50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 25 đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải (đề 20)

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-2;3;1), B(0;-1;2). Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng AB?

A. $\{\begin{cases} x = - 2 - 2 t \\ y = 3 - 4 t \\ z = 1 + t \end{cases} .$

B. $\{\begin{cases} x = 2 t \\ y = - 1 - 4 t \\ z = 2 + t \end{cases} .$

C. $\{\begin{cases} x = - 2 - 2 t \\ y = 3 + 4 t \\ z = 1 - t \end{cases} .$

D. $\{\begin{cases} x = - 2 t \\ y = - 1 + 4 t \\ z = 2 - t \end{cases} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

\vec{A B} = (2; - 4; 1)

là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng AB, do đó đáp án A không phải là đường thẳng AB

Câu 2:

Hàm số $y = x^{4} + 2 x^{2} - 1$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. (-1;1).

B. $ℝ$ .

C. $(- \infty; 0) .$

D. $(0; + \infty) .$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y' = 4 x^{3} + 4 x = 4 x (x^{2} + 1) .$

$y' > 0 \Leftrightarrow 4 x > 0 \Leftrightarrow x > 0$

Vậy hàm số $y = x^{4} + 2 x^{2} - 1$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty) .$

Câu 3:

Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ?

A. $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$

B. $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$

C. $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$

D. $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$

Xem đáp án

Đáp án C

Đồ thị hàm số có TCĐ $x = x_{0} < 0 \Rightarrow$ Loại đáp án A và B vì hai đồ thị hàm số ở đáp án A và B có đường TCĐ x = 1.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (a;0) với

a > 0 \Rightarrow

Loại đáp án D vì đồ thị hàm số

y = \frac{2 x + 1}{x + 1}

đi qua điểm

(- \frac{1}{2}; 0) .

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ $(O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ , cho $\vec{u} = 2 \vec{i} - \vec{j} + \vec{k}$ . Tính $|\vec{u}|$ .

A. $|\vec{u}| = \sqrt{6}$

B. $|\vec{u}| = 2$

C. $|\vec{u}| = 4$

D. $|\vec{u}| = \sqrt{5}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\vec{u} = 2 \vec{i} - \vec{j} + \vec{k} \Rightarrow \vec{u} = (2; - 1; 1) \Rightarrow |\vec{u}| = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6} .$

Lưu ý: $\vec{u} = a \vec{i} + b \vec{j} + c \vec{k} \Rightarrow \vec{u} = (a; b; c) \Rightarrow |\vec{u}| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

Câu 5:

Tổng tất cả các giá trị nghiệm của phương trình $\log_{3} (x^{2} + x + 3) = 2$ là:

A. -6

B. 2

C. 3

D. -1

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\log_{3} (x^{2} + x + 3) = 2 \Leftrightarrow x^{2} + x + 3 = 9 \Leftrightarrow x^{2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 3 \end{array} .$

Vậy tổng tất cả các giá trị nghiệm của phương trình

\log_{3} (x^{2} + x + 3) = 2

là

2 + (- 3) = - 1

Câu 6:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên [1;4], biết $f (4) = 3, f (1) = 1$ . Tính $\int_{1}^{4} 2 f' (x) d x$ .

A. 8

B. 4

C. 5

D. 10

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

\int_{1}^{4} 2 f' (x) d x = 2 f (x) |\begin{array}{l} ^{4} \\ _{1} \end{array} = 2 [f (4) - f (1)] = 4.

Câu 7:

Tìm hệ số của $x^{3}$ trong khai triển $x = x_{0} \Leftrightarrow \{\begin{cases} f' (x_{0}) = 0 \\ f'' (x_{0}) > 0 \end{cases}$ thành đa thức?

A. 300

B. 2300

C. 1200

D. 18400

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:

f (x) = {(2 x + 1)}^{25} = \sum_{k = 0}^{25} C_{25}^{k} {(2 k)}^{k} 1^{25 - k} = \sum_{k = 0}^{25} C_{25}^{k} 2^{k} x^{k}

Số hạng chứa

x^{3}

ứng với

k = 3 \Rightarrow

Hệ số của số hạng chứa

x^{3}

là

C_{25}^{3} {.2}^{3} = 18400

Câu 8:

Cho dãy số $(u_{n}) : \{\begin{cases} u_{1} = - 3 \\ u_{n + 1} = u_{n} + \frac{5}{2}, n \geq 1 \end{cases}$ . Tính $S = u_{20} - u_{6}$ .

A. $S = 33$

B. $S = \frac{69}{2}$

C. $S = 35$

D. $S = \frac{75}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Do

u_{n + 1} = u_{n} + \frac{5}{2}, n \geq 1 \Rightarrow

Dãy số trên là 1 CSC có

u_{1} = - 3, d = \frac{5}{2}

\Rightarrow \{\begin{cases} u_{20} = u_{1} + 19 d = - 3 + 19. \frac{5}{2} = \frac{89}{2} \\ u_{6} = u_{1} + 5 a = - 3 + 5. \frac{5}{2} = \frac{19}{2} \end{cases} \Rightarrow S = u_{20} - u_{6} = \frac{89}{2} - \frac{19}{2} = 35

Câu 9:

Tính thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a (khối cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình lập phương).

A. $\frac{π a^{3} \sqrt{2}}{6}$

B. $\frac{π a^{3}}{6}$

C. $\frac{π a^{3}}{8}$

D. $\frac{π a^{3}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án B

Khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a có bán kính $R = \frac{a}{2} .$

Vậy thể tích khối cầu là

V = \frac{4}{3} π {(\frac{a}{2})}^{3} = \frac{π a^{3}}{6}

.

Câu 10:

13/07/2024

Một nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2^{x}$ là

A. $\frac{2^{x + 1}}{x + 1}$

B. $\frac{2^{x}}{\ln 2} + 2$

C. $2^{x} \ln 2$

D. $2^{x} + 2$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\int f (x) d x = \int 2^{x} d x = \frac{2^{x}}{\ln 2} + C$

Vậy một nguyên hàm của hàm số

f (x) = 2^{x}

là

\frac{2^{x}}{\ln 2} + 2

.

