Giải Toán 12 trang 73 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 trang 73 Tập 1

Thực hành 3 trang 73 Toán 12 Tập 1: a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở Ví dụ 4 sau khi đã loại bỏ các giá trị ngoại lệ. Có nhận xét gì về khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị vừa tìm được và khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị ban đầu?

b) Hãy so sánh mức độ phân tán của hai mẫu số liệu chiều cao của các học sinh nữ lớp 12C và 12D ở Thực hành 1.

Lời giải:

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ban đầu là:

R = 33 – 15 = 18 (phút).

Từ Ví dụ 4, ta có khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm ban đầu là ${\Delta }_Q=\frac{505}{114}$ .

Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu x > Q₃ + 1,5∆_Q hoặc x < Q₁ + 1,5∆_Q.

Hay x > $\frac{68}{3}+1,5\cdot \frac{505}{114}=\frac{6683}{228}\approx 29,31$ hoặc x < $\frac{693}{38}-1,5\cdot \frac{505}{114}=\frac{881}{76}\approx 11,59$ .

Do đó, chỉ có đúng 1 lần ông Thắng đi hết 32 phút là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu ghép nhóm.

Sau khi bỏ giá trị ngoại lệ, ta có bảng thống kê sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ là:

R' = 30 – 15 = 15 (phút).

Cỡ mẫu n' = 99.

Gọi y₁; y₂; y₃; …; y₉₉ là mẫu số liệu gốc gồm thời gian 99 lần đi xe buýt của ông Thắng được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: y₁; …; y₂₂ ∈ [15; 18); y₂₃; …; y₆₀ ∈ [18; 21); y₆₁; …; y₈₇ ∈ [21; 24);

   y₈₈; …; y₉₅ ∈ [24; 27); y₉₅; …; y₉₉ ∈ [27; 30).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là y_25­ ∈ [18; 21). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ là:

${Q^{\text{'}}}_1=18+\frac{\frac{99}{4}-22}{38}\cdot \left(21-18\right)=\frac{2769}{152}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là y_75­ ∈ [21; 24). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ là:

${Q^{\text{'}}}_3=21+\frac{\frac{3\cdot 99}{4}-\left(22+38\right)}{27}\cdot \left(24-21\right)=\frac{271}{12}$.

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ là:

${{\Delta }^{\text{'}}}_Q={Q^{\text{'}}}_3-{Q^{\text{'}}}_1=\frac{271}{12}-\frac{2769}{152}=\frac{1991}{456}\approx 4,37$.

Nhận xét: Sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ, khoảng biến thiên giảm mạnh, còn khoảng tứ phân vị mới không bị ảnh hưởng nhiều.

b)

• Lớp 12C:

Cỡ mẫu n = 2 + 7 + 12 + 3 + 0 + 1 = 25.

Gọi x₁; x₂; …; x₂₅ là mẫu số liệu gốc về chiều cao của 25 học sinh nữ lớp 12C được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; x₂ ∈ [155; 160), x₃; x₄; …; x₉ ∈ [160; 165),

   x₁₀; x₁₁; …; x₂₁ ∈ [165; 170), x₂₂; …; x₂₄ ∈ [170; 175), x₂₅ ∈ [180; 185).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (x₆ + x₇) ∈ [160; 165). Do đó, tứ phân thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_1=160+\frac{\frac{25}{4}-2}{7}\cdot \left(165-160\right)=\frac{4565}{28}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (x₁₉ + x₂₀) ∈ [165; 170). Do đó, tứ phân thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_3=165+\frac{\frac{3\cdot 25}{4}-\left(2+7\right)}{12}\cdot \left(170-165\right)=\frac{2705}{16}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12C là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = $\frac{2705}{16}-\frac{4565}{28}=\frac{675}{112}$ ≈ 6,03.

• Lớp 12D:

Cỡ mẫu n' = 5 + 9 + 8 + 2 + 1 = 25.

Gọi y₁; y₂; …; y₂₅ là mẫu số liệu gốc về chiều cao của 25 học sinh nữ lớp 12D được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có y₁; y₂; …; y­₅ ∈ [155; 160), y₆; y₇; …; y₁₄ ∈ [160; 165),

   y₁₅; y₁₆; …; y₂₂ ∈ [165; 170), y₂₃; y₂₄ ∈ [170; 175), y₂₅ ∈ [175; 180).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (y₆ + y₇) ∈ [160; 165). Do đó, tứ phân thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q^{\text{'}}}_1=160+\frac{\frac{25}{4}-5}{9}\cdot \left(165-160\right)=\frac{5785}{36}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (y₁₉ + y₂₀) ∈ [165; 170). Do đó, tứ phân thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q^{\text{'}}}_3=165+\frac{\frac{3\cdot 25}{4}-\left(5+9\right)}{8}\cdot \left(170-165\right)=\frac{5375}{32}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12D là:

∆'_Q = Q'₃ – Q'₁ = $\frac{5375}{32}-\frac{5785}{36}=\frac{2095}{288}$ ≈ 7,27.

Vì ∆'_Q ≈ 7,27 > ∆_Q ≈ 6,03 nên chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12D có độ phân tán lớn hơn lớp 12C.

Vận dụng trang 73 Toán 12 Tập 1: Giả sử kết quả khảo sát hai khu vực A và B về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình được cho ở bảng sau:

a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của từng mẫu số liệu ghép nhóm ứng với mỗi khu vực A và B.

b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì phụ nữ ở khu vực nào có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn?

Lời giải:

a)

• Khu vực A:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực A là:

R = 34 – 19 = 15.

