Giải Toán 11 trang 94 Kết nối tri thức

Với giải bài tập Toán 11 trang 94 trong Bài 13: Hai mặt phẳng song song sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 94.

1 2,126 04/06/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 94

Bài 4.22 trang 94 Toán 11 Tập 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AA', BB', CC'. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

Bài 4.22 trang 94 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Vì ABC.A'B'C' là hình hình lăng trụ tam giác nên ABB'A' và BCC'B' là các hình bình hành hay cũng là các hình thang.

Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AA', BB' nên MN là đường trung bình của hình thang ABB'A', do đó MN // AB, suy ra MN song song với mặt phẳng (ABC).

Tương tự, ta chứng minh được NP // BC, suy ra NP song song với mặt phẳng (ABC).

Mặt phẳng (MNP) chứa hai đường thẳng cắt nhau MN và NP cùng song song với mặt phẳng (ABC) nên hai mặt phẳng (MNP) và (ABC) song song với nhau.

Bài 4.23 trang 94 Toán 11 Tập 1: Cho hình thang ABCD có hai đáy AB và CD. Qua các điểm A, D lần lượt vẽ các đường thẳng m, n song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng mp(B, m) và mp(C, n) song song với nhau.

Lời giải:

Bài 4.23 trang 94 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Vì m // n nên đường thẳng m song song với mp(C, n).

Vì ABCD là hình thang có hai đáy là AB và CD nên AB // CD, suy ra đường thẳng AB song song với mp(C, n).

mp(B, m) chứa hai đường thẳng cắt nhau m và AB cùng song song với mp(C, n) nên mp(B, m) và mp(C, n) song song với nhau.

Bài 4.24 trang 94 Toán 11 Tập 1: Cho hình tứ diện SABC. Trên cạnh SA lấy các điểm A₁, A₂ sao cho AA₁ = A₁A₂ = A₂S. Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) và lần lượt đi qua A₁, A₂. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại B₁, C₁. Mặt phẳng (Q) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại B₂, C₂. Chứng minh BB₁ = B₁B₂ = B₂S và CC₁ = C₁C₂ = C₂S.

Lời giải:

Bài 4.24 trang 94 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Vì hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với mặt phẳng (ABC) nên (P) // (Q), do đó ba mặt phẳng (ABC), (P) và (Q) đôi một song song. Theo định lí Thalés trong không gian, ta suy ra $\frac{A_{2} A_{1}}{A A_{1}} = \frac{B_{2} B_{1}}{B B_{1}} = \frac{C_{2} C_{1}}{C C_{1}}$ .

Mà AA₁ = A₁A₂ nên $\frac{A_{2} A_{1}}{A A_{1}} = 1$ , suy ra $\frac{A_{2} A_{1}}{A A_{1}} = \frac{B_{2} B_{1}}{B B_{1}} = \frac{C_{2} C_{1}}{C C_{1}} = 1$ , do đó BB₁ = B₁B₂ và CC₁ = C₁C₂.

Sử dụng định lí Thalés ta cũng chứng minh được $\frac{A_{2} S}{A_{2} A_{1}} = \frac{B_{2} S}{B_{2} B_{1}} = \frac{C_{2} S}{C_{2} C_{1}}$ .

Mà A₁A₂ = A₂S nên $\frac{A_{2} S}{A_{2} A_{1}} = 1$ , suy ra $\frac{A_{2} S}{A_{2} A_{1}} = \frac{B_{2} S}{B_{2} B_{1}} = \frac{C_{2} S}{C_{2} C_{1}} = 1$ , do đó B₁B₂ = B₂S và C₁C₂ = C₂S.

Vậy BB₁ = B₁B₂ = B₂S và CC₁ = C₁C₂ = C₂S.

Bài 4.25 trang 94 Toán 11 Tập 1: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D'. Một mặt phẳng song song với mặt phẳng (A'B'C'D') cắt cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại A", B", C", D". Hỏi hình tạo bởi các điểm A, B, C, D, A", B", C", D" là hình gì?

Lời giải:

Bài 4.25 trang 94 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lăng trụ tứ giác nên hai mặt phẳng (ABCD) và (A'B'C'D') song song với nhau, mà mặt phẳng (A"B"C"D") song song với mặt phẳng (A'B'C'D'). Do đó, hai mặt phẳng (ABCD) và (A"B"C"D") song song với nhau (1).

Vì các cạnh bên của hình lăng trụ đôi một song song với nhau nên AA", BB", CC" đôi một song song (2).

Từ (1) và (2) suy ra ABCD.A"B"C"D" là hình lăng trụ tứ giác. Vậy hình tạo bởi các điểm A, B, C, D, A", B", C", D" là hình lăng trụ tứ giác.

