Giải SBT Toán 10 trang 9 Tập 1 Cánh diều

Giải SBT Toán 10 trang 9 Tập 1 Cánh diều

Bài 11 trang 9 SBT Toán 10 Tập 1: Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó:

a) A: “Trục đối xứng của đồ thị hàm số y = – x² là trục tung”;

b) B: “Phương trình 3x² + 1 có nghiệm”;

c) C: “Hai đường thẳng y = 2x + 1 và y = – 2x + 1 không song song với nhau”;

d) D: “Số 2 024 không chia hết cho 4”.

Lời giải

a) Mệnh đề phủ định của mệnh đề A: “Trục đối xứng của đồ thị hàm số y = – x² là trục tung” là $\overline{A}$: “Trục đối xứng của đồ thị hàm số y = – x² không phải là trục tung”.

Hàm số y = – x² có trục đối xứng là trục tung. Do đó mệnh đề A đúng, mệnh đề $\overline{A}$ sai.

b) Mệnh đề phủ định của mệnh đề B: “Phương trình 3x² + 1 có nghiệm” là $\overline{B}$: “Phương trình 3x² + 1 vô nghiệm”.

Xét phương trình 3x²  + 1 = 0

⇔ 3x² = – 1 (vô lí)

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

Do đó mệnh đề B sai, mệnh đề $\overline{B}$ đúng.

c) Mệnh đề phủ định của mệnh đề C: “không song song với nhau” là mệnh đề $\overline{C}$: “Hai đường thẳng y = 2x + 1 và y = – 2x + 1 song song với nhau”.

Ta có y = 2x + 1 có a = 2, b = 1

y = – 2x + 1 có a’ = – 2, b’ = 1

Suy ra a ≠ a’ nên hai đường thẳng y = 2x + 1 và y = – 2x + 1 cắt nhau. Do đó mệnh đề C đúng và mệnh đề $\overline{C}$ sai.

d) Mệnh đề phủ định của mệnh đề D: “Số 2 024 không chia hết cho 4” là mệnh đề $\overline{D}$: “Số 2 024 chia hết cho 4”.

Ta có: 2 024 : 4 = 506 nên 2 024 chia hết cho 4. Do đó mệnh đề D sai, mệnh đề $\overline{D}$ đúng.

Bài 12 trang 9 SBT Toán 10 Tập 1: Cho mệnh đề kéo theo có dạng P ⇒ Q: “Vì 120 chia hết cho 6 nên 120 chia hết cho 9”.

a) Mệnh đề trên đúng hay sai?

b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên và xét tính đúng sai của mệnh đề đảo đó.

Lời giải

a) Xét mệnh đề kéo theo P ⇒ Q: “Vì 120 chia hết cho 6 nên 120 chia hết cho 9”.

Khi đó P: “120 chia hết cho 6”; Q: “120 chia hết cho 9”.

Ta có 120 : 6 = 20 nên 120 chia hết cho 6 suy ra mệnh đề P đúng.

120 : 9 = 13 (dư 3) nên 120 không chia hết cho 9 suy ra mệnh đề Q sai.

Do đó mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề sai.

b) Mệnh đề đảo của mệnh đề trên được phát biểu như sau:

Q ⇒ P: “Vì 120 chia hết cho 9 nên 120 chia hết cho 6”.

Do đó mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề đúng.

Bài 13 trang 9 SBT Toán 10 Tập 1: Cho mệnh đề kéo theo có dạng P ⇒ Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”

a) Mệnh đề trên đúng hay sai?

b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên và xét tính đúng sai của mệnh đề đảo đó.

Lời giải

a) Ta có tứ giác ABCD là hình bình hành nên ABCD có tính chất là hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Do đó mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề đúng.

b) Mệnh đề đảo của mệnh đề trên là Q ⇒ P: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác ABCD là hình bình hành”

Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên tứ giác ABCD là hình bình hành. Do đó mệnh đề Q ⇒ P là đúng.

Bài 14 trang 9 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Xét các mệnh đề sau:

P: “Tam giác ABC vuông tại A”.

Q: “Độ dài đường trung tuyến AM bằng nửa độ dài cạnh BC”.

a) Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q, Q ⇒ P và xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề đó.

b) Nếu cả hai mệnh đề trong ý a) là đúng, hãy phát biểu mệnh đề tương đương.

Lời giải

a) +) Mệnh đề P ⇒ Q được phát biểu như sau:

“Nếu tam giác ABC vuông tại A thì độ dài đường trung tuyến AM bằng nửa độ dài cạnh BC”.

Xét tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến thì AM = BC. Do đó mệnh đề P ⇒ Q  là mệnh đề đúng.

+) Mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau:

“Nếu độ dài đường trung tuyến AM bằng nửa độ dài cạnh BC thì tam giác ABC vuông tại A”.

Xét tam giác ABC có đường trung tuyến AM = $\frac{1}{2}$BC.