Câu 11:

14/07/2024

Cho a, b là các số thực dương, $a \neq 1$ . Khi đó $a^{\log_{c} b}$ bằng

A. $b^{a}$

B. a

C. b

D. $a^{b}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

a^{\log_{a} b} = b

Câu 12:

Số phức $z = i (3 - i)$ biểu diễn trên mặt phẳng Oxy bởi điểm nào sau đây?

A. (-3;1)

B. (1;3)

C. (-1;-3)

D. (3;-1)

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

z = i (3 - i) = 3 i + 1

có điểm biểu diễn là (1;3).

Câu 13:

15/07/2024

Cho khối đa diện (kích thước như hình vẽ bên) được tạo bởi ba hình chữ nhật và hai tam giác bằng nhau. Tính thể tích khối đa diện đã cho là:

A. $48 c m^{3}$

B. $192 c m^{3}$

C. $32 c m^{3}$

D. $96 c m^{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Khối được tạo bởi ba hình chữ nhật và hai tam giác bằng nhau như hình vẽ là khối lăng trụ đứng.

\Rightarrow V = S_{đay} . h = \frac{1}{2} .4.6.8 = 96 (c m^{3}) .

Câu 14:

14/07/2024

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên dưới:

Hàm số $y = f (x)$ đạt cực tiểu tại

A. x = 0

B. x = 3

C. x = -1

D. x = 5

Xem đáp án

Đáp án B

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy qua điểm x = 3 thì $f' (x)$ đổi dấu từ âm sang dương, do đó hàm số $y = f (x)$ đạt cực tiểu tại x = 3.

Lưu ý: Hàm số

y = f (x)

đạt cực tiểu tại

x = x_{0} \Leftrightarrow

qua điểm

x = x_{0}

thì

f' (x)

đổi dấu từ âm sang dương

Câu 15:

18/07/2024

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(α)$ song song với mặt phẳng (Oxyz) và cắt Ox tại điểm (2;0;0). Phương trình mặt phẳng $(α)$ là

A. $y + z + 2 = 0$

B. $x - 2 = 0$

C. $x + 2 = 0$

D. $y + z - 2 = 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Mặt phẳng $(O y z)$ có phương trình x = 0 nên mặt phẳng $(α)$ song song với mặt phẳng $(O y z)$ có dạng $x = c (c \neq 0)$ .

$(2; 0; 0) \in (α) \Rightarrow 2 = c$ (thỏa mãn).

Vậy $(α) : x = 2 \Leftrightarrow x - 2 = 0.$

Câu 16:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình bên. Tìm khoảng đồng biến của hàm số $y = f (3 - x)$ .

A. $(- \infty; 3)$

B. (2;4)

C. $(- \infty; 4)$

D. $(2; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y' = - f' (3 - x) > 0 \Leftrightarrow f' (3 - x) < 0 \Leftrightarrow - 1 < 3 - x < 1 \Leftrightarrow 2 < x < 4.$

Vậy hàm số

y = f (3 - x)

đồng biến trên (2;4).

Câu 17:

Lượng nguyên liệu cần dùng để làm ra một chiếc nón lá được ước lượng qua phép tính diện tích xung quanh của mặt nón. Cứ 1kg lá dùng để làm nón có thể làm ra số nón có tổng diện tích xung quanh là $6,13 m^{2}$ . Hỏi nếu muốn làm ra 1000 chiếc nón lá giống nhau có đường kính vành nón là 50 cm, chiều cao 30 cm thì cần khối lượng lá gần nhất với con số nào dưới đây? (Coi mỗi chiếc nón là có hình dạng là 1 hình nón).

A. 48 kg

B. 38 kg

C. 50 kg

D. 76 kg

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $h = 30 c m, R = 25 c m \Rightarrow 1 = \sqrt{h^{2} + R^{2}} = 5 \sqrt{61} (c m)$ .

Diện tích xung quanh của 1 chiếc nón là $S_{x q} = π R l = π .25.5 \sqrt{61} = 125 \sqrt{61} π (c m^{2})$

Cứ 1 kg lá dùng để làm nón có thể làm ra số nón có tổng diện tích xung quanh là $6,13 m^{2} = 61300 c m^{2}$ nên 1 kg lá có thể làm được $\frac{61300}{125 \sqrt{61} π} \approx 20$ (nón).

Vậy để làm 1000 chiếc nón cần $\frac{1000}{20} = 50$ (kg lá).

Câu 18:

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${(\sqrt{2} - 1)}^{x} + {(\sqrt{2} + 1)}^{x} - 6 = 0$ là:

A. 1

B. $\frac{5}{2}$

C. 6

D. 0

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1) = 1 \Rightarrow {(\sqrt{2} - 1)}^{x} {(\sqrt{2} + 1)}^{x} = 1$

Đặt ${(\sqrt{2} + 1)}^{x} = t, t > 0 \Rightarrow {(\sqrt{2} - 1)}^{x} = \frac{1}{t} .$

Khi đó phương trình trở thành: $\frac{1}{t} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 6 t + 1 = 0$

Có $Δ' = 9 - 1 = 8 > 0 \Rightarrow$ Phương trình ẩn t có 2 nghiệm $t_{1}, t_{2}$ phân biệt

$\Rightarrow$ Phương trình ban đầu có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ phân biệt.