Bài 4.26 trang 94 Toán 11 Tập 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A'B'C'.

a) Chứng minh rằng tứ giác AGG'A' là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng AGC.A'G'C' là hình lăng trụ.

Lời giải:

Bài 4.26 trang 94 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và B'C'. Khi đó ta có MN là đường trung bình của hình bình hành BCC'B', suy ra MN // BB' và MN = BB'.

Do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác nên AA' // BB' và AA' = BB'.

Từ đó suy ra MN // AA' và MN = AA'. Do đó, AMNA' là hình bình hành.

Suy ra AM // A'N và AM = A'N.

Vì G và G' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A'B'C' nên $\frac{A^{'} G^{'}}{A^{'} N} = \frac{A G}{A M} = \frac{2}{3}$ .

Do đó, AG = A'G' và AG // A'G'. Từ đó suy ra tứ giác AGG'A' là hình bình hành.

b) Vì tứ giác AGG'A' là hình bình hành nên AA' // GG'.

Tương tự ta chứng minh được CGG'C' là hình bình hành nên CC' // GG'.

Do đó, ba đường thẳng AA', GG' và CC' đôi một song song.

Lại có hai mặt phẳng (AGC) và (A'G'C') song song với nhau.

Vậy AGC.A'G'C' là hình lăng trụ tam giác.

Bài 4.27 trang 94 Toán 11 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Một mặt phẳng song song với mặt bên (ABB'A') của hình hộp và cắt các cạnh AD, BC, A'D', B'C' lần lượt tại M, N, M', N' (H.4.54). Chứng minh rằng ABNM.A'B'N'M' là hình hộp.

Lời giải:

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các cạnh bên AA', BB', CC', DD' đôi một song song với nhau và (ABCD) // (A'B'C'D').

Vì M thuộc AD và N thuộc BC nên MN nằm trong mặt phẳng ABCD, tương tự M'N' nằm trong mặt phẳng (A'B'C'D'). Do đó, (ABNM) // (A'B'N'M') (1).

Ta có: (ABB'A') // (MNN'M') và mặt phẳng (ABCD) cắt (ABB'A') và (MNN'M') lần lượt theo các giao tuyến AB và MN, do đó AB // MN.

Tương tự, ta chứng minh được: M'N' // A'B'; NN' // BB'; MM' // AA'.

Mà AA' // BB' do đó bốn đường thẳng AA', BB', NN', MM' đôi một song song với nhau (2).

Từ (1) và (2) suy ra ABNM.A'B'N'M' là hình lăng trụ.

Tứ giác ABNM có AB // MN và AM // BN (do AD // BC) nên ABNM là hình bình hành.

Tứ giác A'B'N'M' có A'B' // M'N' và A'M' // B'N' (do A'D' // B'C') nên A'B'N'M' là hình bình hành.

Hình lăng trụ ABNM.A'B'N'M' có đáy là hình bình hành nên nó là hình hộp.

Bài 4.28 trang 94 Toán 11 Tập 1: Cầu thang xương cá là dạng cầu thang có hình dáng tương tự như những đốt xương cá, thường có những bậc cầu thang với khoảng mở lớn, tạo đượng sự nhẹ nhàng và thoáng đãng cho không gian sống. Trong Hình 4.55, phần mép của mỗi bậc thang nằm trên tường song song với nhau. Hãy giải thích tại sao.

Lời giải:

Các bậc cầu thang là các mặt phẳng song song với nhau từng đôi một, mặt phẳng tường cắt mỗi mặt phẳng là các bậc của cầu thang theo các giao tuyến là phần mép của mỗi bậc cầu thang nằm trên tường nên các giao tuyến này song song với nhau.

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải Toán 11 trang 88

Giải Toán 11 trang 89

Giải Toán 11 trang 90

Giải Toán 11 trang 91

Giải Toán 11 trang 92

Giải Toán 11 trang 93

Giải Toán 11 trang 94

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Mở đầu trang 88 Toán 11 Tập 1: Các đầu bếp chuyên nghiệp luôn có kĩ năng dùng dao điêu luyện để thái thức ăn như rau, củ, thịt, cá,... thành các miếng đều nhau và đẹp mắt...

HĐ1 trang 88 Toán 11 Tập 1: Các mặt bậc thang trong Hình 4.40 gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung. Hãy tìm thêm một số ví dụ khác cũng gợi nên hình ảnh đó...

Câu hỏi trang 88 Toán 11 Tập 1: Trong hình ảnh mở đầu, các nhát cắt có nằm trong các mặt phẳng song song hay không...