Giải Toán 11 trang 41 Tập 1 Kết nối tri thức

Với giải bài tập Toán 11 trang 41 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 1 sách Kết nối tri thức Tập 1 hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 41 Tập 1.

1 205 22/03/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 41 Tập 1

Bài 1.31 trang 41 Toán 11 Tập 1: Cho góc α thỏa mãn $\frac{π}{2} < α < π, \cos α = - \frac{1}{\sqrt{3}} .$ Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sin (α + \frac{π}{6})$ ;

b) $\cos (α + \frac{π}{6})$ ;

c) $\sin (α - \frac{π}{3})$ ;

d) $\cos (α - \frac{π}{6})$ .

Lời giải:

Vì $\frac{π}{2} < α < π$ nên sin α > 0. Mặt khác từ sin² α + cos² α = 1 suy ra

$\sin α = \sqrt{1 - \cos^{2} α} = \sqrt{1 - {(- \frac{1}{\sqrt{3}})}^{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

a) $\sin (α + \frac{π}{6})$ $= \sin α \cos \frac{π}{6} + \cos α \sin \frac{π}{6}$

$= \frac{\sqrt{6}}{3} . \frac{\sqrt{3}}{2} + (- \frac{1}{\sqrt{3}}) . \frac{1}{2} = \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{6}$ .

b) $\cos (α + \frac{π}{6})$ $= \cos α \cos \frac{π}{6} - \sin α \sin \frac{π}{6}$

$= - \frac{1}{\sqrt{3}} . \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{3} . \frac{1}{2} = \frac{- 3 - \sqrt{6}}{6}$ .

c) $\sin (α - \frac{π}{3})$ $= \sin α \cos \frac{π}{3} - \cos α \sin \frac{π}{3}$

$= \frac{\sqrt{6}}{3} . \frac{1}{2} - (- \frac{1}{\sqrt{3}}) . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6} + 3}{6}$ .

d) $\cos (α - \frac{π}{6})$ $= \cos α \cos \frac{π}{6} + \sin α \sin \frac{π}{6}$

$= - \frac{1}{\sqrt{3}} . \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{3} . \frac{1}{2} = \frac{- 3 + \sqrt{6}}{6}$ .

Bài 1.32 trang 41 Toán 11 Tập 1: Cho góc bất kì α. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) (sin α + cos α)² = 1 + sin 2α;

b) cos⁴ α – sin⁴ α = cos 2α.

Lời giải:

a) Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản: sin² α + cos² α = 1

và công thức nhân đôi: sin 2α = 2sin α cos α.

Ta có: VT = (sin α + cos α)² = sin² α + cos² α + 2sin α cos α = 1 + sin 2α = VP (đpcm).

b) Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản: sin² α + cos² α = 1

và công thức nhân đôi: cos 2α = cos² α – sin² α.

Ta có: VT = cos⁴ α – sin⁴ α = (cos² α)² – (sin² α)²

= (cos² α + sin² α)(cos² α – sin² α) = 1 . cos 2α = cos 2α = VP (đpcm).

Bài 1.33 trang 41 Toán 11 Tập 1: Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) $y = 2 \cos (2 x - \frac{π}{3}) - 1$ ;

b) y = sin x + cos x.

Lời giải:

a) Ta có: $- 1 \leq \cos (2 x - \frac{π}{3}) \leq 1$ với mọi x ∈ ℝ

$\Leftrightarrow - 2 \leq 2 \cos (2 x - \frac{π}{3}) \leq 2$ với mọi x ∈ ℝ

$\Leftrightarrow - 2 - 1 \leq 2 \cos (2 x - \frac{π}{3}) - 1 \leq 2 - 1$ với mọi x ∈ ℝ

$\Leftrightarrow - 3 \leq 2 \cos (2 x - \frac{π}{3}) - 1 \leq 1$ với mọi x ∈ ℝ

⇔ – 3 ≤ y ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ

Vậy tập giá trị của hàm số $y = 2 \cos (2 x - \frac{π}{3}) - 1$ là [– 3; 1].

b) Ta có: sin x + cos x = $\sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x)$

$= \sqrt{2} (\cos \frac{π}{4} \sin x + \sin \frac{π}{4} \cos x)$

$= \sqrt{2} (\sin x \cos \frac{π}{4} + \cos x \sin \frac{π}{4})$

$= \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4})$

Khi đó ta có hàm số y $= \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4})$ .