Ta có:

x_{1} + x_{2} = \log_{\sqrt{2} + 1} t_{1} + \log_{\sqrt{2} + 1} t_{2} = \log_{\sqrt{2} + 1} t_{1} t_{2} = \log_{\sqrt{2} + 1} 1 = 0

Câu 19:

Phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a, b, c \in ℝ)$ có hai nghiệm phức phân biệt khi và chỉ khi:

A. $\{\begin{cases} a \neq 0 \\ b^{2} - 4 a c \neq 0 \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} a \neq 0 \\ b^{2} - 4 a c > 0 \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} a \neq 0 \\ b^{2} - 4 a c < 0 \end{cases}$

D. $b^{2} - 4 a c > 0$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình

a x^{2} + b x + c = 0 (a, b, c \in ℝ)

có hai nghiệm phức phân biệt khi và chỉ khi:

\{\begin{cases} a \neq 0 \\ b^{2} - 4 a c < 0 \end{cases}

Câu 20:

Cho số phức z có phần thực là 2 và phần ảo là -3. Môđun của số phức 3 + iz là:

A. $\sqrt{22}$

B. 2

C. $2 \sqrt{10}$

D. $\sqrt{10}$

Xem đáp án

Đáp án C

Số phức z có phần thực là 2 và phần ảo là

- 3 \Rightarrow z = 2 - 3 i \Rightarrow 3 + i z = 3 + i (2 - 3 i) = 6 + 2 i

\Rightarrow |z| = \sqrt{36 + 4} = 2 \sqrt{10}

Câu 21:

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f (x)$ và trục hoành gồm hai phần, phần nằm phía trên trục hoành có diện tích $S_{1} = \frac{8}{3}$ và phần nằm phía dưới trục hoành có diện tích $S_{2} = \frac{5}{12}$ (tham khảo hình vẽ bên). Tính $I = \int_{- 1}^{0} f (3 x + 1) d x$ .

A. $I = \frac{27}{4}$

B. $I = \frac{5}{3}$

C. $I = \frac{3}{4}$

D. $I = \frac{37}{36}$

Xem đáp án

Đáp án C

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: $\{\begin{cases} S_{1} = \int_{- 2}^{0} f (x) d x = \frac{8}{3} \\ S_{2} = - \int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{5}{12} \end{cases} .$

$I = \int_{1}^{0} f (3 x + 1) d x$

Đặt $t = 3 x + 1 \Rightarrow d t = 3 d x .$

Đổi cận $\{\begin{cases} x = - 1 \Rightarrow t = - 2 \\ x = 0 \Rightarrow t = 1 \end{cases}$ .

$\Rightarrow I = \frac{1}{3} \int_{- 2}^{1} f (t) d t = \frac{1}{3} [\int_{- 2}^{0} f (t) d t + \int_{0}^{1} f (t) d t] = \frac{1}{3} (\frac{8}{3} - \frac{5}{12}) = \frac{3}{4} .$

Câu 22:

Cho $F (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ là một nguyên hàm của hàm số $f' (x) - 4 x$ . Hàm số $y = f (x)$ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2

B. 0

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $F (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ là một nguyên hàm của hàm số $f' (x) - 4 x$ .

$\Rightarrow f' (x) - 4 x = F' (x) \Leftrightarrow f' (x) - 4 x = 4 x^{3} - 3 x \Leftrightarrow f' (x) = 4 x^{3}$

Ta có: $f' (x) = 0 \Leftrightarrow 4 x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu $f' (x)$ ta thấy hàm số có duy nhất 1 điểm cực tiểu x = 0.

Câu 23:

Cho hình chóp đều S.ABCD có $S A = a \sqrt{5}, A B = a$ . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng DN và mặt phẳng $(M Q P)$ ?

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{\sqrt{15}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án A

Dễ dàng chứng minh được MNPQ đồng phẳng và $(M N P Q) / / (A B C D)$ dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác.

$\Rightarrow \hat{(D N, (M Q P))} = \hat{(D N, (M N P))} = \hat{(D N, (A B C D))}$

Gọi $O = A C \cap B D \Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$ .

Gọi H là trung điểm của OB.

Xét tam giác SOB có NH là đường trung bình

$\Rightarrow N H / / S O \Rightarrow N H ⊥ (A B C D)$

$\Rightarrow D H$ là hình chiếu của DN trên $(A B C D)$ .

$\Rightarrow \hat{(D N, (A B C D))} = \hat{(D N, D H)} = \hat{N D H}$

ABCD là hình vuông cạnh $a \Rightarrow B D = a \sqrt{2} \Rightarrow D H = \frac{3}{4} B D = \frac{3 a \sqrt{2}}{4}, O B = \frac{1}{2} B D = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Xét tam giác vuông SOB có $S O = \sqrt{S B^{2} - O B^{2}} = \frac{3 a}{\sqrt{2}} \Rightarrow N H = \frac{1}{2} S O = \frac{3 a}{2 \sqrt{2}} .$

Xét tam giác vuông NHD có: $N D = \sqrt{N H^{2} + H D^{2}} = \sqrt{\frac{9 a^{2}}{8} + \frac{9 a^{2}}{8}} = \frac{3 a}{2} .$

$\Rightarrow \cos \hat{N D H} = \frac{D H}{N D} = \frac{\frac{3 a \sqrt{2}}{4}}{\frac{3 a}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Lưu ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

Câu 24:

Tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng $y = x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x - 1}$ tại hai điểm phân biệt là:

A. $(- 2; 3)$

B. $ℝ$

C. $(- 2; + \infty)$

D. $(- \infty; 3)$

Xem đáp án

Đáp án B

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{x + 2}{x - 1} = x + m$ (với $x \neq 1$ ).

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 2 = (x - 1) (x + m) \Leftrightarrow x + 2 = x^{2} + m x - x - m \\ \Leftrightarrow g (x) = x^{2} + (m - 2) x - m - 2 = 0 (*) \end{array}$

Để đường thẳng $y = x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x - 1}$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ > 0 \\ g (1) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(m - 2)}^{2} - 4 (m - 2) > 0 \\ 1 + m - 2 - m - 2 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} + 12 > 0 \\ - 3 \neq 0 \end{cases}$ (luôn đúng $\forall m \in ℝ$ ).

Câu 25:

Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ , tam giác ABC đều $A B = a$ ; góc giữa SB và mặt phẳng $(A B C)$ bằng $60 °$ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Tính thể tích khối chóp SMNC.

