Toán 11 Bài 5: Xác suất của biến cố

Mục lục Giải Toán 11 Bài 5: Xác suất của biến cố

Video giải Toán 11 Bài 5: Xác suất của biến cố

Hoạt động 1 trang 66 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ một hộp chứa bốn quả cầu ghi chữ a, hai quả cầu ghi chữ b và hai quả cầu ghi chữ c (hình 34), lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:

A: “Lấy được quả ghi chữ a”

B: “Lấy được quả ghi chữ b”

C: “Lấy được quả ghi chữ c”

Có nhận xét gì về khả năng xảy ra của các biến cố A, B và C? Hãy so sánh chúng với nhau.

Lời giải:

Khả năng xảy ra của biến cố A là: $\frac{4}{8}=0,5$

Khả năng xảy ra của biến cố B là: $\frac{2}{8}=0,25$

Khả năng xảy ra của biến cố C là: $\frac{2}{8}=0,25$

Khả năng xảy ra của biến cố A lớn hơn khả năng xảy ra của biến cố B và C

Vậy khả năng xảy ra của biến cố B bằng khả năng xảy ra của biến cố C

Hoạt động 2 trang 69 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh các tính chất a), b) và c).

Tính chất:

a) $P\left(\varnothing \right)=0,P\left(\Omega \right)=1$

b) $0\le P\left(A\right)\le 1$ , với mọi biến cố A.

c) Nếu A và B xung khắc, thì $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$ (công thức cộng xác suất).

Lời giải:

a)  $P\left(\varnothing \right)=0,P\left(\Omega \right)=1$

Theo định nghĩa xác suất của biến cố ta có:

$P\left(\varnothing \right)=\frac{n\left(\varnothing \right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{0}{n\left(\Omega \right)}=0$

$P\left(\Omega \right)=\frac{n\left(\Omega \right)}{n\left(\Omega \right)}=1$ (điều phải chứng minh)

b) $0\le P\left(A\right)\le 1$, với mọi biến cố A.

Ta có:  $n(\varnothing )\le n\left(A\right)\le n\left(\Omega \right)$

$$\begin{gathered} \iff \frac{n(\varnothing )}{n\left(\Omega \right)}\le \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}\le \frac{n\left(\Omega \right)}{n\left(\Omega \right)} \\ \iff P(\varnothing )\le P\left(A\right)\le P\left(\Omega \right) \end{gathered}$$

$\iff 0\le P\left(A\right)\le 1$ (từ chứng minh câu a)

Suy ra điều phải chứng minh.

c) Nếu A và B xung khắc, thì $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$ (công thức cộng xác suất)

Nếu A và B xung khắc, ta có:

$$\begin{gathered} n\left(A\cup B\right)=n\left(A\right)+n\left(B\right) \\ \iff \frac{n\left(A\cup B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}+\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)} \end{gathered}$$

$\iff P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$ (điều phải chứng minh).

Bài tập 1 trang 74 SGK Toán lớp 11 Đại số: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần.

a) Hãy mô tả không gian mẫu.

b) Xác định biến cố:

A: “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10”;

B: “Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần”.

c) Tính P(A), P(B).

Lời giải:

a) Phép thử T: “Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần”

$\Omega =\left\{(i,j)\mid i,j=1,2,3,4,5,6\right\}$

$\Omega$ = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}.

Số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)=36$.

b) Xác định biến cố:

A: “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10”;

A = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

Suy ra n(A) = 6

B: “Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần”.

B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 1), (6, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}

Suy ra n(B) = 11

c) Xác suất của biến cố A:

$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

Vậy xác suất của biến cố A là $\frac{1}{6}$.

Xác suất của biến cố B: $P\left(B\right)=\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{11}{36}$

Vậy xác suất của biến cố B là $\frac{11}{36}$.

Bài tập 2 trang 74 SGK Toán lớp 11 Đại số: Có bốn tấm bìa được đánh số từ 1 đến 4. Rút ngẫu nhiên ba tấm.

a) Hãy mô tả không gian mẫu.

b) Xác định biến cố:

A: “Tổng các số trên ba tấm bìa bằng 8”;

B: “Các số trên tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp”.

c) Tính P(A), P(B).

Lời giải:

a) Phép thử T: “Từ bốn tấm bìa đã cho, rút ngẫu nhiên ba tấm”

$\Omega$ = {(1; 2; 3), (1; 2; 4), (1; 3; 4), (2; 3; 4)}

Vậy số phần tử của không gian mẫu là  $n\left(\Omega \right)=4$

b) Xác định biến cố:

A: “Tổng các số trên ba tấm bìa bằng 8”;

A = {(1; 3; 4)}

Suy ra n(A) = 1

B: “Các số trên tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp”.

B = {(1; 2; 3), (2; 3; 4)}

Suy ra n(B) = 2

c) Xác suất của biến cố A: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{1}{4}$

Vậy xác suất của biến cố A là $\frac{1}{4}$.