Lại có: $- 1 \leq \sin (x + \frac{π}{4}) \leq 1$ với mọi x ∈ ℝ

$\Leftrightarrow - \sqrt{2} \leq \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) \leq \sqrt{2}$ với mọi x ∈ ℝ

$\Leftrightarrow - \sqrt{2} \leq y \leq \sqrt{2}$ với mọi x ∈ ℝ

Vậy tập giá trị của hàm số y = sin x + cos x là $[- \sqrt{2}; \sqrt{2}]$ .

Bài 1.34 trang 41 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) $\cos (3 x - \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

b) 2sin² x – 1 + cos 3x = 0;

c) $\tan (2 x + \frac{π}{5}) = \tan (x - \frac{π}{6})$ .

Lời giải:

a) $\cos (3 x - \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \cos (3 x - \frac{π}{4}) = \cos \frac{3 π}{4}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3 x - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + k 2 π \\ 3 x - \frac{π}{4} = - \frac{3 π}{4} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3 x = π + k 2 π \\ 3 x = - \frac{π}{2} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{3} + k \frac{2 π}{3} \\ x = - \frac{π}{6} + k \frac{2 π}{3} \end{array} (k \in ℤ)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x = \frac{π}{3} + k \frac{2 π}{3}, k \in ℤ$ và $x = - \frac{π}{6} + k \frac{2 π}{3}, k \in ℤ$ .

b) 2sin² x – 1 + cos 3x = 0

⇔ – (1 – 2sin² x) + cos 3x = 0

⇔ – cos 2x + cos 3x = 0

⇔ cos 3x = cos 2x

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3 x = 2 x + k 2 π \\ 3 x = - 2 x + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k 2 π \\ 5 x = k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k 2 π \\ x = k \frac{2 π}{5} \end{array} (k \in ℤ)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x = k 2 π, k \in ℤ$ và $x = k \frac{2 π}{5}, k \in ℤ$ .

c) $\tan (2 x + \frac{π}{5}) = \tan (x - \frac{π}{6})$

$\Leftrightarrow 2 x + \frac{π}{5} = x - \frac{π}{6} + k π, k \in ℤ$

$\Leftrightarrow x = - \frac{11 π}{30} + k π, k \in ℤ$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x = - \frac{11 π}{30} + k π, k \in ℤ$ .

Bài 1.35 trang 41 Toán 11 Tập 1: Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu được gọi tương ứng là huyết áp tâm thu và tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó được mô hình hóa bởi hàm số

p(t) = 115 + 25sin(160πt),

trong đó p(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thủy ngân) và thời gian t tính theo phút.

a) Tìm chu kì của hàm số p(t).

b) Tìm số nhịp tim mỗi phút.

c) Tìm chỉ số huyết áp. So sánh huyết áp của người này với huyết áp bình thường.

Lời giải:

a) Chu kì của hàm số p(t) là T = $\frac{2 π}{160 π} = \frac{1}{80}$ .

b) Thời gian giữa hai lần tim đập là $T = \frac{1}{80}$ (phút)

Số nhịp tim mỗi phút là $1 : \frac{1}{80} = 80$ nhịp.

c) Ta có: – 1 ≤ sin(160πt) ≤ 1 với mọi t ∈ ℝ

⇔ – 25 ≤ 25sin(160πt) ≤ 25 với mọi t ∈ ℝ

⇔ 115 + (– 25) ≤ 115 + 25sin(160πt) ≤ 115 + 25 với mọi t ∈ ℝ

⇔ 90 ≤ p(t) ≤ 140 với mọi t ∈ ℝ

Do đó, chỉ số huyết áp của người này là 140/90 và chỉ số huyết áp của người này cao hơn mức bình thường.

Bài 1.36 trang 41 Toán 11 Tập 1: Khi một tia sáng truyền từ không khí vào mặt nước thì một phần tia sáng bị phản xạ trên bề mặt, phần còn lại bị khúc xạ như trong Hình 1.26. Góc tới i liên hệ với góc khúc xạ r bởi Định luật khúc xạ ánh sáng

$\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{n_{2}}{n_{1}}$ .