⇒ AM = MB = MC

⇒ ∆AMB cân tại M

⇒ $\widehat{MAB}=\widehat{MBA}$ hay $\widehat{MAB}=\widehat{CBA}$

Tương tự ta có ∆AMC cân tại M

⇒ $\widehat{MAC}=\widehat{MCA}$ hay $\widehat{MAC}=\widehat{BCA}$

Mà $\widehat{MAB}+\widehat{MAC}=\widehat{BAC}$ nên $\widehat{BAC}=\widehat{BCA}+\widehat{CBA}$

Ta lại có: $\widehat{BAC}+\widehat{BCA}+\widehat{CBA}=180°$

⇒ $\widehat{BAC}=\widehat{BCA}+\widehat{CBA}=90°$

⇒ ∆ABC vuông tại A.

Do đó mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề đúng.

b) Vì mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P là các mệnh đề đúng nên ta có mệnh đề tương đương P ⇔ Q và được phát biểu như sau:

“Tam giác ABC vuông tại A tương đương độ dài đường trung tuyến AM bằng nửa độ dài cạnh BC”.

Bài 15 trang 9 SBT Toán 10 Tập 1: Dùng kí hiệu ∀ hoặc ∃ để viết các mệnh đề sau:

a) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó.

b) Có một số thực mà bình phương của nó cộng với 1 bằng 0.

c) Mọi số nguyên dương đều lớn hơn nghịch đảo của nó.

d) Mọi số thực đều lớn hơn số đối của nó.

Lời giải

a) Bằng kí hiệu ∃ ta viết mệnh đề đã cho dưới dạng kí hiệu là:

“∃ x ∈ ℕ, x không chia hết cho x”.

b) Bằng kí hiệu ∃ ta viết mệnh đề đã cho dưới dạng kí hiệu là:

“∃ x ∈ ℝ, x² + 1 = 0”.

c) Bằng kí hiệu ∀ ta viết mệnh đề đã cho dưới dạng kí hiệu là:

 “∀x ∈ ℤ, x > 0 và x > $\frac{1}{x}$”.

d) Bằng kí hiệu ∀ ta viết mệnh đề đã cho dưới dạng kí hiệu là:

  “∀x ∈ ℤ, x > – x ”.

Bài 16 trang 9 SBT Toán 10 Tập 1: Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó.

a) ∀n ∈ ℕ, n(n + 1) chia hết cho 2;

b) ∀x ∈ ℝ, x² > x;

c) ∃x ∈ ℝ, |x| > x;

d) ∃x ∈ ℚ, x² – x – 1 = 0.

Lời giải

a) Gọi A: “∀n ∈ ℕ, n(n + 1) chia hết cho 2”

Mệnh đề phủ định của mệnh đề A: “∀n ∈ ℕ, n(n + 1) chia hết cho 2” là $\overline{A}$: “∃n ∈ ℕ, n(n + 1) không chia hết cho 2”.

+) Xét tính đúng sai:

Với n = 2k (k ∈ ℕ) khi đó  n.(n + 1) = 2k.(2k + 1) chia hết cho 2.

Với n = 2k + 1 (k ∈ ℕ) khi đó  n.(n + 1) = (2k + 1).(2k + 2) = (2k + 1)(k + 1).2 chia hết cho 2.

Suy ra với mọi giá trị của n thì n(n + 1) chia hết cho 2. Do đó mệnh đề A đúng và $\overline{A}$ sai.

b) Gọi B: “∀x ∈ ℝ, x² > x”

Mệnh đề phủ định của mệnh đề B: “∀x ∈ ℝ, x² > x” là $\overline{B}$: “∃x ∈ ℝ, x² ≤ x”.

Xét x² > x

⇔ x² – x > 0

⇔ x(x – 1) > 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x>0\\ x-1>0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x<0\\ x-1<0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x>1\\ x<0\end{array}\right.$

Suy ra không phải với mọi số thực x thì x² > x.

Do đó mệnh đề B sai, mệnh đề $\overline{B}$ đúng.

c) Gọi C: “∃x ∈ ℝ, |x| > x”.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề C: “∃x ∈ ℝ, |x| > x” là mệnh đề $\overline{C}$: “∀x ∈ ℝ, |x| ≤ x”.

Ta luôn có |x| ≥ x với mọi giá trị thực của x. Do đó mệnh đề C là mệnh đề đúng, mệnh đề $\overline{C}$ là mệnh đề sai.

d) Gọi D: “∃x ∈ ℚ, x² – x – 1 = 0”

Mệnh đề phủ định của mệnh đề C: “∃x ∈ ℚ, x² – x – 1 = 0” là mệnh đề $\overline{D}$: “∀x ∈ ℚ, x² – x – 1 ≠ 0”.

Xét phương trình x² – x – 1 = 0

Có: ∆ = (-1)² – 4.1.(-1) = 1 + 4 = 5 > 0

Khi đó phương trình có hai nghiệm $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ và $x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.

Mà $\frac{1+\sqrt{5}}{2};\frac{1-\sqrt{5}}{2}\notin \mathbb{Q}$

Do đó không tồn tại số hữu tỉ x nào để x² – x – 1 = 0.

Vì vậy mệnh đề C sai và mệnh đề $\overline{D}$ đúng.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Giải SBT Toán 10 trang 7 Tập 1

Giải SBT Toán 10 trang 8 Tập 1

Giải SBT Toán 10 trang 10 Tập 1