A. $\frac{a^{3}}{16}$

B. $\frac{a^{3}}{4}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

D. $\frac{a^{3}}{8}$

Xem đáp án

Đáp án A

Lưu ý: Công thức tỉ số thể tích: $\frac{V_{S M N C}}{V_{S A B C}} = \frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S B} . \frac{S C}{S C}$ .

Ta có: $S A ⊥ (A B C) \Rightarrow \hat{(S B, (A B C))} = \hat{(S B, A B)} = \hat{S B A} = 60 °$ .

Xét tam giác vuông SAB: $S A = A B . \tan 60 ° = a \sqrt{3}$

$\Rightarrow V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C} = \frac{1}{3} . a \sqrt{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3}}{4} .$

Ta có:

\frac{V_{S M N C}}{V_{S A B C}} = \frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S B} = \frac{1}{4} \Rightarrow V_{S M N C} = \frac{a^{3}}{16} .

.

Câu 26:

Bất phương trình ${(0,2)}^{x^{2}} {.2}^{x} \geq \frac{2}{5}$ tương đương với bất phương trình nào sau đây?

A. $- x^{2} + x - \log_{2} (\frac{2}{5}) \geq 0$

B. $x^{2} - x \log_{5} 2 + \log_{5} 2 - 1 \geq 0$

C. $x \geq 1$

D. $x^{2} - x \log_{5} 2 + \log_{5} 2 - 1 \leq 0$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:

{(0,2)}^{x^{2}} {.2}^{x} \geq \frac{2}{5} \Leftrightarrow \log_{5} [{(0,2)}^{x^{2}} {.2}^{x}] \geq \log_{5} \frac{2}{5} \Leftrightarrow x^{2} \log_{5} (0,2) + x \log_{5} 2 \geq \log_{5} 2 - \log_{5} 5

\Leftrightarrow - x^{2} + x \log_{5} 2 - \log_{5} 2 + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} - x \log_{5} 2 + \log_{5} 2 - 1 \leq 0

Câu 27:

Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đường elip có phương trình $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ quay xung quanh trục Ox

A. $4 π$

B. $6 π$

C. $8 π$

D. $12 π$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1 \Leftrightarrow y^{2} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{9}) \Leftrightarrow y = \pm 2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = 2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}}$ và trục hoành ta có:

$2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}} = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{x^{2}}{9} = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3$

Vậy $V = π \int_{- 3}^{3} {(2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}})}^{2} d x = 16 π$

Câu 28:

Đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{4 x^{2} + 2 x - 1} + x}{x + 1}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 0

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện: $\{\begin{cases} 4 x^{2} + 2 x - 1 \geq 0 \\ x \neq - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} x \geq \frac{- 1 + \sqrt{5}}{4} \\ x \leq \frac{- 1 - \sqrt{5}}{4} \end{array} \\ x \neq - 1 \end{cases} .$

Ta có:

$\lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 2 x - 1} + x}{x + 1} = 3; \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 2 x - 1} + x}{x + 1} = - 1.$

$\lim_{x \to 1^{+}} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 2 x - 1} + x}{x + 1} = - 2; \lim_{x \to 1^{-}} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 2 x - 1} + x}{x + 1} = - 2.$

Vậy đồ thị hàm số có 2 TCN là

y = 3; y = - 1

.

Câu 29:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-3;2;1), B(1;4;-1). Phương trình mặt cầu đường kính AB là

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + z^{2} = 24$

B. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + z^{2} = 24$

C. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + z^{2} = 6$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + z^{2} = 6$

Xem đáp án

Đáp án D

Mặt cầu đường kính AB có tâm

I (- 1; 3; 0)

là trung điểm của AB, bán kính

R = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} \sqrt{4^{2} + 2^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{6}

.

Vậy phương trình mặt cầu đường kính AB là

{(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + z^{2} = 6

.

Câu 30:

16/07/2024

Số phức z thỏa mãn $3 - 2 i + \frac{\bar{z}}{i}$ là số thực và $|z + i| = 2$ . Phần ảo của z là:

A. -1

B. -2

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

Giả sử $z = a + b i \Rightarrow \bar{z} = a - b i$ (với $a, b \in ℝ$ ).

Theo đề bài ta có:

3 - 2 i + \frac{\bar{z}}{i} = 3 - 2 i - (a - b i) i = 3 - 2 i - a i - b

là số thực.

\begin{array}{l} \Rightarrow - 2 - a = 0 \Rightarrow a = - 2 \\ \Rightarrow z = - 2 + b i \Rightarrow |z + 1| = |- 2 + b i + i| = |- 2 + (b + 1) i| = 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt{4 + {(b + 1)}^{2}} = 2 \Leftrightarrow b + 1 = 0 \Leftrightarrow b = - 1. \end{array}

Câu 31:

Hàm số $y = x + \frac{10^{8}}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[10^{3}; 10^{9}]$ tại điểm x bằng:

A. $10^{6}$

B. $10^{4}$

C. $10^{3}$

D. $10^{5}$

Xem đáp án

Đáp án B

Xét hàm số $y = x + \frac{10^{8}}{x}$ trên $[10^{3}; 10^{9}]$ .

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $x + \frac{10^{8}}{x} \geq 2 \sqrt{x . \frac{10^{8}}{x}} = {2.10}^{4} \Leftrightarrow y \geq {2.10}^{4}$ .

Dấu “=” xảy ra

\Leftrightarrow x = \frac{10^{8}}{x} \Leftrightarrow x^{2} = 10^{8} \Leftrightarrow x = 10^{4}

.

Câu 32:

16/07/2024

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 1}$ và điểm $A (- 4; 1; 1)$ . Gọi A’ là hình chiếu của A trên $Δ$ . Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với AA’?

A. $- x + 3 y + z + 3 = 0$

B. $x - y + 4 z + 1 = 0$

C. $x - 2 y - 2 = 0$

D. $4 x - y + 7 z - 1 = 0$

Xem đáp án

Đáp án A

Do A’ là hình chiếu của A trên $Δ \Rightarrow A' \in Δ \Rightarrow A' (1 + 2 t; t; - 2 - t)$ .