Xác suất của biến cố B: $P\left(B\right)=\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Vậy xác suất của biến cố B là $\frac{1}{2}$.

Bài tập 3 trang 74 SGK Toán lớp 11 Đại số: Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau. Tính xác suất để hai chiếc chọn được tạo thành một đôi.

Lời giải:

Phép thử T: “Lấy ngẫu nhiên 2 chiếc giày từ 4 đôi giày có cỡ khác nhau”.

Số cách lấy 2 trong 8 chiếc giày là $n\left(\Omega \right)=C_8^2=28$ (Do hai chiếc cùng một đôi phân chia trái phải nên không giống nhau)

Gọi A là biến cố: “Lấy được hai chiếc giày tạo thành một đôi”

Vì chỉ có 4 đôi giày nên số cách lấy được 1 trong 4 đôi giày là n(A) = 4

Vậy xác suất xảy ra biến cố là  $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{4}{28}=\frac{1}{7}$

Bài tập 4 trang 74 SGK Toán lớp 11 Đại số: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Xét phương trình

x² + bx + 2 = 0. Tính xác suất sao cho:

a) Phương trình có nghiệm;

b) Phương trình vô nghiệm;

c) Phương trình có nghiệm nguyên.

Lời giải:

Không gian mẫu:

$\Omega =\left\{1,2,3,4,5,6\right\}\iff n\left(\Omega \right)=6$

Phương trình x² + bx + 2 = 0 (*) có  $\Delta =b^2-8$

a) Để phương trình (*) có nghiệm thì $\Delta =b^2-8\ge 0\iff \left|b\right|\ge 2\sqrt{2}$

Gọi A là biến cố: “Con súc sắc xuất hiện mặt b chấm sao cho phương trình (*) có nghiệm”

Ta có: A = {3, 4, 5, 6} $\iff n\left(A\right)=4$

Vậy xác suất xảy ra biến cố là $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

b) Gọi B là biến cố: “Con súc sắc xuất hiện mặt b chấm sao cho phương trình (*) vô nghiệm”

suy ra $B=\overline{A}=\{1,2\}$

$$\begin{gathered} \iff P\left(B\right)=P\left(\overline{A}\right)=1–P\left(A\right) \\ =1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Vậy xác suất xảy ra biến cố là  $\frac{1}{3}$.

c) Gọi C là biến cố: “ Xuất hiện mặt b chấm sao cho phương trình (*) có nghiệm nguyên”

Phương trình (*) có nghiệm  $\iff b\in \{3,4,5,6\}$  

Thử các giá trị của b thấy:

Khi b = 3 thì phương trình trở thành x² + 3x + 2 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=-2\end{array}\right.$ (thỏa mãn)

Do đó: C = {3} suy ra n(C) = 1

Vậy xác suất xảy ra biến cố là $P\left(C\right)=\frac{n\left(C\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{1}{6}$

Bài tập 5 trang 74 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc bốn con. Tính xác suất sao cho:

a) Cả bốn con đều là át;

b) Được ít nhất một con át;

c) Được hai con át và hai con K.

Lời giải:

a) Phép thử T: “Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc bốn con”

Mỗi kết quả có thể là một tổ hợp chập 4 của 52 con bài. Do đó

$n\left(\Omega \right)=C_{52}^4=270725$

Gọi A là biến cố: “Rút được bốn con át” $\iff n\left(A\right)=C_4^4=1$ (một cỗ bài có 4 con át)

Vậy xác suất xảy ra biến cố là $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{1}{270725}\approx 0,0000037$

b) Gọi B là biến cố: “Rút được ít nhất một con át”

Khi đó biến cố đối của biến cố B là $\overline{B}$: “Rút được 4 con bài đều không là át”.

Mỗi kết quả có thể thuận lợi cho $\overline{B}$ là một tổ hợp chập 4 của 48 con bài không phải là át.

Suy ra số các kết quả có thể thuận lợi cho $\overline{B}$ là $n\left(\overline{B}\right)=C_{48}^4=194580$

$P\left(\overline{B}\right)=\frac{n\left(\overline{B}\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{194580}{270725}\approx 0,7187$

Vậy xác suất xảy ra biến cố là $P\left(B\right)=1-P\left(\overline{B}\right)\approx 0,2813$

c) Gọi C là biến cố: “Trong bốn con bài rút được hai con át và hai con K”

Mỗi kết quả có thể có thuận lợi cho C là một tổ hợp gồm 2 con át và 2 con K.

Áp dụng quy tắc nhân:  $n\left(C\right)=C_4^2.C_4^2=36$

Vậy xác suất xảy ra biến cố là  $P\left(C\right)=\frac{n\left(C\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{36}{270725}\approx 0,000133$

Bài tập 6 trang 74 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau. Tính xác suất sao cho:

a) Nam, nữ ngồi đối diện nhau;

b) Nữ ngồi đối diện nhau.

Lời giải:

Mỗi cách xếp 4 bạn vào 4 chỗ ngồi là một hoán vị của 4 phần tử, vì vậy không gian mẫu có 4! = 24 phần tử.

a) Gọi A là biến cố: “Nam, nữ ngồi đối diện nhau”

Suy ra $\overline{A}$ là biến cố: “Nam ngồi đối diện nam, nữ ngồi đối diện nữ”

Có 4 chỗ để cho bạn nữ thứ nhất chọn.

Có 1 cách chọn chỗ đối diện cho bạn nữ thứ hai.

Sau khi 2 bạn nữ đã chọn chỗ ngồi (đối diện nhau) thì còn lại 2 chỗ (đối diện nhau) để xếp cho 2 bạn nam và có 2! cách xếp chỗ cho 2 bạn này.

Vì vậy theo quy tắc nhân có 4.1.2! = 8 cách xếp chỗ cho nam nữ không ngồi đối diện nhau hay nam ngồi đối diện nam, nữ ngồi đối diện nữ.

Khi đó: $P\left(\overline{A}\right)=\frac{n\left(\overline{A}\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$

Vậy xác suất xảy ra biến cố A là $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=\frac{2}{3}$.

b) Vì chỉ có 4 người: 2 nam và 2 nữ nên nếu 2 nữ ngồi đối diện nhau thì 2 nam cũng ngồi đối diện nhau.

Do đó biến cố này chính là biến cố $\overline{A}$: “Nam ngồi đối diện nam, nữ ngồi đối diện nữ”

Vậy xác suất xảy ra biến cố là $P\left(\overline{A}\right)=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$.

Bài tập 7 trang 75 SGK Toán lớp 11 Đại số: Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứ 6 quả trắng, 4 quả đen. Hộp thứ hai chứa 4 quả trắng, 6 quả đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:

A là biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ nhất trắng”.

B là biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ hai trắng”.

a) Xét xem A và B có độc lập không.

b) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu.

c) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu.

Lời giải:

a) Phép thử T: “Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả”

Có 10 cách lấy 1 quả cầu bất kì ở hộp 1 và có 10 cách lấy 1 quả cầu bất kì ở hộp 2 nên số phần tử của không gian mẫu là  $n\left(\Omega \right)=10.10=100$

Biến cố A là: “Quả lấy từ hộp thứ nhất trắng”

Suy ra có 6 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp A và 10 cách lấy quả cầu ở hộp B

$$\begin{gathered} \iff n\left(A\right)=6.10=60 \\ \iff P\left(A\right)=\frac{60}{100}=0,6 \end{gathered}$$

Biến cố B là: “Quả lấy từ hộp thứ hai trắng”

Suy ra có 4 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp B và 10 cách lấy quả cầu ở hộp A

$$\begin{gathered} \iff n\left(B\right)=4.10=40 \\ \iff P\left(B\right)=\frac{40}{100}=0,4 \end{gathered}$$

Gọi AB là biến cố: “Cả hai quả cầu lấy ra đều trắng”

Suy ra có 6 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp A và 4 cách lấy quả cầu ở hộp B

$$\begin{gathered} \iff n\left(AB\right)=6.4=24 \\ \iff P\left(AB\right)=\frac{24}{100}=0,24 \end{gathered}$$

Ta có: $0,24=0,6.0,4=P\left(A\right).P\left(B\right)$

Khi đó: $P\left(AB\right)=P\left(A\right).P\left(B\right)$

Vậy A và B là hai biến độc lập với nhau.

b) Gọi C là biến cố: “Lấy được 2 quả cùng màu”

AB là biến cố: “Cả hai quả cầu lấy ra đều trắng”

$\overline{AB}$ là biến cố: “Cả hai quả cầu lấy ra đều đen”

Suy ra  $C=AB\cup \overline{AB}$

Do P(A) = 0,6 $\Rightarrow P\left(\overline{A}\right)=1-0,6=0,4$

P(B) = 0,4 $\Rightarrow P\left(\overline{B}\right)=1-0,4=0,6$

Do AB và $\overline{AB}$ là hai biến cố xung khắc và A, B là hai biến độc lập nên:

$$\begin{gathered} P\left(C\right)=P\left(AB\right)+P\left(\overline{AB}\right) \\ =P\left(A\right).P\left(B\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(\overline{B}\right) \end{gathered}$$

= 0,6.0,4 + 0,4.0,6 = 0,48

Vậy xác suất để lấy được cầu sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu là 0,48.

c) Gọi $\overline{C}$ là biến cố: “Lấy được 2 quả khác màu”

Suy ra $P\left(\overline{C}\right)=1-P\left(C\right)=1-0,48=0,52$

Vậy xác suất để lấy được cầu sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu là 0,52.

Bài giảng Toán 11 Bài 5: Xác suất của biến cố

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Đại số và Giải tích hay, chi tiết khác:

Ôn tập chương 2

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 2: Dãy số

Bài 3: Cấp số cộng

Bài 4: Cấp số nhân

Xem thêm tài liệu Toán lớp 11 Đại số và Giải tích hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Xác suất của biến cố

Trắc nghiệm Xác suất của biến cố có đáp án