Cỡ mẫu n = 10 + 27 + 31 + 25 + 7 = 100.

Gọi x₁; x₂; …; x₁₀₀ là mẫu số liệu gốc về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình ở khu vực A được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; x₂; …; x₁₀ ∈ [19; 22), x₁₁; x₁₂; …; x₃₇ ∈ [22; 25),

   x₃₈; x₃₉; …; x₆₈ ∈ [25; 28), x₆₉; …; x₉₃ ∈ [28; 31), x₉₄; …; x₁₀₀ ∈ [31; 34).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (x₂₅ + x₂₆) ∈ [22; 25). Do đó, tứ phân thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_1=22+\frac{\frac{100}{4}-10}{27}\cdot \left(25-22\right)=\frac{71}{3}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (x₇₅ + x₇₆) ∈ [28; 31). Do đó, tứ phân thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_3=28+\frac{\frac{3\cdot 100}{4}-\left(10+27+31\right)}{25}\cdot \left(31-28\right)=\frac{721}{25}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình ở khu vực A là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = $\frac{721}{25}-\frac{71}{3}=\frac{388}{75}$ ≈ 5,17.

• Khu vực B:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực B là:

R' = 31 – 19 = 12.

Cỡ mẫu n' = 47 + 40 + 11 + 2 = 100.

Gọi y₁; y₂; …; y₁₀₀ là mẫu số liệu gốc về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình ở khu vực B được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có y₁; y₂; …; y­₄₇ ∈ [19; 22), y₄₈; y₄₉; …; y₈₇ ∈ [22; 25),

   y₈₈; y₈₉; …; y₉₈ ∈ [25; 28), y₉₉; y₁₀₀ ∈ [28; 31).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (y₂₅ + y₂₆) ∈ [19; 22). Do đó, tứ phân thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q^{\text{'}}}_1=19+\frac{\frac{100}{4}}{47}\cdot \left(22-19\right)=\frac{968}{47}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (y₇₅ + y₇₆) ∈ [22; 25). Do đó, tứ phân thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q^{\text{'}}}_3=22+\frac{\frac{3\cdot 100}{4}-47}{40}\cdot \left(25-22\right)=\frac{241}{10}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình ở khu vực B là:

∆'_Q = Q'₃ – Q'₁ = $\frac{241}{10}-\frac{968}{47}=\frac{1647}{470}$ ≈ 3,5.

Vì ∆'_Q < ∆_Q nên phụ nữ ở khu vực B có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn.

Bài tập

Bài 1 trang 73 Toán 12 Tập 1: Bảng sau thống kê lượng mưa (đơn vị: mm) đi được vào tháng 7 từ năm 2002 đến 2021 tại một trạm quan trắc đặt ở Cà Mau.

(Nguồn: Tổng cục Thống kê)

a) Hãy tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

b) Hãy chia mẫu số liệu trên thành 4 nhóm với nhóm đầu tiên là [140; 240) và lập bảng tần số ghép nhóm.

c) Hãy tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm và so sánh với kết quả tương ứng thu được ở câu a).

Lời giải:

a) Sắp xếp lại mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

147  187,1  200,7  242,2  251,4  258,4  288,5

298,1  305  332  341,4  388,6  400  413,5

413,5  421  432,2  475  520  522,9

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là:

R = 522,9 – 147 = 375,9 (mm).

Cỡ mẫu n = 20.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu số liệu:

147; 187,1; 200,7; 242,2; 251,4; 258,4 ; 288,5; 298,1; 305 ; 332.

Do đó, $Q_1=\frac{251,4+258,4}{2}=254,9$ .

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu số liệu:

341,4; 388,6 ; 400; 413,5; 413,5 ; 421; 432,2; 475; 520; 522,9.

Do đó, $Q_3=\frac{413,5+421}{2}=417,25$ .

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đã cho là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 417,25 – 254,9 = 162,35.

b) Nhóm đầu tiên là [140; 240), ta chọn 3 nhóm còn lại là

[240; 340), [340; 440), [440; 540).

Từ bảng thống kê ban đầu, ta lập được bảng tần số ghép nhóm như sau:

c) Cỡ mẫu n = 20.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là

R' = 540 – 140 = 400 (mm).

Gọi x₁; x₂; …; x₂₀ là mẫu số liệu gốc về lượng mưa đo được vào tháng 7 từ năm 2002 đến 2021 tại một trạm quan trắc đặt ở Cà Mau được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; x₂; x₃ ∈ [140; 240), x₄; …; x₁₀ ∈ [240; 340),

   x₁₁; …; x₁₇ ∈ [340; 440), x₁₈; x₁₉; x₂₀ ∈ [440; 540).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ∈ [240; 340).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q^{\text{'}}}_1=240+\frac{\frac{20}{4}-3}{7}\left(340-240\right)=\frac{1880}{7}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left(x_{15}+x_{16}\right)$ ∈ [340; 440).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q^{\text{'}}}_3=340+\frac{\frac{3\cdot 20}{4}-\left(3+7\right)}{7}\left(440-340\right)=\frac{2880}{7}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆'_Q = Q'₃ – Q'₁ = $\frac{2880}{7}-\frac{1880}{7}=\frac{1000}{7}$ ≈ 142,86.

Ta thấy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm lớn hơn mẫu số liệu đã cho; khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm nhỏ hơn mẫu số liệu đã cho.

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 12 bộ sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Giải Toán 12 trang 68 Tập 1

Giải Toán 12 trang 70 Tập 1

Giải Toán 12 trang 72 Tập 1

Giải Toán 12 trang 73 Tập 1

Giải Toán 12 trang 74 Tập 1