Ta có: $\vec{A A'} = (2 t + 5; t - 1; - t - 3)$

Gọi $\vec{u_{Δ}} = (2; 1; - 1)$ là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ nên $\vec{A A'} . \vec{u_{Δ}} = 0$ .

$\Leftrightarrow 2 (2 t + 5) + (t - 1) - 1 (- t - 3) = 0 \Leftrightarrow 6 t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - 2 \Leftrightarrow \vec{A A'} = (1; - 3; - 1)$

Mặt phẳng vuông góc với AA’ nhận $\vec{A A'}$ là 1 vectơ pháp tuyến

Câu 33:

17/07/2024

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số $y = x^{3} + (3 m - 1) x^{2} + m^{2} x - 3$ đạt giá trị cực tiểu tại $x = - 1$ .

A. $\{5; 1\}$

B. $\emptyset$

C. $\{1\}$

D. $\{5\}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y' = 3 x^{2} + 2 (3 m - 1) x + m^{2}; y'' = 6 x + 2 (3 m - 1)$ .

Để hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 1$ thì $\{\begin{cases} y' (- 1) = 0 \\ y'' (- 1) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 - 2 (3 m - 1) + m^{2} = 0 \\ - 6 + 2 (3 m - 1) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m = 5 \\ m = 1 \end{array} \\ m > \frac{4}{3} \end{cases} \Leftrightarrow m = 5$

Lưu ý: Hàm số $y = f (x)$ đạt cực tiểu $x = x_{0} \Leftrightarrow \{\begin{cases} f' (x_{0}) = 0 \\ f'' (x_{0}) > 0 \end{cases}$ .

Câu 34:

Tập nghiệm của phương trình $x^{\frac{2}{3}} = 5$ là:

A. $\{\pm \sqrt[3]{5^{2}}\}$

B. $\{\sqrt[3]{5^{2}}\}$

C. $\{\sqrt{5^{3}}\}$

D. $\{\pm \sqrt{5^{3}}\}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $x^{\frac{2}{3}} = 5 \Leftrightarrow x = \sqrt[\frac{2}{3}]{5} = \sqrt[3]{5^{2}}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $\{\sqrt[3]{5^{2}}\}$

Lưu ý:

$x^{n} = a \Leftrightarrow x = \sqrt[n]{a}$

Công thức: $\sqrt[m]{a^{n}} = a^{\frac{n}{m}}$

Câu 35:

Cho số thực $a \in (0; 1)$ . Đồ thị hàm số $y = \log_{a} x$ là hình vẽ nào dưới đây?

A. Tài liệu VietJack

B. Tài liệu VietJack

C. Tài liệu VietJack

D. Tài liệu VietJack

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số $y = \log_{a} x$ có TCĐ $D = (0; + \infty)$ nên loại đáp án A và D.

Do

a \in (0; 1)

nên hàm số nghịch biến trên

(0; + \infty)

.

Câu 36:

Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x = 0, x = π$ . Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ $x (0 \leq x \leq π)$ là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $\sin x + 2$ .

A. $\frac{7 π}{6} + 2$

B. $\frac{7 π}{6} + 1$

C. $\frac{9 π}{8} + 2$

D. $\frac{9 π}{8} + 1$

Xem đáp án

Đáp án C

Tam giác vuông có cạnh huyền bằng

\sin x + 2

có cạnh góc vuông bằng

\frac{\sin x + 2}{\sqrt{2}}

.

\begin{array}{l} \Rightarrow S (x) = \frac{1}{2} {(\frac{\sin x + 2}{\sqrt{2}})}^{2} = \frac{{(\sin x + 2)}^{2}}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow V = \frac{1}{4} \int_{0}^{π} {(\sin x + 2)}^{2} d x = \frac{1}{4} \int_{0}^{π} (\sin^{2} x + 4 \sin x + 4) d x = \frac{1}{4} \int_{0}^{π} (\frac{1 - \cos 2 x}{2} + 4 \sin x + 4) d x \\ = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x - \frac{\sin 2 x}{4} - 4 \cos x + 4 x) |\begin{array}{l} ^{π} \\ _{0} \end{array} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} π + 4 + 4 π + 4) = \frac{9 π}{8} + 2. \end{array}

Câu 37:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f (f (x) + m) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt.

A. 4

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $f [f (x) + m] = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) + m = 0 \\ f (x) + m = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = - m (1) \\ f (x) = 2 - m (2) \end{array}$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình $f (x) = m$ có tối đa 2 nghiệm phân biệt, do đó để phương trình $f (f (x) + m) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt thì:

TH1: (1) có 1 nghiệm và (2) có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \{\begin{cases} - m = - 3 \\ 2 - m > - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = 3 \\ m < 5 \end{cases} \Leftrightarrow m = 3$

TH2: (1) có 2 nghiệm phân biệt và (2) có 1 nghiệm $\Leftrightarrow \{\begin{cases} - m > - 3 \\ 2 - m = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 3 \\ m = 5 \end{cases} \Leftrightarrow m \in \emptyset$

Vậy m = 3.

Câu 38:

18/07/2024

Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số $g (x) = f^{2} (x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- \infty; 3)$

B. $(3; + \infty)$

C. $(- 3; 1)$

D. $(1; 3)$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $g' (x) = 2 f (x) . f' (x)$

Chọn $x = 2 \Rightarrow g' (2) = 2 f (2) . f' (2)$ .

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $\{\begin{cases} f (2) < 0 \\ f' (2) > 0 \end{cases} \Rightarrow g' (2) < 0 \Rightarrow$ Loại đáp án B và C.

Chọn $x = - 1 \Rightarrow g' (- 1) = 2 f (- 1) . f' (- 1)$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy

\{\begin{cases} f (- 1) < 0 \\ f' (- 1) < 0 \end{cases} \Rightarrow g' (- 1) > 0 \Rightarrow

Loại đáp án A

Câu 39:

13/07/2024

Áp suất không khí P (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu là mmHg) suy giảm mũ so với độ cao x (so với mặt nước biển) (đo bằng mét) theo công thức $P = P_{0} . e^{x i}$ trong đó $P_{0} = 760 m m H g$ là áp suất ở mực nước biển ( x = 0), i là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 1000 m thì áp suất của không khí là 672,71 mmHg. Hỏi áp suất không khí ở độ cao 3343 m là bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?

A. 495,34 mmHg

B. 530,23 mmHg

C. 485,36 mmHg

D. 505,45 mmHg

Xem đáp án

Đáp án D

Ở độ cao 1000m thì áp suất của không khí là 672,71 mmHg nên ta có: $672,71 = 760. e^{1000 i}$

$\Leftrightarrow e^{1000 i} = \frac{672,71}{760} \Leftrightarrow i = \frac{\ln \frac{672,71}{760}}{1000}$

Áp suất không khí ở độ cao 3343m là:

P = P_{0} . e^{3343 i} = 760. e^{3343. \frac{\ln \frac{672,71}{760}}{1000}} \approx 505,45 m m H g

Câu 40:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y = m x^{4} - (m - 5) x^{2} - 3$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ .

A. 6

B. 4

C. 3

D. 5

Xem đáp án

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = mx^4 - (m - 5) x^2 - 3 đồng biến trên khoảng (0; vô cùng).

Câu 41:

Cho hàm số $y = |x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + m|$ . Tổng tất cả các giá trị của tham số m để $\min_{[- 1; 2]} y + \max_{[- 1; 2]} y = 20$ là:

A. -10

B. -4

C. 20

D. -21

Xem đáp án

Đáp án B

Xét $f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + m$ trên đoạn $[- 1; 2]$ .

$\Rightarrow f' (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x; f' (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = 1; x = \frac{1}{2} .$

Ta có: $f (0) = m; f (\frac{1}{2}) = m + \frac{1}{16}; f (- 1) = f (2) = m + 4$

Suy ra $\{\begin{cases} \max_{[- 1; 2]} f (x) = f (2) = m + 4 \\ \max_{[- 1; 2]} f (x) = f (0) = f (1) = m \end{cases}$

TH1: Nếu $m \geq 0 \Rightarrow \{\begin{cases} m \geq 0 \\ m + m + 4 = 20 \end{cases} \Leftrightarrow m = 8.$

TH2: Nếu $m \leq - 4 \Rightarrow \{\begin{cases} m \leq - 4 \\ - (m + 4) - m = 20 \end{cases} \Leftrightarrow m = - 12.$

TH3: Nếu $- 4 < m < 0 \Rightarrow \min_{[- 1; 2]} y = 0; \max_{[- 1; 2]} y = \max \{|m + 4|, |m|\} = \max \{m + 4, - m\}$

Suy ra $\min_{[- 1; 2]} y + \max_{[- 1; 2]} y < 4 < 0 + 20 = 20$ (loại).

Vậy tổng các giá trị của m là -4

Câu 42:

23/07/2024

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 2 z + 5 = 0$ và $(Q) : x - y + 2 = 90$ . Trên (P) có tam giác ABC, gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C trên (Q). Biết tam giác ABC có diện tích bằng 4, tính diện tích tam giác A’B’C’.

A. $\sqrt{2}$

B. $2 \sqrt{2}$

C. 2

D. $4 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\vec{n_{(P)}} = (2; - 1; 2), \vec{n_{(Q)}} = (1; - 1; 0)$ lần lượt là 1 vectơ pháp tuyến của $(P), (Q)$ .

Khi đó $\cos ((P), (Q)) = |\frac{\vec{n_{(P)}}, \vec{n_{(Q)}}}{|\vec{n_{(P)}}| |\vec{n_{(Q)}}|}| = |\frac{2 + 1 + 0}{\sqrt{9} \sqrt{2}}| = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Vậy

S_{Δ A' B' C'} = S_{Δ A B C} . \cos \hat{((P), (Q))} = 4. \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2}

Câu 43:

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm sáu chữ số được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4 trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số được chọn không có hai chữ số 1 nào đứng cạnh nhau.

A. 0,2

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{6}$

D. 0,3

Xem đáp án

Đáp án D

Số tự nhiên gồm sáu chữ số được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4 trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần là $n (Ω) = \frac{6!}{3!} = 120$ .

Gọi A là biến cố: “số được chọn không có hai chữ số 1 nào đứng cạnh nhau”.

Xếp 3 chữ số 1 có 1 cách xếp, khi đó tạo ra 2 khoảng trống giữa các chữ số 1.

Chọn 2 số trong 3 số còn lại xếp vào 2 khoảng trống giữa 2 chữ số 1 đó, có cách xếp. Khi đó, ta đã xếp được 5 chữ số và có 6 khoảng trống (bao gồm 4 khoảng trống giữa 5 số và 2 khoảng trống ở hai đầu)

$\Rightarrow$ Có 6 cách xếp chữ số còn lại $\Rightarrow n (A) = 6.6 = 36$ .

Vậy

P (A) = \frac{36}{120} = \frac{3}{10} = 0,3

Câu 44:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y - z - 4 = 0 và điểm A(2;-1;3). Gọi $Δ$ là đường thẳng đi qua A và song song với (P), biết $Δ$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} (a; b; c)$ đồng thời $Δ$ đồng phẳng và không song song với Oz. Tính $\frac{a}{c}$ .

A. $- \frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{2}$

C. 2

D. -2

Xem đáp án

Đáp án C

$Δ$ đồng phẳng và không song song với Oz, suy ra $Δ \cap O z$ .

Giả sử $Δ \cap O z = B (0; 0; b)$ .

$\Rightarrow \vec{A B} = (- 2; 1; b - 3)$ là 1 vectơ chỉ phương của $Δ$ .

$\vec{n_{P}} = (1; 1; - 1)$ là 1 vectơ chỉ phương của $(P)$ .

Do $Δ / / (P) \Rightarrow \vec{A B} . \vec{n_{P}} = 0 \Leftrightarrow - 1 + 1 - b + 3 = 0 \Leftrightarrow b = 2$

$\Rightarrow \vec{A B} = (- 2; 1; - 1) \Rightarrow \{\begin{cases} a = - 2 \\ b = 1 \\ c = - 1 \end{cases} \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{- 2}{- 1} = 2.$

Câu 45:

Trên hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a. Hình chiếu của S trên mặt đáy là trung điểm H của OA; góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng $45 °$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

A. $a \sqrt{2}$

B. $\frac{3 a \sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{3 a \sqrt{2}}{4}$

D. $a \sqrt{6}$

Xem đáp án

Đáp án A

Trong $(A B C D)$ kẻ $H M ⊥ C D (M \in C D)$ .

Ta có: $\{\begin{cases} C D ⊥ S H (S H ⊥ (A B C D)) \\ C D ⊥ H M \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ (S H M) \Rightarrow C D ⊥ S M$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} (S C D) \cap (A B C D) = C D \\ (S C D) \supset S M ⊥ C D \\ (A B C D) \supset H M ⊥ C D \end{cases} \\ \Rightarrow \hat{(S C D), (A B C D)} = \hat{(S M, H M)} = \hat{S M H} = 45 ° \end{array}$

Trong $(S H M)$ kẻ $H K ⊥ S M (K \in S M)$ ta có: $\{\begin{cases} H K ⊥ S M \\ H K ⊥ C D \end{cases} \Rightarrow H K ⊥ (S C D)$

Ta có: $A B / / C D \Rightarrow d (A B; S C) = d (A B; (S C D)) = d (A; (S C D))$

$A H \cap (S C D) = C \Rightarrow \frac{d (A; (S C D))}{d (H; (S C D))} = \frac{A C}{H C} = \frac{4}{3} \Rightarrow d (A; (S C D)) = \frac{4}{3} d (H; (S C D)) = \frac{4}{3} H K$

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\frac{H M}{A D} = \frac{H C}{A C} = \frac{3}{4} \Rightarrow H M = \frac{3}{4} A D = \frac{3 a}{2}$ .

Xét tam giác vuông HMK: $H K = H M . \sin 45 ° = \frac{3 a}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 a \sqrt{2}}{4}$ .

Vậy $d (A B; S C) = \frac{4}{3} . \frac{3 a \sqrt{2}}{4} = a \sqrt{2} .$

Câu 46:

13/07/2024

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [0;1], thỏa mãn $f (0) = 1$ và $3 \int_{0}^{1} [f' (x) . f^{2} (x) + \frac{1}{9}] d x = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{f' (x)} . f (x) d x$ . Tính $I = \int_{0}^{1} f^{3} (x) d x .$

A. $I = \frac{3}{2}$

B. $I = \frac{5}{4}$

C. $I = \frac{5}{6}$

D. $I = \frac{7}{6}$

Xem đáp án

Đáp án D

Giả thiết tương đương với $3 \int_{0}^{1} {[\sqrt{f' (x)} . f (x)]}^{2} d x + \frac{1}{3} = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{f' (x)} . f (x) d x$ .

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[3 \sqrt{f' (x)} . f (x)]}^{2} d x - 2 \int_{0}^{1} 3 \sqrt{f' (x)} . f (x) d x + \int_{0}^{1} d x = 0 \\ \Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[3 \sqrt{f' (x)} . f (x) - 1]}^{2} d x = 0 \Leftrightarrow 3 \sqrt{f' (x)} . f (x) = 1, \forall x \in [0; 1] \Leftrightarrow 9 f' (x) . f^{2} (x) = 1 \end{array}$

$\Rightarrow \int 9 f' (x) . f^{2} (x) d x = \int d x$ hay $9 \int f^{2} (x) d (f (x)) d x = \int d x \Rightarrow 3 f^{3} (x) = x + C$ .

Do $f (0) = 1$ , nên ta có: $3 f^{3} (0) = 0 + C \Leftrightarrow C = 3$ .

Vậy $f^{3} (x) = \frac{1}{3} x + 1 \Rightarrow \int_{0}^{1} f^{3} (x) d x = \frac{7}{6}$

Câu 47:

Trong không gian Oxyz, gọi (S) là mặt cầu đi qua D(0;1;2) và tiếp xúc với các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) trong đó $a, b, c \in ℝ \ \{0; 1\}$ . Tính bán kính của (S)?

A. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

B. $\sqrt{5}$

C. $5 \sqrt{2}$

D. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Mặt cầu (S) tiếp xúc với Ox tại $A (a; 0; 0)$

$\Rightarrow$ Tâm I thuộc mặt phẳng đi qua A và vuông góc với Ox.

Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với Ox là $1 (x - a) = 0 \Leftrightarrow x = a$ .

Tương tự, ta có tâm I thuộc mặt phẳng đi qua B và vuông góc với Oy là y = b, tâm I thuộc mặt phẳng đi qua C và vuông góc với Oz là $z = c \Rightarrow I (a; b; c)$ .

Ta có: $I A^{2} = I B^{2} = I C^{2} = I D^{2} \Leftrightarrow b^{2} + c^{2} = a^{2} + c^{2} = a^{2} + b^{2} = a^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(c - 2)}^{2} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} = b^{2} = c^{2} \\ b^{2} = {(b - 1)}^{2} + {(c - 2)}^{2} \end{cases} .$

TH1: $\{\begin{cases} a = b = c \\ a^{2} = {(a - 1)}^{2} + {(a - 2)}^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b = c \\ a^{2} - 6 a + 5 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b = c \\ [\begin{array}{l} a = 1 (l o a i) \\ a = 5 \end{array} \end{cases} \Rightarrow a = b = c = 5$ .

