Bài 4.24 trang 94 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Giải Toán 11 Bài 13: Hai mặt phẳng song song

Bài 4.24 trang 94 Toán 11 Tập 1: Cho hình tứ diện SABC. Trên cạnh SA lấy các điểm A₁, A₂ sao cho AA₁ = A₁A₂ = A₂S. Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) và lần lượt đi qua A₁, A₂. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại B₁, C₁. Mặt phẳng (Q) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại B­₂, C₂. Chứng minh BB₁ = B₁B₂ = B₂S và CC₁ = C₁C₂ = C₂S.

Lời giải:

Vì hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với mặt phẳng (ABC) nên (P) // (Q), do đó ba mặt phẳng (ABC), (P) và (Q) đôi một song song. Theo định lí Thalés trong không gian, ta suy ra $\frac{A_2{A}_1}{A{A}_1}=\frac{B_2{B}_1}{B{B}_1}=\frac{C_2{C}_1}{C{C}_1}$ .

Mà AA₁ = A₁A₂ nên $\frac{A_2{A}_1}{A{A}_1}=1$ , suy ra $\frac{A_2{A}_1}{A{A}_1}=\frac{B_2{B}_1}{B{B}_1}=\frac{C_2{C}_1}{C{C}_1}=1$ , do đó BB₁ = B₁B₂ và CC₁ = C₁C₂.

Sử dụng định lí Thalés ta cũng chứng minh được $\frac{A_{2}S}{A_2{A}_1}=\frac{B_{2}S}{B_2{B}_1}=\frac{C_{2}S}{C_2{C}_1}$ .

Mà A₁A₂ = A₂S nên $\frac{A_{2}S}{A_2{A}_1}=1$ , suy ra $\frac{A_{2}S}{A_2{A}_1}=\frac{B_{2}S}{B_2{B}_1}=\frac{C_{2}S}{C_2{C}_1}=1$ , do đó B₁B₂ = B₂S và C₁C₂ = C₂S.

Vậy BB₁ = B₁B₂ = B₂S và CC₁ = C₁C₂ = C₂S.