Ở đây, n₁ và n₂ tương ứng là chiết suất của môi trường 1 (không khí) và môi trường 2 (nước). Cho biết góc tới i = 50°, hãy tính góc khúc xạ, biết rằng chiết suất của không khí bằng 1 còn chiết suất của nước là 1,33.

Lời giải:

Theo bài ra ta có: i = 50°, n₁ = 1, n₂ = 1,33, thay vào $\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{n_{2}}{n_{1}}$ ta được:

$\frac{\sin 50 °}{\sin r} = \frac{1,33}{1}$ (điều kiện sin r ≠ 0)

⇒ sin r = $\frac{\sin 50 °}{1,33}$

⇔ sin r ≈ 0,57597 (thỏa mãn điều kiện)

⇔ sin r ≈ sin(35°10’)

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} r \approx 35 ° 10' + k 360 ° \\ r \approx 180 ° - 35 ° 10' + k 360 ° \end{array} (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} r \approx 35 ° 10' + k 360 ° \\ r \approx 144 ° 50' + k 360 ° \end{array} (k \in ℤ)$

Mà 0° < r < 90° nên r ≈ 35°10’.

Vậy góc khúc xạ r ≈ 35°10’.

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải Toán 11 trang 40 Tập 1

Giải Toán 11 trang 41 Tập 1

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 1.23 trang 40 Toán 11 Tập 1: Biểu diễn các góc lượng giác $α = - \frac{5 π}{6}$ $β = \frac{π}{3}$ , $γ = \frac{25 π}{3}$ , $δ = \frac{17 π}{6}$ , trên đường tròn lượng giác. Các góc nào có điểm biểu diễn trùng nhau...

Bài 1.24 trang 40 Toán 11 Tập 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai? A. sin(π – α) = sin α. B. cos(π – α) = cos α...

Bài 1.25 trang 40 Toán 11 Tập 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai? A. cos(a – b) = cos a cos b – sin a sin b...

Bài 1.26 trang 40 Toán 11 Tập 1: Rút gọn biểu thức M = cos(a + b) cos(a – b) – sin(a + b) sin(a – b), ta được: A. M = sin 4a. B. M = 1 – 2 cos² a...

Bài 1.27 trang 40 Toán 11 Tập 1: Khẳng định nào sau đây là sai? A. Hàm số y = cos x có tập xác định là ℝ...

Bài 1.28 trang 40 Toán 11 Tập 1: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm tuần hoàn?

A. y = tan x + x...

Bài 1.29 trang 40 Toán 11 Tập 1: Đồ thị của các hàm số y = sin x và y = cos x cắt nhau tại bao nhiêu điểm có hoành độ thuộc đoạn $[- 2 π; \frac{5 π}{2}]$ ...

Bài 1.30 trang 40 Toán 11 Tập 1: Tập xác định của hàm số $y = \frac{\cos x}{\sin x - 1}$ là A. ℝ \ {k2π, k ∈ ℤ}...

Bài 1.31 trang 41 Toán 11 Tập 1: Cho góc α thỏa mãn $\frac{π}{2} < α < π, \cos α = - \frac{1}{\sqrt{3}} .$ Tính giá trị của các biểu thức sau: a) $\sin (α + \frac{π}{6})$ ;...

Bài 1.32 trang 41 Toán 11 Tập 1: Cho góc bất kì α. Chứng minh các đẳng thức sau: a) (sin α + cos α)² = 1 + sin 2α;...

Bài 1.33 trang 41 Toán 11 Tập 1: Tìm tập giá trị của các hàm số sau: a) $y = 2 \cos (2 x - \frac{π}{3}) - 1$ ...

Bài 1.34 trang 41 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau: a) $\cos (3 x - \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ;...

Bài 1.35 trang 41 Toán 11 Tập 1: Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể...

Bài 1.36 trang 41 Toán 11 Tập 1: Khi một tia sáng truyền từ không khí vào mặt nước thì một phần tia sáng bị phản xạ trên bề mặt, phần còn lại bị khúc xạ như trong Hình 1.26...

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 2: Công thức lượng giác

Bài 3: Hàm số lượng giác

Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập cuối chương 1

1 205 22/03/2023

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3