$\Rightarrow R = I A = \sqrt{5^{2} + 5^{2}} = 5 \sqrt{2}$

TH2: $\{\begin{cases} a = b = - c \\ a^{2} = {(a - 1)}^{2} + {(a - 2)}^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b = - c \\ a^{2} + 2 a + 5 = 0 (vo nghiem) \end{cases}$

TH3: $\{\begin{cases} a = - b = c \\ a^{2} = {(a - 1)}^{2} + {(a - 2)}^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - b = c \\ a^{2} - 2 a + 5 = 0 (vo nghiem) \end{cases}$

TH4: $\{\begin{cases} - a = b = c \\ a^{2} = {(a - 1)}^{2} + {(a - 2)}^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - a = b = c \\ a^{2} + 6 a + 5 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - a = b = c \\ [\begin{array}{l} a = - 1 (l o a i) \\ a = 5 \end{array} \end{cases}$

$\Rightarrow R = I A = \sqrt{5^{2} + 5^{2}} = 5 \sqrt{2}$

Câu 48:

23/07/2024

Cho số thực a thay đổi và số phức z thỏa mãn $\frac{z}{\sqrt{a^{2} + 1}} = \frac{i - a}{1 - a (a - 2 i)}$ . Trên mặt phẳng tọa độ, gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Khoảng cách giữa hai điểm M và I(-3;4) (khi a thay đổi) là:

A. 4

B. 3

C. 5

D. 6

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\frac{z}{\sqrt{a^{2} + 1}} = \frac{i - a}{1 - a (a - 2 i)} \Leftrightarrow z = \frac{i - a}{1 - a^{2} + 2 a i} \sqrt{a^{2} + 1}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow z = \frac{i - a}{- {(a - i)}^{2}} \sqrt{a^{2} + 1} \Leftrightarrow z = \frac{\sqrt{a^{2} + 1}}{a - i} = \frac{\sqrt{a^{2} + 1} (a + i)}{a^{2} - i^{2}} \\ \Leftrightarrow z = \frac{\sqrt{a^{2} + 1} (a + i)}{a^{2} + i} \Leftrightarrow z = \frac{a + i}{\sqrt{a^{2} + 1}} = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{a^{2} + 1}} i \end{array}$

M là điểm biểu diễn số phức $z \Rightarrow M (\frac{a}{\sqrt{a^{2} + 1}}, \frac{1}{\sqrt{a^{2} + 1}})$ .

Ta có: ${(\frac{a}{\sqrt{a^{2} + 1}})}^{2} + {(\frac{1}{\sqrt{a^{2} + 1}})}^{2} = \frac{a^{2} + 1}{a^{2} + 1} = 1$ .000

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn $x^{2} + y^{2} = 1$ có tâm $O (0; 0)$ bán kính $R = 1$ .

Khi đó

I M_{\min} = I O - R = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}} - 1 = 5 - 1 = 4

.

Câu 49:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt: $x^{4} - 16 x^{2} + 8 (1 - m) x - m^{2} + 2 m - 1 = 0$ .

A. 4

B. 7

C. 6

D. 5

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $x^{4} - 16 x^{2} + 8 (1 - m) x - m^{2} + 2 m - 1 = 0$

$\Leftrightarrow x^{4} - 16 x^{2} + 8 (1 - m) x - {(1 - m)}^{2} = 0 \Leftrightarrow {(1 - m)}^{2} - 8 x (1 - m) - x^{4} + 16 x^{2} = 0$

Đặt $1 - m = M$ , phương trình trở thành: $M^{2} - 8 x M - x^{4} + 16 x^{2} = 0 (*)$ .

$Δ_{M}' = {(4 x)}^{2} + x^{4} - 16 x^{2} = x^{4} \geq 0$

TH1: x = 0, Phương trình (*) có nghiệm kép $M = 4 x = 0 \Leftrightarrow 1 - m = 0 \Leftrightarrow m = 1$ .

Khi đó phương trình ban đầu trở thành: $x^{4} - 16 x^{2} = 0 \Leftrightarrow x^{2} (x^{2} - 16) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 4 \end{array}$ .

Phương trình có 3 nghiệm phân biệt $\Rightarrow m = 1$ không thỏa mãn.

TH2: $x \neq 0 \Rightarrow$ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt:

$[\begin{array}{l} M = 4 x + x^{2} \Leftrightarrow x^{2} + 4 x - M = 0 (1) \\ M = 4 x - x^{2} \Leftrightarrow x^{2} - 4 x + M = 0 (2) \end{array}$ (1), (2) là phương trình bậc hai nên có tối đa 2 nghiệm.

Do đó, để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì (1), (2) đều có 2 nghiệm phân biệt, và 4 nghiệm này phân biệt nhau $\Rightarrow \{\begin{cases} Δ_{1}' > 0 \\ Δ_{2}' > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 + M > 0 \\ 4 - M > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} M > - 4 \\ M < 4 \end{cases} \Leftrightarrow - 4 < M < 4$

$\Leftrightarrow - 4 < m - m < 4 \Leftrightarrow - 5 < - m < 3 \Leftrightarrow - 3 < m < 5$

Kết hợp điều kiện $m \in ℤ \Rightarrow m \in \{- 2, - 1,0,2,3,4\}$ .

Thử lại $m = - 2 \Rightarrow x \in \{- 2 \pm \sqrt{2}; 2 \pm \sqrt{6}\}$ (thỏa mãn).

$m = - 1 \Rightarrow x \in \{- 2 \pm \sqrt{6}; 2 \pm \sqrt{2}\}$ (thỏa mãn).

$m = 0 \Rightarrow x \in \{- 2 \pm \sqrt{5}; 2 \pm \sqrt{3}\}$ (thỏa mãn).

$m = 2 \Rightarrow x \in \{- 2 \pm \sqrt{3}; 2 \pm \sqrt{5}\}$ (thỏa mãn).

$m = 3 \Rightarrow x \in \{- 2 \pm \sqrt{2}; 2 \pm \sqrt{6}\}$ (thỏa mãn).

$m = 4 \Rightarrow x \in \{- 1; - 3; 2 \pm \sqrt{7}\}$ (thỏa mãn).

Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 50: