:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m để tồn tại 4 số phức z thỏa mãn $|z + \bar{z}| + |z - \bar{z}| = 2$ và $z (\bar{z} + 2) - (z + \bar{z}) - m$ là số thuần ảo. Tổng các phần tử của S là:

A. $\sqrt{2} + 1$

B. $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}$

C. $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$

D. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi $z = x + y i \Rightarrow \bar{z} = x - y i$

Ta có: $|z + \bar{z}| + |z - \bar{z}| = 2$

$\Leftrightarrow |x + y i + x - y i| + |x + y i - x + y i| = 2$

$\Leftrightarrow |2 x| + |2 y i| = 2 \Leftrightarrow |x| + |y| = 1$ (*)

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + y = 1 khi x \geq 0, y \geq 0 (d_{1}) \\ x - y = 1 khi x \geq 0, y < 0 (d_{2}) \\ - x + y = 1 khi x < 0, y \geq 0 (d_{3}) \\ x + y = - 1 khi x < 0, y < 0 (d_{4}) \end{array}$

Ta lại có $z (\bar{z} + 2) - (z + \bar{z}) - m = (x + y i) (x - y i + 2) - (x + y i + x - y i) - m$

$= x (x + 2) + y^{2} + (- x y + x y + 2 y) i - 2 x - m$

$= x^{2} + y^{2} - m + 2 y i$ là số thuần ảo $\Rightarrow x^{2} + y^{2} - m = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = m (C)$

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn (*) là hình vuông

Để tồn tại 4 số phức z thì phải cắt cả 4 cạnh của hình vuông ABCD tại 4 điểm phân biệt.

Ta có $d (O; d_{1}) = \frac{|0 + 0 - 1|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Để (C) cắt ở 4 cạnh của hình vuông ABCD tại 4 điểm phân biệt thì $[\begin{array}{l} R_{C} = m = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ R_{C} = m = 1 \end{array}$

$\Rightarrow S = \{\frac{1}{\sqrt{2}}; 1\} \Rightarrow$ Tổng các phần tử của S là $\frac{1}{\sqrt{2}} + 1 = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}$ .

Câu 49:

và M, N là hai điểm lần lượt bên cạnh CA, CB sao cho MN song song với AB và

Cho hình lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

\frac{C M}{C A} = k

. Mặt phẳng

(M N B^{'} A^{'})

chia khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

thành hai phần có thể tích

V_{1}

(phần chứa điểm C) và

V_{2}

sao cho

\frac{V_{1}}{V_{2}} = 2

. Khi đó giá trị của k là:

A. $k = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$

B. $k = \frac{1}{2}$

C. $k = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

D. $k = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\{\begin{cases} (M N B^{'} A^{'}) \cap (A C C^{'} A^{'}) = A^{'} M \\ (M N B^{'} A^{'}) \cap (B C C^{'} B^{'}) = B^{'} N \\ (A C C^{'} A^{'}) \cap (B C C^{'} B^{'}) = C C^{'} \end{cases} \Rightarrow A^{'} M, B^{'} N, C C^{'}$ đồng quy tại S

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\frac{S M}{S A^{'}} = \frac{M N}{A^{'} B^{'}} = \frac{M N}{A B} = \frac{C M}{C A} = k = \frac{S N}{S B^{'}} = \frac{S C}{S C^{'}}$

$\Rightarrow \frac{V_{S . M N C}}{V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}}} = \frac{S M}{S A^{'}} . \frac{S N}{S B^{'}} . \frac{S C}{S C^{'}} = k^{3} \Rightarrow \frac{V_{1}}{V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}}} = 1 - k^{3} \Rightarrow V_{1} = (1 - k^{3}) V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}}$

Ta có: $\frac{S C}{S C^{'}} = k \Rightarrow \frac{S C^{'} - C C^{'}}{S C^{'}} = k \Leftrightarrow \frac{C C^{'}}{S C^{'}} = 1 - k$

$\frac{V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}}}{V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}} = \frac{\frac{1}{3} S C^{'}}{C C^{'}} = \frac{1}{3 (1 - k)} \Rightarrow V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}}{3 (1 - k)}$

$\Rightarrow V_{1} = (1 - k^{3}) V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}} = (1 - k^{3}) \frac{V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}}{3 (1 - k)} = \frac{1 + k + k^{2}}{3} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}$

Ta có:

\frac{V_{1}}{V_{2}} = 2 \Leftrightarrow V_{2} = \frac{2}{3} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} \Rightarrow \frac{1 + k + k^{2}}{3} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 1 + k + k^{2} = 2 \Leftrightarrow k = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

.

Câu 50: